利用几何画板探究二次函数问题
几何画板在二次函数y=ax2 ( a ≠0)中的应用
几何画板在二次函数y=ax2 （ a ≠0）中的应用二次函数y=ax^2 （a ≠0）是高中数学学习中的重要内容，它描述了一条抛物线的图像，具有许多重要的性质和应用。
而近年来，随着科技的发展，几何画板已经成为学习和教学的利器，它不仅可以帮助学生更好地理解和学习二次函数，还可以拓展二次函数的应用，使学习更加生动、深入和有趣。
一、几何画板的基本功能几何画板是一种数字化的绘图工具，它可以在屏幕上实现多种几何图形的绘制、变换和动态展示。
通过几何画板，学生可以绘制出二次函数y=ax^2的图像，观察抛物线的特征和性质，比如顶点坐标、对称轴、开口方向等。
几何画板还可以通过拖拽和调节参数，实现二次函数的变换和变形，如平移、伸缩、翻转等，从而加深学生对函数变化的理解和认识。
二、几何画板在二次函数图像的展示和分析中的应用1. 展示不同参数对图像的影响通过几何画板，学生可以通过调节参数a，观察二次函数图像的变化。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
a的绝对值越大，抛物线越“瘦长”，开口越“尖锐”；a的绝对值越小，抛物线越“扁平”，开口越“圆滑”。
通过这种方式，学生可以直观地感受到参数a对二次函数图像的影响，从而加深对二次函数的认识和理解。
2. 讨论特殊情况下的图像特征几何画板可以帮助学生讨论特殊情况下的图像特征，如a=0时，二次函数的图像将是一条水平直线；a=1时，抛物线与y=x^2的图像完全重合，学生可以通过画板进行观察和比较。
通过这种方式，学生可以更好地理解和掌握二次函数图像的性质和特征。
3. 探讨顶点、对称轴和轴线方程几何画板可以帮助学生观察和分析顶点、对称轴和轴线方程的关系。
通过观察，学生可以发现顶点的横坐标就是对称轴的方程，而对称轴的方程就是抛物线的轴线方程。
这种发现有助于学生对抛物线性质的理解和掌握。
除了上述基本功能和应用外，几何画板还可以在二次函数的应用中有更进一步的拓展。
几何画板在二次函数y=ax2 ( a ≠0)中的应用
几何画板在二次函数y=ax2 （ a ≠0）中的应用几何画板是一种工具，它能够帮助我们更直观地理解数学概念和图形关系。
在数学教学中，几何画板的应用十分广泛，而在二次函数y=ax² （ a ≠0）中，几何画板能够帮助学生更好地理解二次函数的图像、性质和变化规律。
本文将就几何画板在二次函数中的应用进行探讨。
一、几何画板的基本原理几何画板是一种绘图工具，它由一块坚固的底板和一根可以移动的直线组成。
直线的移动会在底板上留下痕迹，通过这些痕迹可以得到各种图形。
几何画板的基本原理就是利用直线的移动和痕迹留下的规律来研究各种图形的性质和变化规律。
二、二次函数y=ax² （ a ≠0）的基本性质二次函数y=ax² （a ≠0）是常见的一种函数形式，它的图像是一个抛物线。
二次函数的图像形状、开口方向和顶点位置等性质都与参数a有关。
具体来说，当a>0时，二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（0，0）；当a<0时，二次函数的图像开口向下，顶点坐标同样为（0，0）。
三、几何画板在二次函数图像的绘制中的应用利用几何画板可以很方便地绘制二次函数的图像。
我们需要在底板上建立坐标系，然后利用直线和点的规律来绘制函数的图像。
具体操作步骤如下：1.绘制坐标系：在底板上绘制x轴和y轴，并标出刻度。
2.确定顶点坐标：对于二次函数y=ax² （a ≠0），其顶点坐标为（0，0）。
3.确定对称轴：二次函数的对称轴为x轴。
4.绘制图像：利用几何画板的移动直线来绘制二次函数的图像。
具体方法是，以顶点为中心，以对称轴为轴线，在底板上移动直线，得到二次函数的图像。
通过利用几何画板来绘制二次函数的图像，可以帮助学生更直观地理解二次函数的性质和变化规律。
通过手动绘制图像，也能够让学生更深入地理解函数的定义和图像的形成规律。
除了帮助绘制二次函数的图像外，几何画板还可以用来探究二次函数图像的性质和变化规律。
探索二次函数性质(几何画板动态)
几何画板运用于探索二次函数性质（y=ax2）（动态）二次函数图像的性质是初三学习的一个难点，通过改变二次函数系数大小，直观看见图像变化，采取动态比较过程，学生更容易吸收理解，下面我将介绍具体操作过程：
打开几何画板：步骤1准备工作：绘图→网络样式→方形网格
得到如图所示：
y=ax2的图像性质
步骤2绘制函数图像：数据→新建参数→名称输入a→点击确定→绘图→绘制新函数，
在弹出的方框中选择“方程→符号y=”，
选择参数a，并依次在方框中选择*、x、^、2,；点击确定即可。
具体操作方法见下图
步骤3设置动态系数：
选中参数后选择编辑→操作类按钮→动画
如下图所示更改参数（如图中所示范围为参数变化范围可根据自己需求设置），其中标签为按钮名称。
完成后如图所示点击a<0按钮即可生成动画：
同理：按照上述方法操作可制作而成系数为正时。
也可以再绘制y=x2图形作为参考。
利用几何画板探究二次函数一般式的性质
利用几何画板探究二次函数一般式的性质第一篇：利用几何画板探究二次函数一般式的性质2y=ax+bx+c(a≠0)的性质二次函数目标：学生经历使用几何画板绘制二次函数图像，通过观察、思考、讨论得出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的待定系数a、b、c与图像之间的关系重点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质难点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)性质的得出信息技术硬件：信息技术教室、学生计算机信息技术软件：几何画板、幻灯片投影过程：一、几何画板操作讲解1.将下载好的几何画板分发给学生机器，并控制所有学生机2.启动几何画板的方法：双击图标，进入界面3.启动函数绘图的操作方法：图表→绘制新函数→新建函数对话框或用快捷键（Ctrl+G）4.绘制指定函数图像的输入方法：注意：指数使用“”输入例如：要绘制函数y=3x2+4x-1，应该在对话框中依次输入3,X，︿，2，+，4，*，X，-，1，然后确定，就得到图像可以通过向右、向左拖拽下图中的红点控制坐标系的精度大小和图像的大小例如：要绘制函数y=3(x-1)2+2，应该在对话框中依次输入3，（，X,-,1，）︿,2，+,2然后确定，就得到图像二、学生实践1.教师取消学生机控制，让学生尝试用几何画板作函数y=-x2和y=x2-2x+1的图像2.教师指导个别边缘学生操作三、自主探究探究1.利用几何画板分别作函数y=x2+3x+2，y=-2x2-x+1的图像探究2.利用几何画板分别作函数y=x2-2x-2，y=-x2+3x-4四、思考与讨论1.教师利用幻灯展示以上四个函数的图像2.教师提问，学生独立思考一下问题，教师随机抽查：问题1：以上四个二次函数都是以一般式y=ax2+bx+c(a≠0)形式给出的，他们的图像都是什么形状的？问题2：以上四个二次函数中的待定系数a、b、c各是多少？问题3：以上四个二次函数图像的开口方向、顶点位置、图像与y 轴的交点位置情况如何？3.学生以四人小组讨论：二次函数中的待定系数a、b、c与图像的开口方向、顶点位置、图像与y轴的交点位置有怎样的关系？学生展示，教师逐一抽查各小组讨论结果五、教师讲解难点问题：“待定系数b的作用”注意观察第一组函数y=x2+3x+2和y=-2x2-x+1的待定系数与图像，他们的二次项系数与一次项系数同号，且顶点都位于y轴的左侧；而第二组函数y=x2-2x-2，y=-x2+3x-4的二次项系数与一次项系数异号，且顶点都位于y轴的右侧，由此我们不难得出这样的猜想：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的待定系数b与抛物线的顶点位置有关，当b与a同号时，顶点位于y轴的左侧，当b与a异号时，顶点位于y 轴的右侧。
几何画板在二次函数y=ax2 ( a ≠0)中的应用
几何画板在二次函数y=ax2 （ a ≠0）中的应用
一、几何画板在二次函数图像的绘制中的应用
几何画板是一种可以结合数学运算和图形绘制的数学教学工具。
在二次函数y=ax^2 （a ≠0）中，使用几何画板可以帮助学生直观地了解二次函数的图像特点。
通过几何画板，学生可以通过直观的图形绘制，更好地理解二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴等特点。
几何画板可以使学生更加直观地感受到二次函数图像的变化规律，有助于培养学生的
数学思维和图形观察能力。
在实际生活中，二次函数的应用场景也是非常广泛的。
通过几何画板的应用，学生可
以更加直观地感受到二次函数在现实生活中的应用意义。
二次函数可以描述抛物线的运动
轨迹，可以应用在物体的抛射运动、天体运行等方面，而几何画板可以帮助学生通过图形
观察和比较，更加直观地感受到这些应用场景的特点和规律。
通过几何画板的应用，学生
可以更加深入地理解二次函数在实际生活中的意义，从而提升数学教育的实际效果和社会
意义。
几何画板在二次函数y=ax^2 （a ≠0）中的应用具有非常重要的意义和价值。
通过几何画板的应用，学生可以更加直观地感受到二次函数的图像特点和性质，从而更好地理解
和掌握二次函数的相关知识。
几何画板也可以帮助学生更加直观地解答二次函数相关的习题，提高解题的效率和准确率。
通过几何画板的应用，可以使二次函数的教学更加生动有趣，有助于提升学生对数学学习的兴趣和积极性。
在数学教育中，应积极推广几何画板的
应用，使之成为教学的有力辅助工具，提升数学教育的实际效果和社会意义。
用几何画板探究二次函数最值模型
用几何画板探究二次函数最值模型资料编号:202210311539模型制作1.打开几何画板,单击“自定义工具”,从弹出的工具菜单中选择“函数工具”,从弹出的子菜单中选择“三点二次函数（1）”,在绘图区三个不同的位置单击,作出一条经过A、B、C三点的抛物线.同时,在绘图区会出现抛物线的解析式,调整三个点的位置,可以改变抛物线开口大小和开口方向.如图1所示.2.依次单击“绘图”、“隐藏网格”.选中抛物线,单击“显示”,修改线型为“细线/虚线”.选中单位点,单击“显示”、“隐藏单位点”.如图2所示.3.单击“线段直尺工具”,在向右弹出的工具中单击“线段工具”,在x轴上任意作出一条线段DE,修改线型为“中等/实线”,颜色为“黑色”.如图3所示.4.单击“点工具”,在线段DE上任取一点“F”.依次选中点D、F、E和线段DE,依次单击“构造”、“垂线”,分别交抛物线与点G、I、H.构造线段DG、EH,修改线型为“细线/实线”.选中三条垂线并依次.如图4所示.5.依次选中点F、I,依次单击“构造”、“轨迹”,修改线型为“中等/实线”.选中点B、C、I、F并隐藏点.如图5所示.6.单击“文字工具”,单击点G和点H,隐藏两个点的标签.选中抛物线与x轴,依次单击“构造”、“交点”,得到两个交点,标签分别为J、K.双击点J,选中点K,依次单击“变换”、“缩放”,按“固定比”1 : 2进行缩放,得到线段JK的中点'K,选中点'K和x轴（注意不是线段DE）,依次单击“构造”、“垂线”,作出抛物线的对称轴,修改对称轴的线型为“细线/虚线”,颜色为“红色”.如图6、图7所示.7.选中点J、K、'K并隐藏.修改点D的标签为m,点E的标签为n,如图8所示.经此一步,完成作图.模型探索拖动点D 或点E ,即改变m 或n 的值,可以改变x 的取值范围,观察轨迹的变化,我们可以借助于轨迹的变化来直观地研究二次函()02≠++=a c bx ax y 的最值情况.而拖动点A ,可以改变抛物线的开口大小和开口方向.确定二次函数在指定区间（自变量的取值范围）上的最值,要画出二次函数图象的简图,结合其图象对称轴与区间的相对位置关系以及开口方向来进行.具体情况见下面的表格所示.模型应用例1.当t ≤x ≤1+t 时,求函数25212--=x x y 的最小值（其中t 为常数）.分析 二次函数在指定区间（自变量的取值范围）上的最值与其图象的开口方向和对称轴的位置有关.必要时可画出图象的简图进行求解.本题中,抛物线的对称轴是确定的,指定的区间为含参区间,这样的问题被称为定轴动区间,要对区间与对称轴的相对位置关系进行讨论.解:()3121252122--=--=x x x y ,其图象开口向上,对称轴为直线1=x ∵t ≤x ≤1+t ∴分为三种情况:①当1+t ≤1,即t ≤0时,二次函数的图象在t ≤x ≤1+t 上是下降的,表明y 随x 的增大而减小∴当1+=t x 时,y 取得最小值,最小值为()3213112122min -=--+=t t y ;②当11+<<t t ,即10<<t 时,3min -=y ;③当t ≥1时,二次函数的图象在t ≤x ≤1+t 上是上升的,表明y 随x 的增大而增大∴当t x =时,y 取得最小值,最小值为()2521312122min --=--=t t t y .综上所述,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--<<-≤-=252110,30,32122mint t t t t y .例2.在1≤x ≤2的条件下,求函数122++-=ax x y （a 是实常数）的最大值M 和最小值m .解:()112222++--=++-=a a x ax x y ,其图象开口向下,对称轴为直线a x =.①当a ≥2时,函数图象在1≤x ≤2上是上升的,表明y 随x 的增大而增大∴当2=x 时,34max -==a y M ;当1=x 时,a y m 2min ==.②当a <1≤23221=+,a x =时,12max +==a y M ;当2=x 时,34min -==a y m .③当223<<a ,12max +==a y M ;当1=x 时,a y m 2min ==.④当a ≤1时,函数图象在1≤x ≤2上是下降的,表明y 随x 的增大而减小∴当1=x 时,a y M 2max ==;当2=x 时,34min -==a y m .综上所述,⎪⎩⎪⎨⎧≤<<+≥-=1,221,12,342a a a a a a M ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥=23,3423,2a a a a m .例3.已知函数4121412+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m x y ,是否存在实数m ,使得当m ≤x ≤2+m 时,函数有最小值5-?若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.分析 本题难度较高,属于对称轴和自变量的取值范围均含参数的最值问题.解:函数4121412+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m x y 的图象开口向上,对称轴为直线12+=m x .①当2+m ≤12+m ,即m ≥1时,当2+=m x 时()()54123434122124122min -=+--=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=m m m m m y 整理得:0722=-+m m 解之得:221,22121--=+-=m m ∵m ≥1∴221+-=m ;②当212+<+<m m m ,即11<<-m 时,当12+=m x 时()()541122112412min -=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=m m m y 整理得:()21122=+m 解之得:2211,221121--=+-=m m∵11<<-m ∴21,m m 都不符合题意,舍去;③当12+m ≤m ,即m ≤1-时,当m x =时541214*********min -=+--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m m m m m y 整理得:021232=-+m m 解之得:37,321=-=m m ∵m ≤1-∴3-=m .综上所述,存在实数3-=m 或221+-=m 满足题意.。
用几何画板探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
用几何画板探究二次函数c bx ax y ++=2的 图象和性质资料编号:202211051045在探究二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质时,我们可以利用配方法把一般式化为顶点式进行探究,配方过程如下:c a b a b x a b x a c x a b x a c bx ax y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=222222244 a b ac a b x a 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ∴二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,其图象的对称轴为直线a b x 2=,顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ac a b 44,22.当a b x 2=时,函数取得最值,最值为a b ac y 442-=:当0>a 时,ab ac y 442min -=;当0<a 时,a b ac y 442max -=. 虽然我们可以用学习顶点式的成果来研究一般式,但我们还不能对一般式有一个全面的了解和掌握,如b a ,的符号与对称轴的位置关系、抛物线与y 轴的交点与c 的关系以及抛物线与x 轴的相交情况等.下面,我们通过制作几何画板课件,设置c b a ,,三个参数,来探究一下二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质. 几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在x 轴上任意作出一点A ,选中点A 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出x 轴的垂线.单击“点工具”,在x 轴上方的垂线上任取一点B ,在x 轴下方的垂线上任取一点C .选中点B 、C ,依次单击“构造”、“线段”,作出线段BC .选中垂线BC 并隐藏.单击“点工具”,在线段BC 上任取一点,标签设为a .选中点a ,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点a 的纵坐标.选中点a 纵坐标的度量值,右单击,选择“度量值的标签”,在“标签”中输入a .如图1所示.单击确定.2.用同样的方法制作参数c b ,.依次单击“绘图”、“隐藏网格”,如图2所示.3.依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次输入“a 的值”、“*”、“x ”、“∧”、“2”、“+”、“b 的值”、“*”、“x ”、“+”、“c 的值”,如图3所示.单击确定,作出函数()c bx ax x f ++=2的图象.如图4所示.4.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数解析式,右单击,选中“函数的标签”,在“标签”中输入“y ”,如图5所示.单击“确定”.5.单击“点工具”,在抛物线上任取一点P ,选中点P 和x 轴,依次单击“构造”、“平行线”,交抛物线于另一点Q .双击点P ,选中点Q ,依次单击“变换”、“缩放”,设置“固定比”为“1/2”,如图6所示.单击“确定”,作出线段PQ 的中点'Q .6.选中直线PQ、点P、点Q并隐藏,选中点'Q和x轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为红色.选中点'Q并隐藏.如图7所示.7.单击抛物线与y轴的交点处,得到点M.选中点M,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点M的纵坐标.如图8所示.8.选中点a,修改点的颜色为浅蓝色;选中点b,修改点的颜色为粉红色;选中点c,修改点的颜色为浅绿色.如图8所示.经此一步,作图完成.课件探索对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,课件设置了三个参数c b a ,,,通过拖动点c b a ,,,使这三个参数可以在一定范围内变化,以观察函数图象的变化与这三个参数之间的关系.探究参数a 对函数图象的影响（1）拖动点a 在线段AB 上移动,此时0>a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越小,函数图象的开口越_________;（2）拖动点a 在线段AC 上移动,此时0<a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越大,函数图象的开口越_________.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,函数图象开口_________,当0<a 时,函数图象开口_________,并且a 越小,函数图象的开口越_________,a 越大,函数图象的开口越_________.探究参数b a ,对函数图象的影响在由二次函数的一般式化为顶点式的过程中,我们得到函数图象的对称轴为直线ab x 2-=,这说明抛物线的对称轴与b a ,有着直接的关系,同时参数b a ,的改变也必将影响抛物线的变化.我们来实际操作一下.（3）把点a 移动到线段AB 上,此时0>a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现:当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧.（4）把点a 移动到线段AC 上,此时0<a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现: 当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0,0>>b a 或0,0<<b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧;当0,0<>b a 或0,0><b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧.特别地,当0=b 时,函数图象的对称轴是_________.由此,我们可以根据b a ,的符号确定抛物线对称轴与y 轴的相对位置关系,也可以根据抛物线的对称轴与y 轴的相对位置关系,确定b a ,的符号.实际上,当b a ,同号时,02<-=a b x ,抛物线的对称轴位于y 轴的左侧;当b a ,异号时,02>-=ab x 抛物线的对称轴位于y 轴的右侧.如此,我们探究参数b a ,对二次函数图象影响的过程,经历了由观察到推理,由感性认识到理性认识的过程.探究参数c 对函数图象的影响（5）拖动点c 在线段HI 上移动,观察函数图象的变化,不难发现,函数图象与y 轴的交点的纵坐标,等于_________的值.当0>c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交;当0=c 时,函数图象经过_________;当0<c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交.因此,参数c 的值,决定了函数图象与y 轴的相交情况.实际上,对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当函数图象与y 轴相交时,令0=x ,则=y _________,所以函数图象与y 轴的交点为_________.二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质的应用例1. 用配方法将二次函数6422++-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式,则k h a ++的值为【 】（A ）5 （B ）7 （C ）1- （D ）2-解析 ∵()()81261122642222+--=+-+--=++-=x x x x x y ∴8,1,2==-=k h a∴7812=++-=++k h a∴选择答案【 B 】.例2. 关于抛物线122+-=x x y ,下列说法错误的是【 】（A ）开口向上 （B ）顶点在x 轴上（C ）对称轴是直线1=x （D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小 解析 ()22112-=+-=x x x y . 对于（A ）,01>=a ,抛物线开口向上.故（A ）正确;对于（B ）,抛物线顶点坐标为()0,1,在x 轴上.故（B ）正确;对于（C ）,抛物线的对称轴为直线1=x .故（C ）正确;对于（D ）,当1>x 时,y 随x 的增大而增大.故（D ）错误.∴选择答案【 D 】.例3. 若二次函数a x ax y ++=42的最大值是3,则=a _________。
利用几何画板突破二次函数教学难问题
利用几何画板突破二次函数教学难问题二次函数历来是学生学习的重点与难点，更是教师感到最难教的内容。
如何进行教学的有效突破、让学生学得有意义并学有所获，经过教学实践认为，几何画板无疑是学生学习二次函数最有效的辅助教学手段。
二次函数图像比较复杂，对于二次函数图象来说，整个作图过程往往需要耗费大量的时间，若要学生手工作几个二次函数的图像，一堂课差不多就要过去了，学生很难参与到教学过程中来，一定程度上影响了学生学习的积极性，师生之间、学生之间的交流“空口无凭”，更有“强词夺理”之嫌疑，学生一有疑问，教师得用许多时间才能解释清楚，因而通过作图概括出来的函数性质过于肤浅，流于形式，有些学生更是死记更背，生搬硬套。
几何画板进入课堂却可以改变这样的面貌。
我们可以利用几何画板制作一个课件，设置几个参数，如在二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）教学时，我们只需设置三个参数a、b、c，拉动滑动点a、b、c就可以获取任意的二次函数的图象。
有了几何画板的参与，在学生在理解函数的图象及其性质时容易多了，老师与学生之间、学生与学生之的交流互动才有时间去完成。
一是用几何画板演示二次函数图像的做法，帮助突破学生理解“二次函数图像的光滑性”的难点。
在传统教学中，由于受教师手动作图方法费时长、误差大等客观条件的限制，学生在理解“用光滑的曲线”连接时总不明究竟，从而导致学生作图的准确性大打折扣，长时间纠正不了学生作图准确性不足方面的问题。
但有了几何画板，教师完全可以通过改变曲线上的点数及画笔质量等多种对象的设置而提高作图的效率和质量，从而让学生真正体会出图像“光滑”的缘由，认识到二次函数图像的本质特征。
二是用几何画板作图来演示二次函数的开口方向、开口大小及增减等性质，让学生经历自主学习的过程。
在传统的教学中，我们为了研究二次函数图像的开口方向，总是通过做出两个具体的函数图像(如:y=2x2，与y=-2x2)后，得出图像的开口方向是由二次项系数大于或小于零的性质决定的规律。
几何画板在二次函数y=ax2 ( a ≠0)中的应用
几何画板在二次函数y=ax2 （a ≠0）中的应用【摘要】几何画板在二次函数y=ax²中的应用，是一个有趣而实用的工具。
通过几何画板，我们可以直观地展示二次函数的图像绘制过程，以及开口方向的改变和顶点的坐标变化。
几何画板还能帮助我们观察二次函数的对称性和轴对称图形，以及与直线的交点。
通过几何画板的应用，学生可以更深入地理解二次函数的特性，提高学习效率和兴趣。
几何画板为学习二次函数y=ax²提供了直观、可视化的工具，让抽象概念变得具体易懂。
通过这种实际操作，学生能够更好地掌握二次函数的相关知识，从而提升数学学习的效果。
【关键词】几何画板、二次函数、y=ax²、图像绘制、开口方向、顶点、对称性、轴对称图形、交点、学习、可视化、理解、学习效率、兴趣。
1. 引言1.1 介绍几何画板的基本概念几何画板是一种用于绘制几何图形和数学函数图像的工具。
它通常由一个平面表面和一支可移动的笔组成，通过在平面表面上移动笔来绘制各种图形。
几何画板可以帮助学生更直观地理解数学概念，尤其是在几何和代数方面的应用中。
在数学中，二次函数y=ax²是一种常见的函数类型，其中a代表非零常数。
这种函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，其特点在于顶点坐标、轴对称性和与直线的交点等。
通过几何画板，我们可以更清晰地呈现二次函数的各种特性，使学生能够直观地感受到数学概念的含义。
几何画板的基本概念包括平面上的坐标系、直线和曲线的绘制方法，以及如何利用这些基本元素来展示数学函数图像。
通过在几何画板上绘制二次函数y=ax²的图像，学生可以更直观地理解函数的性质，比如开口方向、顶点坐标以及与直线的交点。
几何画板为学习二次函数提供了一个直观、可视化的工具，帮助学生更快速地理解和掌握这一数学概念。
1.2 二次函数y=ax²的定义二次函数y=ax² 是一种形式为y=ax² 的二次多项式函数，其中a 不等于0。
运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质
“左加右减” ）。
2 . 二 次 函 数 y=ax2± k可 以 看 作 y=ax2上下移动得到
y x 图 8 所 示 ： =0.4 2+4.4的 图 象 可 y x 以 看 作 是 =0.4 2 的函数图象向上移动 y x 4.4个 单 位 长 度 得 到 。 =0.4 2-3.6的图 y x 象 可 以 看 作 是 =0.4 2 的函数图象向下
一 、 二 次 函 数 y=ax2 的图 象与性质
在二次函数的图象和性质的教学
中 ，我 们 是 从 简 单 的 二 次 函 数 y= ax2 人
手学习二次函数的图象和性质的。二次
函 数 y=ax2 中 只 含 有 一 个 系 数 a ，我们 a 利 用 几 何 画 板 改 变 的 取 值 观 看 y=ax2
是由
移动得到
y x 例如：图 9 所示 ， =0.4( ±4.8)2+
y x 3.1可 以 看 作 =0.4 2 的函数图象向右移
动 4.8个 单 位 长 度 ，再 向 上 移 动 3.1个
单位长度得到。
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通 过 动 态 解 析 二 次 函 数 顶 点 式 y=a x h k ( - ) 2+ 的图象，从图象就可以直观 得出二次函数顶点式y=a (x-h ) 2+k 的
© 优课堂
YOUKETANG
运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质
顾桂新
在 二 次 函 数 的 教 学 中 ，二 次 函 数
顶 点 式 y=a (x-h ) 2+k 的顶点坐标是学
生难以理解也很容易错的知识点。而二
几何画板在初中二次函数教学中的应用研究
几何画板在初中二次函数教学中的应用研究引言：几何画板是一种教学辅助工具，它可用于可视化二次函数的基本概念、性质和应用。
在初中二次函数教学中，通过使用几何画板，学生能够更好地理解二次函数的几何意义，并且可以通过图形化的方法更直观地探索二次函数的特征和变换规律。
本文将对几何画板在初中二次函数教学中的应用进行研究。
一、二次函数的基本概念的可视化呈现通过使用几何画板，可以将二次函数的基本概念进行图形化的呈现，使学生可以直观地理解。
例如，可以使用几何画板绘制二次函数的图像，让学生观察并描述图像的形态和性质。
通过观察图像，学生能够更好地理解二次函数的开口方向、对称轴和顶点等概念。
同时，学生还可以使用几何画板进行交互操作，改变函数的参数，比如改变二次函数的系数、平移或伸缩函数的图像等，进一步探索二次函数的影响因素及其对函数图像的影响。
二、二次函数的性质和变换规律的探索几何画板在初中二次函数教学中还可以用于探索二次函数的性质和变换规律。
例如，可以通过几何画板来观察二次函数的a值对函数图像开口方向和形态的影响，引导学生总结出二次函数和a值的关系。
同时，通过几何画板可以进行平移和伸缩等图像变换操作，让学生能够自己探索出这些变换对函数图像的影响规律。
通过这种亲自操作和探索的方式，学生对二次函数的性质和变换规律有更深入的理解。
三、二次函数的应用问题的解决方法的探究几何画板在初中二次函数教学中还可以用于探究二次函数的应用问题的解决方法。
例如，可以通过几何画板来模拟抛物线的轨迹，让学生探究如何确定抛物线的最高点、最低点和顶点等关键问题。
同时，也可以通过几何画板来解决二次函数应用问题，如求解最大范围问题、求解最小值问题等。
通过这些实际问题的模拟和实验，学生能够更好地理解抛物线和二次函数在实际问题中的应用，并能够将其运用到实际生活中。
结论：几何画板在初中二次函数教学中的应用具有重要意义。
通过使用几何画板，学生能够更好地理解二次函数的基本概念、性质和应用，并且能够通过图形化的方式更直观地探索和总结二次函数的特征和变换规律。
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学二次函数是高中数学中重要的一章内容，它在数学理论和实际应用中都有着重要的地位。
二次函数的图像性质是学生在学习过程中需要重点掌握的内容之一。
为了帮助学生更好地理解和掌握二次函数的图像性质，利用几何画板进行直观教学是一种非常有效的教学方法。
本文将就利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学进行介绍和探讨。
一、为什么选择几何画板进行直观教学在学习二次函数图像性质的过程中，学生往往需要通过绘制函数图像来进行理解和掌握。
传统的方法是使用纸和笔，通过手工绘图的方式来完成，但这种方式存在着一定的局限性。
学生往往难以准确地绘制出图像，导致理解起来困难。
绘制出的图像不能快速地修改和观察，无法灵活地进行教学展示。
而利用几何画板进行直观教学则能够很好地解决这些问题。
几何画板可以通过数学软件进行绘制，轻松地得到准确的函数图像，并且可以通过改变参数，实时观察图像的变化，为学生提供直观的教学展示。
二、教学内容和方法1. 教学内容利用几何画板进行直观教学，主要包括二次函数的图像性质、二次函数的顶点、对称轴、开口方向等内容。
通过直观的图像展示，能够更好地帮助学生理解和掌握这些内容。
2. 教学方法在进行直观教学时，可以通过以下几种方法来进行：（1）教师演示法：教师可以利用几何画板进行演示，展示不同参数对二次函数图像的影响，比如改变a的值，观察图像的开口方向和形状变化；改变h和k的值，观察图像的平移和顶点位置的变化等。
（2）学生操作法：教师可以让学生在电脑上进行实时操作，通过改变函数的参数，观察图像的变化。
学生可以通过实际操作来更好地理解二次函数图像性质，加深对知识点的理解。
（3）对比分析法：教师可以通过对比不同函数图像的特点，让学生分析和总结，从而更好地掌握二次函数的图像性质。
对比a>0和a<0的情况，让学生观察图像的变化并总结规律。
三、教学步骤在进行利用几何画板进行二次函数图像性质的直观教学时，可以按照以下步骤进行：1. 引出问题，激发学生的兴趣。
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学几何画板是一种数字工具，可以帮助学生直观地理解和探索数学概念。
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学，可以帮助学生更好地理解二次函数的特点，提高他们的数学学习兴趣和理解能力。
本文将从几何画板的使用方法和二次函数的性质入手，探讨如何利用几何画板进行二次函数图像性质的直观教学。
一、几何画板的使用方法几何画板是一种基于计算机的绘图软件，可以通过鼠标或触摸屏操作，绘制各种几何图形和函数图像。
在教学中，可以利用几何画板展现二次函数的图像，调整函数参数，让学生直观地感受二次函数的性质，并且可以进行实时交互，方便学生进行实践操作和思维拓展。
二、二次函数的性质二次函数的一般形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
二次函数图像为抛物线，具有以下性质：1.开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为顶点的纵坐标。
3.对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。
4.零点：二次函数的零点即为方程y=ax^2+bx+c=0的根，可以通过求解方程得到。
5.判别式：二次函数的判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断二次函数的图像与x轴的交点个数和位置。
利用几何画板，可以直观地展现二次函数的图像和性质，帮助学生更深入地理解和掌握这些性质。
1. 开口方向的直观呈现可以让学生通过调整a的取值，观察抛物线的开口方向如何改变。
当a>0时，抛物线向上开口，可以引导学生联想到一个碗的形状；当a<0时，抛物线向下开口，可以让学生将其想象为一个水槽的形状。
通过这样的直观呈现，学生可以更好地理解二次函数开口方向与参数a的关系，巩固二次函数开口方向的性质。
2. 顶点坐标的实时调整可以让学生自由调整二次函数的a、b、c的取值，观察顶点坐标的变化。
在几何画板上，学生可以直观地看到顶点的位置在坐标轴上的变化，并且可以比较不同函数之间的顶点坐标。
初中二次函数教学中几何画板的应用研究
初中二次函数教学中几何画板的应用研究在初中数学教学中，二次函数是一个非常重要的内容，它是一种常见的代数函数，也是一种常见的几何图形，因此，在二次函数的教学过程中，可以通过几何画板来进行应用研究。
一、二次函数的图像几何画板是一种辅助教学的工具，它可以帮助学生直观地理解函数的性质和变化规律，特别是对于二次函数的图像绘制来说，几何画板具有非常大的优势。
通过画板，可以直观地观察二次函数 y=ax^2+bx+c 的图像，并探讨其与 a、b、c 之间的关系。
例如，当 a>0 时，二次函数的图像将开口向上，当 a<0 时，图像将开口向下；当 b>0 时，图像将向左平移，当 b<0 时，图像将向右平移等等。
通过几何画板，学生可以自己调整 a、b、c 的值，观察图像的变化，并总结二次函数图像与参数 a、b、c 之间的规律。
二、二次函数的根与零点二次函数的根或者零点是指满足函数值为0的自变量值，即对于二次函数 y=ax^2+bx+c 来说，根或者零点就是方程 ax^2+bx+c=0 的解。
在初中阶段，学生已经学过二次方程的解法，但是通过几何画板，可以让学生直观地看到二次函数的图像与方程的解之间的关系。
通过画板，可以绘制二次函数的图像，并使用标记工具找到对应的根或者零点。
通过多次绘制不同函数的图像，并找到它们的根，学生可以发现零点与图像的交点恰好是方程的解，这种直观的方法可以加深学生对二次函数根的理解。
三、二次函数的最值在初中数学中，学生已经学过求解二次函数的最值的方法，但是通过几何画板，可以让学生更加直观地看到二次函数的最值与图像之间的关系。
通过画板，可以绘制二次函数的图像，并使用标记工具找到图像的最高点或者最低点。
通过比较不同二次函数的最值，学生可以发现，最值与a的值有关，当a>0时，最值为最小值，当a<0时，最值为最大值。
通过这种直观的方式，可以帮助学生更好地理解二次函数的最值的概念。
用几何画板探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
用几何画板探究二次函数()2h=的图象和性质y-xa资料编号:202211031810 几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在y轴上任意画出一点A,选中点A和y轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出y轴的一条垂线.单击“点工具”,在y轴左侧的垂线上任画一点B,在y轴右侧的垂线上任画一点C.选中垂线并隐藏,选中点B、C,隐藏单击“构造”、“线段”,作出线段BC.单击“绘图”,选择“隐藏网格”如图1所示.2. 单击“点工具”,在线段BC上任意画出一点P.选中点P,依次单击“度量”、“横坐标（X）”,量出点P的横坐标.选中点P横坐标的度量值右单击,选择“属性”,在对话框中选择“标签”,输入“h”.选中点P,修改点P的标签为h,如图2所示.3. 依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次单击输入“1”、“÷”、“2”、“ *”、“（”、“x ”、“﹣”、“h 的值”、“）”、“∧””、“2”,如图3所示,单击“确定”,作出函数()()221h x x f -=的图象,如图4所示.4.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数的标签（函数解析式）,右单击,选择“函数的标签”,从弹出对话框中修改标签为y .如图5所示.选中点h ,修改点的颜色为浅蓝色,表示该点为可拖动的点.如图6所示.5.使用“点工具”在抛物线上任取一点D ,选中点D 和x 轴,依次单击“构造”、“平行线”,作出x 轴的平行线,交抛物线于另一点E .双击点D ,选中点E ,依次单击“变换”、“缩放”,从弹出的对话框中设置“固定比”为1/2,如图7所示.单击“缩放”,得到线段DE 的中点'E .6.选中点'E 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出的垂线'E x x 即为抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为“红色”.选中点D 、E 和直线DE 并隐藏.选中点'E ,依次单击“度量”、“横坐标”.如图8所示.经此一步,完成作图.课件探索对于二次函数()()02≠-=a h x a y ,课件设置了一个参数h ,通过拖动点h ,改变h 的值,从而在一定范围内改变二次函数的图象.注意观察函数图象的变化.通过课件制作和拖动点h 时对二次函数图象的观察,我们可以发现:二次函数()()02≠-=a h x a y 图象的对称轴为直线h x x E ==',顶点在x 轴上,坐标为()0,h .二次函数()2h x a y -=的图象及性质二次函数()2h x a y -=与2ax y =的关系二者的图象可以相互平移得到.将二次函数()02≠=a ax y 的图象沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位长度,即可得到函数()()02≠-=a h x a y 的图象.二次函数()02≠=a ax y 与()()02≠-=a h x a y 图象的开口方向相同,开口大小相同,对称轴不同,y 随x 的变化规律（增减性）不同,二者的顶点坐标以及最值也不同.二次函数()2h x a y -=的图象与性质的应用例1. 二次函数()2231-=x y 的图象开口_________,对称轴是直线_________,顶点坐标是_________,当x _________时,y 随x 的增大而增大.当=x ________时,y 有最_________值,为_________.分析 对于二次函数()2h x a y -=,其图象的顶点坐标为()0,h ,对称轴为直线h x =.若0>a ,当h x <时,y 随x 的增大而减小;当h x >时,y 随x 的增大而增大. 解: 上 , 2=x , ()0,2 , 2> , 2 , 小 , 0 . 例2. 在平面直角坐标系中画出函数()2321--=x y 的图象. （1）指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;（2）说明该函数图象与二次函数221x y -=的图象的关系;（3）工具图象说明,何时y 随x 的增大而减小. 解:函数图象如图所示.y x () =1212∙x 3()2（1）该函数图象开口向下,对称轴为直线3=x ,顶点坐标是()0,3;（2）该函数图象可由函数221x y -=的图象沿x 轴向右平移3个单位长度得到;（3）由函数图象可知:当3>x 时,y 随x 的增大而减小. 例3. 已知抛物线()22+=x a y 过点()3,1-.（1）求抛物线的解析式; （2）画出函数的图象;（3）求抛物线的对称轴和顶点坐标;（4）观察函数图象,当x 取何值时,y 随x 的增大而增大. 解:（1）把()3,1-代入()22+=x a y 得:9-=a 解之得:31-=a∴抛物线的解析式为()2231+-=x y ; （2）如图所示;（3）抛物线的对称轴为直线2-=x ,顶点 坐标为()0,2-;（4）由函数图象可知,当2-<x 时,y 随x 的增大而增大. 巩固练习1. 将抛物线2x y =向_________平移_________个单位得到抛物线()25+=x y ;将抛物线2x y =向_________平移_________个单位得到抛物线()25-=x y .2. 二次函数()22--=x y 的图象不经过第_________象限.3. 在函数()21-=x y 中,当1>x 时,y 随x 的增大而_________.4. 已知抛物线()2h x a y -=的形状及开口方向与抛物线22x y -=相同,且顶点坐标为()0,2-,则=+h a _________.5. 下列抛物线中,对称轴是直线3=x 的是【 】 （A ）332--=x y （B ）332-=x y（C ）()2321+-=x y （D ）()233-=x y 6. 比较抛物线()222121,12,-=-==x y x y x y 的共同点,说法正确的是【 】（A ）顶点都是原点 （B ）对称轴都是y 轴（C ）开口方向都向上 （D ）开口大小相同7. 已知二次函数()2h x y --=,当3-<x 时,y 随x 的增大而增大,当3->x 时,y随x 的增大而减小,则当0=x 时,y 的值为【 】（A ）1- （B ）9- （C ）1 （D ）9 8. 已知二次函数()23-=x y .（1）写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值;（2）若点()11,y x A ,()22,y x B 位于对称轴右侧的抛物线上,且21x x <,试比较1y 与2y 的大小;（3）抛物线()27+=x y 可以由抛物线()23-=x y 平移得到吗?如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.9. 已对于函数()2231+=x y ,请回答下列问题: （1）把抛物线231x y =怎样移动得到抛物线()2231+=x y ?（2）写出图象的对称轴和顶点坐标; （3）试讨论函数()2231+=x y 的增减性及最值问题.10. 已如图,已知二次函数的图象顶点坐标为（2 , 0）,直线1+=x y 与二次函数的图象交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上. （1）二次函数的关系式为________________;（2）证明点()12,--m m 不在（1）中所求的二次函数的图象上.yxA BO。
利用几何画板研究二次函数图像
利用几何画板研究二次函数图像二次函数在初中数学中是比较难学的内容，而在中考中所占比例比较大，要解决二次函数问题，首先要解决二次函数的图像问题，用几何画板研究二次函数图像，加强了直观性、生动、形象，效果良好，能够引起学生的兴趣，教学事半功倍。
一、利用参数建立二次函数，画出二次函数的图像演示图像的开口大小与二次项系数的关系做法：建立参数a，b,c,然后用几何画板画出函数y=ax2+bx+c图像，改变a的取值观察得知；当a的绝对值变大时（选中a按数字键盘中的“+”号），图像的开口变小，当a的二、利用已经建立的参数二次函数函数的图像演示二次函数的图像形状与二次项系数a有关，而b,c的值影响图像的位置具体做法：选定a的取值，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换a的取值，可以看到图像的形状变化，当选定b或c，或同时选中b,c,按数字键盘中的“+”或“-”号，变换b,c的取值,发现图像的形状没有发生变化，只是位置移动了，并且只变化c时，图像只做上下平移。
操作如图:三、用几何画板验证函数y=a(x-h)2+k, y=a(x-h)2, y=ax 2+k，y=ax 2的图像的关系做法：建立参数a，h，k，用几何画板在同一坐标系内画出函数y=a(x-h)2+k, y=a(x-h)2, y=ax 2+k，y=ax 2的图像,然后选中a，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换a的取值，发现四只图像的形状都在变，但是仍然保持相同；再取消选a，选中h，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换h的取值，发现图像的形状都不变，h的值接近0时，抛物线y=a(x-h)2+k接近抛物线y=ax2+k；抛物线y=a(x-h)2接近抛物线y=ax 2；若只选中k，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换k的取值,图像的形状也不变，k的值接近0时，抛物线y=a(x-h)2+k 接近抛物线y=a(x-h)2，抛物线y=ax2+k接近抛物线y=ax2，当h、k 的值同时取0时，四条抛物线归一，都重合于抛物线y=ax2处，这说明四者之间可以相互平移得到。
几何画板软件在初中二次函数教学中的应用
几何画板软件在初中二次函数教学中的应用几何画板软件是一种用于绘制和操作几何图形的计算机程序，可以在计算机屏幕上绘制各种图形、测量距离和角度、计算面积和周长等。
在初中二次函数教学中，几何画板软件可以起到辅助教学的作用，以下是具体的应用：1. 绘制二次函数图像：在几何画板软件中，可以通过简单的鼠标操作绘制二次函数图像，包括抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴等。
学生可以通过观察和探究，深入理解二次函数的性质。
2. 探究二次函数的平移、缩放和翻转：几何画板软件中可以通过改变二次函数的系数和常数项，实现图像的平移、缩放和翻转。
学生可以通过直观地观察和调整参数，探究二次函数图像的变化规律，进而对二次函数的性质有更深入的认识。
3. 计算二次函数的零点：在几何画板软件中，可以通过交点的功能来求解二次函数的零点。
学生可以结合几何图形的特点，通过观察图像和调整参数，找到二次函数与坐标轴的交点，并实际计算出零点的值。
4. 二次函数的判定和探索：在几何画板软件中，可以通过绘制直线和相应的二次函数图像，来观察和比较二次函数与直线的位置关系，从而判断二次函数与直线的交点个数和位置。
通过实际绘制和比较，学生可以通过探索和比较得出“二次函数与直线相交”的判定准则。
5. 二次函数与实际问题的应用：几何画板软件可以模拟和解决一些实际问题，如抛物线的最大值和最小值、抛物线的应用等。
通过在软件中进行实际计算和模拟，学生可以将数学知识与实际问题相结合，提高应用题的解题能力。
几何画板软件在初中二次函数教学中具有重要的应用价值。
通过使用几何画板软件，学生可以通过直观地观察和实践操作，加深对二次函数的理解和认识，提高数学思维和解题能力。
教师也可以通过几何画板软件来设计和展示课堂教学活动，提高教学效果，激发学生的学习兴趣。
利用几何画板探究二次函数问题
2013-02课堂内外在历年的中考中，二次函数都属于重头戏，所占的分值比例都很高，而且学习上也是学生学习的难点.所以，在研究二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质、平移、翻折变换等问题时，可以用“几何画板”辅助教学活动，引导学生“操作、观察—比较、猜想、探索—抽象和概括”，和学生共同探究二次函数的有关问题，感觉比采用传统的教学手段，效果要好得多.利用几何画板分析二次函数图象、性质等，便于学生直观观察、分析、验证和归纳图象的特征，突破难点.一、引入情景，体验操作通过利用几何画板先让学生动手体验操作过程，以激发学生做数学的兴趣.例1.利用几何画板探究y=ax2（a≠0）的图象、性质与系数a的关系.学生会用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象后，在多媒体教室进行教学.首先，教师将事先做好的“几何画板”文件（如图1）分发给学生，图中点A为x轴上的动点，y=ax2（a≠0）中系数a的值等于点A 的横坐标.探究序列：（1）用鼠标拖动点A（在x轴上原点向右运动）时，改变了y= ax2（a≠0）中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化.（2）拖动点A（在x轴上原点向左运动）时，改变了y=ax2（a≠0）中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化.归纳发现：系数a的作用是：a>0时，抛物线开口向下；a<0时，抛物线开口向上.a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大.在学生会用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象后，使用图1这个几何画板，目的是让学生探究和体会a值的变化带来图象的开口方向和开口大小变化.例2.利用几何画板探究y=ax2+c（a≠0）的图象、性质以及上、下平移.首先，在学生会画y=x2+1、y=x2-2的图象，为了上课的顺便进行，将事先做好的几何画板文件（如图2、图3）分发给学生，图中点C为y轴上的动点，y=x2+c中c的值等于点C的纵坐标.探究序列：（1）如图2，用鼠标上下移动点C，体会c的值变化时函数y= x2+c图象的变化，与函数y=x2的图象有什么关系？你能归纳y=ax2+ c（a≠0）的图象和性质吗？（2）c的值变化时，图象如何移动？你能用简洁的语言归纳出抛物线上、下平移的规律吗？图2、图3主要是让学生体会上下移动点C时，函数y=x2+c、y=-x2+c图象的变化以及与y=x2、y=-x2的关系，解决上下平移问题.例3.利用几何画板探究y=a（x-h）2+c（a≠0）的图象、性质以及左、右平移.将事先做好的“几何画板”文件（如图4）分发给学生，图中点H为x轴上的动点，y=a（x-h）2+c（a≠0）中h的值等于点H的横坐标.2探究序列：（1）用鼠标左右移动H点，看函数y=（x-h）2图象的变化，与y=x2的图象有什么关系？你能归纳y=a（x-h）2（a≠0）的图象和性质吗？（2）h的值变化时，图象如何移动？你能用简洁的语言归纳出抛物线左、右平移的规律吗？发现：h值在变化，图象在左右平移，h值增大，图象____移（填“左”或“右”）；h值减小，图象____移（填“左”或“右”）.图4主要是让学生体会左右移动点H时函数y=（x-h）2图象的变化以及与y=x2的关系，解决左右平移问题,及再次验证图象的对称性.二、自主探究，其乐无穷信息技术，“时”半功倍。
利用几何画板探究二次函数图像性质教学设计
二次函数图像性质教学设计一．教材分析《二次函数》是数学新人教版九年级上册第二十二章内容.二次函数是反映现实生活中变量与变量间的数值关系与规律的一种十分重要的数学模型，应用广泛，许多实际问题都可以用二次函数来进行分析.二次函数作为初中阶段学习的最后一个函数，地位十分重要，在历年来的各地中考中占有相当大的比重.本章重点需要学生掌握二次函数的概念及不同的表达形式，理解它的图像、性质及平移变换的实质，并使学生深化对“数形结合”思想的认识.重点：使学生理解解析式中系数变化与图像变化之间的关系，培养学生创造性思维和动手实践能力.难点：探索使用几何画板工具改变解析式或图像.二．教学目标1.知识目标:通过操作实验使学生理解二次函数性质.2.能力目标：使学生理解解析式中系数变化与图像变化之间的关系，培养学生创造性思维和动手实践能力.3.情感目标：在动手操作过程中体验“做数学”的乐趣.三．教具多媒体、《几何画板》四．教学过程（一）体验操作，情景引入1.利用几何画板形象地展示二次函数图像的特征，帮助学生初步认识图像 二次函数的概念：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数.在学习了二次函数的概念之后，我们将对二次函数的图像进行初步学习.这是学生对二次函数图像的第一次认识，以课堂演示一个简单的二次函数2x y =的图像为例，引导学生观察，展示二次函数图像的基本特征.【操作步骤】（1）打开《几何画板》，在“绘图”菜单下选取“定义坐标系”指令，建立直角坐标系；（2）在“绘图”菜单下选取“绘制新函数”指令，输入2x y =，绘制出其函数图像（紫色实线）；（3）在2x y =图像上远离顶点处任意选取一点A ，选中点A 和Y 轴，做Y 轴的垂线交图像的另一个交点为'A ，隐藏垂线，并选中A 、'A ，构造线段'AA 及'AA 的中点B ，分别选中点B 和线段'AA ，做'AA 的垂线，则此线就是抛物线的对称轴（红色实线）.图2.2-1【师生互动】师：结合之前学过的函数图像，同学们猜一猜二次函数的图像会是什么样子？现在老师已经用计算机精确的作出了二次函数2xy=的图像，同学们看看它和你想象的二次函数图像一样吗？我们就以这个图像为例，来初步认识一下二次函数的图像.生：通过老师上下拉动图像，可以看出二次函数图像是无限的平滑曲线；观察发现图像左右两个部分还有可能是对称的.师：那我们一起来验证一下，结合操作（3）及对称的定义，我们发现同学们的猜想是正确的，二次函数的图像关于某一条直线对称，而且这条直线与Y 轴平行或重合.小结：二次函数图像是关于平行于Y轴的一条直线对称的无限平滑曲线.【设计说明】由于学生是首次接触二次函数的图像，利用《几何画板》准确作出图像能帮助学生准确认识二次函数的图像，形成良好的“第一印象”.（二）问题驱动，操作探究2.利用几何画板动态地展现解析式与图像的关系，渗透“数形结合”的思想探究1：二次函数2xy=图像的关系y=与2-x【操作步骤】（1）打开《几何画板》，在“绘图”菜单下选取“定义坐标系”指令，建立直角坐标系；（2）在“绘图”菜单下选取“绘制新函数”指令，输入2xy=，绘制出其函数图像（紫色实线）；（3）在“绘图”菜单下选取“绘制新函数”指令，输入2y=，绘制出其-x函数图像（红色虚线）；（4）在2xy=图像上任意选取一点A，以X轴为镜面反射，得到点'A，选定点A和'A，在“变换”菜单下选取“创建自定义变换”指令.（5）选定2xy=的图像，在“变换”菜单下执行“新创建自定义变换”得到2xy=图像关于X轴翻折后的图像.图2.2-2【师生互动】师：前面我们通过2xy=的图像认识了二次函数的图像，现在老师在做出2y=的图像，同学们找一找他的解析式有什么不同，再结合图像观察这样的-x不同对函数的图像有什么影响？生：观察得出两个函数的二次项系数互为相反数，发现两个函数的图像的形状和大小可能都相同.师：那我们一起来验证一下同学们的猜想，如果满足两个函数的图像的形状和大小都相同，即两个函数的图像能够完全重合，那么再观察图像，能验证到2y=的图像重合即可.接下来再进行操-xxy=的图像沿X轴翻折之后的图像与2作（4）和（5），观察发现2xy=的图像完全重y=的图像沿X轴翻折下来与2-x合，说明猜想正确.小结：在二次函数c+=2中，如果两个函数的a、b、c值均相同，axy+bx那么两个函数图像的形状和大小也都相同.探究2：c b a 、、的值对二次函数c bx ax y ++=2图像的影响【操作步骤】（1）打开《几何画板》，在“绘图”菜单下选取“定义坐标系”指令，建立直角坐标系；（2）在X 轴上取三点并分别标记为A 、B 、C ，选中点A 和X 轴做X 轴的垂线，在该垂线上选取一点标记为'A ，隐藏垂线，度量'A 点的纵坐标，标记参数点的纵坐标值'A a =；（3）同（2）作出'B 、'C 点，度量'B 、'C 点的纵坐标，标记参数点的纵坐标值'B b =，标记参数点的纵坐标值'C c =；（4）在“绘图”菜单下选取“绘制新函数”指令，输入c bx ax y ++=2，绘制出其函数图像；（5）保持'B 、'C 点位置不变，用鼠标拖动'A 点，形成动态图像；（6）在c bx ax y ++=2图像上远离顶点处任意选取一点A ，选中点A 和Y 轴，做Y 轴的垂线交图像的另一个交点为'A ，隐藏垂线，选中A 、'A ，构造线段'AA 及'AA 的中点B ，选中点B 和线段'AA ，并做'AA 的垂线，此线就是抛物线的对称轴（红色实线），隐藏线段'AA ，点A 、'A 、B ；（7）保持'C 点不动，拖动'A 、'B 点，形成动态图像；（8）确定图像与Y 轴的交点并标记为点M （绿色），并度量M 点的坐标；（9）保持'A 、'B 点位置不变，用鼠标拖动'C 点，形成动态图像.图2.2-3图2.2-4图2.2-5【师生互动】师：通过探究1我们知道了a的值会对二次函数cy+=2的图像造成+bxax影响，那同学们想不想知道a的值变化到达会造成c=2的图像怎样的+bxaxy+变化呢？下面让我们一起来探究一下.进行操作（5），引导学生观察.生：观察得出a的正负会对抛物线的开口方向造成影响：0a时，函数开>口向上；0<a时，函数开口向下.师：同学们观察的很好，那同学们再仔细一点，看看参数a的值发生具体变化时对函数图像还有什么影响？生：还发现a的大小对抛物线的开口的大小有影响，开口随a的增大而变小，随a的减小而增大.师：找出了a的值对二次函数c=2的图像的影响，接着我们来看+bxaxy+一看b 的值对图像又会有怎样的影响.通过进行操作（7），引导学生发现b a 、可能会影响图像的对称轴，那就先做出对称轴，进行操作（6），为了不影响学生观察，隐藏作图过程.再进行操作（7），引导学生观察.生：观察发现，b a 、同正负则对称轴在Y 轴的左边；b a 、异正负号则对称轴在Y 轴的右边.师：那什么情况下对称轴刚好与Y 轴重合，结合之前的学习，我们想到试一试0=b 的情形.生：当0=b 时，函数c bx ax y ++=2的对称轴刚好与Y 轴重合.师：最后我们来看一看c 的值是怎样影响函数c bx ax y ++=2的图像的变化的，结合代数知识我们很快知道了函数图像必过定点()c ，0，那我们先在图像上找出这个点，进行操作（8），标出定点之后进行操作（9），引导学生观察. 生：观察发现：0=c 时，图像经过原点； 0>c 时，交点在正半轴；0<c 时，交点在负半轴.【设计说明】二次函数表达式与图像的关系对于初中的学生本就难于理解，传统教学中静态的图形使原本相互联系的知识分裂开来，忽略了知识间内在的本质，会使我们只注意到了片面的东西而忽视了整体[6].在此教师利用《几何画板》在课堂上演示c bx ax y ++=2的图像更好地展示了图像对函数关系的动态反映，把抽象的内容变得具体化.让学生通过一步步的探究，并在动脑观察的基础上自己总结出二次函数c bx ax y ++=2中c b a 、、对图像的影响，其间利用《几何画板》进行动态的演示，极大地吸引了学生的注意力，增强了学生学习函数的兴趣.（三）形成结论,交流分享让学生将上述探究活动中记录的结论进行综合分析，形成规律，提炼观点，以小组为单位，分层进行展示交流，可以相互补充或提出修改意见。
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利用几何画板探究二次函数问题
作者：李素梅
来源：《新课程·上旬》2013年第02期
摘要：信息技术应用于课堂教学，不仅可以提高课堂教学效率，还可以发挥学生的积极性、主动性，激发学生学习兴趣.利用几何画板探究二次函数的相关问题，便于学生直观观察、分析、验证和归纳图象的特征，突破难点.
关键词：二次函数；几何画板；自主探究
在历年的中考中，二次函数都属于重头戏，所占的分值比例都很高，而且学习上也是学生学习的难点.所以，在研究二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质、平移、翻折变换等问题时，可以用“几何画板”辅助教学活动，引导学生“操作、观察—比较、猜想、探索—抽象和概括”，和学生共同探究二次函数的有关问题，感觉比采用传统的教学手段，效果要好得多.利用几何画板分析二次函数图象、性质等，便于学生直观观察、分析、验证和归纳图象的特征，突破难点.
一、引入情景，体验操作
通过利用几何画板先让学生动手体验操作过程，以激发学生做数学的兴趣.
例1.利用几何画板探究y=ax2（a≠0）的图象、性质与系数a的关系.学生会用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象后，在多媒体教室进行教学.
首先，教师将事先做好的“几何画板”文件（如图1）分发给学生，图中点A为x轴上的动点，y=ax2（a≠0）中系数a的值等于点A的横坐标.
探究序列：
（1）用鼠标拖动点A（在x轴上原点向右运动）时，改变了y=ax2（a≠0）中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化.
（2）拖动点A（在x轴上原点向左运动）时，改变了y=ax2（a≠0）中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化.
归纳发现：系数a的作用是：
a>0时，抛物线开口向下；a
a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大.
在学生会用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象后，使用图1这个几何画板，目的是让学生探究和体会a值的变化带来图象的开口方向和开口大小变化.
例2.利用几何画板探究y=ax2+c（a≠0）的图象、性质以及上、下平移.
首先，在学生会画y=x2+1、y=x2-2的图象，为了上课的顺便进行，将事先做好的几何画板文件（如图2、图3）分发给学生，图中点C为y轴上的动点，y=x2+c中c的值等于点C的纵坐标.
探究序列：
（1）如图2，用鼠标上下移动点C，体会c的值变化时函数y=x2+c图象的变化，与函数y=x2的图象有什么关系？你能归纳y=ax2+c（a≠0）的图象和性质吗？
（2）c的值变化时，图象如何移动？你能用简洁的语言归纳出抛物线上、下平移的规律吗？
图2、图3主要是让学生体会上下移动点C时，函数y=x2+c、y=-x2+c图象的变化以及与y=x2、y=-x2的关系，解决上下平移问题.
例3.利用几何画板探究y=a（x-h）2+c（a≠0）的图象、性质以及左、右平移.
将事先做好的“几何画板”文件（如图4）分发给学生，图中点H为x轴上的动点，y=a（x-h）2+c（a≠0）中h的值等于点H的横坐标.
探究序列：
（1）用鼠标左右移动H点，看函数y=（x-h）2图象的变化，与y=x2的图象有什么关系？你能归纳y=a（x-h）2（a≠0）的图象和性质吗？
（2）h的值变化时，图象如何移动？你能用简洁的语言归纳出抛物线左、右平移的规律吗？
发现：h值在变化，图象在左右平移，h值增大，图象____移（填“左”或“右”）；h值减小，图象____移（填“左”或“右”）.
二、自主探究，其乐无穷
信息技术，“时”半功倍。
运用几何画板软件的“画函数图象”功能大大提高上课的效率，这样有利于学生知识体系的形成，有利于函数图象变换思想的建构.运用动画展示图象的平移过程，十分形象和生动，加深了学生对于运动的认识，也充分体现了信息科技与学科教学整合的优势.
为了让学生更直观地感受二次函数图象的变换过程，为了让学生对于函数性质的理解更加深刻，尝试让他们自己利用几何画板探讨二次函数的函数图象及性质等.我们可以分组研究探索二次函数，设计一份实验报告纸（展示实验报告纸），这份实验报告给学生提供了研究的方法，但并没有给学生研究的框架，而是放手让学生自己代值、记录、观察、讨论、总结，得到新知识，学生能够完全体会到成功的喜悦，既提高了学习的兴趣，又加深了对知识的印象和理解.
参考文献：
[1]徐新爱，胡启宙.用几何画板研究二次函数性质.教学月刊：中学版，2011（01）.
[2]冯芝明，李现龙.利用《几何画板》研究二次函数.陕西教育：高教版，2008（03）.
[3]孙丽丽，胡炳旭.用“几何画板”研究二次函数.师范教育，2004（02）.
（作者单位安徽省太和县民族中学）。