全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式
1. 完备事件组(或样本空间Ω的划分)n 个事件满足：
12B ,B ,,B n
B B ,,1,2,,i j i j n
=Φ= (1) 两两互不相容.
(2) 和事件为必然事件.
1
B
n
k
k ==Ω
∑ΩB 2
B 1B n
…
2. 全概率公式
则对任一事件A ，有1
()P(B )(/B )
n k k k P A P A ==∑设为完备事件组，且12B ,B ,,B n P(B )0,1,2,,k k n
>= ①取合适的完备事件组，从导致该事件
发生的各种条件、原因着手;②各B k 的概率及有关条件概率易于计算.
类比集合分类计数思想，可得到一种计算复杂事件概率的方法.运用公式的关键
全概率公式与贝叶斯公式
证明：
由完备事件组的性质可知
1
B B ,,1,2,,B
i j n
k
k i j n
==Φ==Ω
∑ 1
1B B ,(B )(B )n
n
k k i j k k A A A A A A ===Ω===Φ∑∑1
1
()(B )(B )
n
n
k k k k P A P A P A ====∑∑1
(B )(/B )n
k k k P P A ==∑（由乘法公式）
()i P B A =
1
()()()(),1,2,,i
i n
k
k
k P B P A B P
B P A i n B ==∑
3. 贝叶斯公式
设为完备事件组，则
12B ,B ,,B n 利用条件概率公式与全概率公式可得到贝叶斯公式.P(A)>0,P(B )0,1,2,,k k n
>= 其中：全概率公式与贝叶斯公式
()()i P AB P A 已知结果A ，分析导致出现此结果的第i 个原因B i 发生的概率.
例1. 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0.5%．一种血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1% 的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性．现设某人检查出呈阳性反应，问他患有此疾病的概率是多少？
解：A”检查结果为阳性”
B1“被检查者患有此病”，B2“被检查者没患此病”
显然，B
1，B
2
为完备事件组.
可知在查为阳性的情况下，确实患病的概率并不是很大！
由题意知，
005.0)(1=B P ，
995.0)(2=B P 1()0.95P A B =，
2()0.01.
P A B =由贝叶斯公式可得
112
11
0.()()
()(0050.95
()0.323.0.0050.950.90)
95.01
i
i
i P P B P A B P B A B B A P =⨯=
=≈⨯+⨯∑
例2 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1．一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，随机地查看4只，若无残次品，则买下，否则不买．试求
（1）顾客买下的概率；
（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率.
解：A”顾客买下”, B
i
”买下的这箱中有i只残次品”,i=0,1,2.
显然，B
0，B
1
，B
2
为完备事件组.
,8.0)(0=B P ,1.0)(1=B P ;1.0)(2=B P ,
1)(0=B A P ,5
4C C )(420
4191==
B A P .19
12C C )(420
4182==
B A P 2
412
()0.810.10.10.94
519
()()i i i P P A A B P B ===⨯+⨯⨯≈∑
＋（1）由全概率公式
（2）由贝叶斯公式
000()()()0.8
()0.85
0.94
P A B P B P P B A A =≈≈
①全概率公式：从产生结果A的所有可能原因、条件出发，分析在
各特定原因、条件B
k 下结果出现的可能性P(A/B
k
)，并由此得到结
果A发生的可能性P(A) .
②贝叶斯公式：当观察到一个结果A后，去分析导致该结果的各种
原因、条件B
k 的可能性P(B
k
/A)．
③贝叶斯方法在经济管理、投资决策、医学、人工智能等许多方面
有着重要的应用价值.
4. 贝叶斯方法包含的重要思想
练习
1) 市场上出售的灯泡来自甲乙两厂.甲乙两厂的市场份额分别为70%，30%，灯泡的合格率分别是90%，85%.求从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率.
2) 有位朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的可能性分别是：0.3，0.2，0.1，0.4。

如果乘火车、轮船、汽车来，迟到的概率分别为：1/4，1/3，1/12，如果乘飞机来则不会迟到。

求他迟到的概率；如果他迟到了，是因为他乘火车来的概率是多少?
休息，休息一下！。