1.2.1几个常用函数的导数
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f ( x) lim y 1 1 lim 2. x 0 x x 0 x( x x) x
(
一般地，可以证明幂函数 是任意实数）的导数公式为
yx
( x ) ' nx
1
练习1 求下列函数的导数：
(1) y x
解：
4
(2) y x
3
1 (3) y 2 x
C = 0
＇ 4) y=1/x=x-1. ｙ＝ -x2
1 ｙ＝ x 2
＇
1 2
α－１ (xα )＇ ＝αｘ （α ∈Ｑ）
y 0 （2） 算比值： x
（3）取极限：y
这就是说，常数的导数等于零 2 、求函数 y x 的导数。
解：
y lim 0 x 0 x
y f ( x x) f ( x) x x x 1, x x x y y lim lim 1 1. x 0 x x 0
结论：f '( x) (kx)' k
(2) y 4 x增加得最快， y 2 x增加得最慢
O x
(3)k 0, 导数大增加得快 k 0,| k | 大,导数绝对值大减少得快
2 3、 函数 y f ( x) x , 的导数
解：
y f ( x x) f ( x) ( x x)2 x 2 2 x x (x) 2 2 x x， x x x x
分子有理化
1 , x x x
y 1 1 所以 y` lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x
例 1：求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1, -1) 的切线方程.
解: 由 y=x3+3x2-5 知 y=3x2+6x, 设切点为 P(x0, y0), 则 y | x=x0=3x02+6x0, 曲线在点 P 处的切线方程为 y-y0=(3x02+6x0)(x-x0). 又切线过点 M(1, -1), ∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),
y f ( x) lim lim (2 x x) 2 x. x 0 x x 0
1 y f ( x ) , 的导数 4、 函数 x 1 1 解： y f ( x x) f ( x) x x x 1 ， x x x x ( x x )
1.2. 导数的运算
1.2.1 几个常用函数的导数
1、导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) f lim lim . x 0 x 0 ( x0 x) x0 x x
探究：P13
在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数。 （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数y=kx（k 0）增（减）的快慢与什么有关？ y
函数f ( x) kx的导函数为：
1 函数 y 在点（ 1,1）处的切线方程为： x y-1=(-1)(x-1) y=-x+2
5. 函数 y f x x 的导数
y f x x f x 因为 x x
x x x x
x x x x x x x x x x
即 y0=3x03+3x02-6x0-1.
而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5, ∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1. 整理得 x03-3x0+2=0. 解得 x0=1 或 x0=2. ∴切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1). 故所求的切线方程为 9x-y-10=0 ) 4 x 41 4 x3
3 31 4 (2) y ( x ) 3x 3x 2 1 2 2 3 y ( x ) 2 x 3 (3) y 2 x x x 1 1 1
(4) y x x 2
f ( x x) f ( x)
y f ( x x) f ( x) 2.算比值： x x y f ( x x) f ( x) lim 3.取极限： y lim x 0 x x 0 x
下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数 y c ( c 是常数)的导数。 解：（1）求增量： y f ( x x) f ( x) c c 0
∴4b+c=0. 又g(x)=2bx, 4b=g(2)=f(2)=16,
∴b=4. ∴c=-16. ∴g(x)=4x2-16. 综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.
小结：
几个常用函数的导数:
1) y=c (c为常数).
2) y=x. 3) y=x2.
＇ ｙ ＝１
＇ ｙ ＝２x
1 1 1 2 2 y ( x ) x 2 2 x
1 答： y 2 x
1 探究 画出函数y 的图象.根据图象, 描述它的 x 变化情况, 并求出曲线在点1,1 处的切线方程.
见书P14
1 当x 0时，随着x的增加，y 减少得越来越快； x 1 当x 0时，随着x的增加，y 减少得越来越慢。 x 又 k=y|x=1 =-1
例2：已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点
P(2, 0), 且在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式. 解: ∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f(x)=6x2-8. ∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative）， 记作 f '( x0 ) 或 y ' |x x0 ，即 f ( x0 x) f ( x0 ) f '( x0 ) lim . x 0 x
2、 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：
1.求增量： y
(
一般地，可以证明幂函数 是任意实数）的导数公式为
yx
( x ) ' nx
1
练习1 求下列函数的导数：
(1) y x
解：
4
(2) y x
3
1 (3) y 2 x
C = 0
＇ 4) y=1/x=x-1. ｙ＝ -x2
1 ｙ＝ x 2
＇
1 2
α－１ (xα )＇ ＝αｘ （α ∈Ｑ）
y 0 （2） 算比值： x
（3）取极限：y
这就是说，常数的导数等于零 2 、求函数 y x 的导数。
解：
y lim 0 x 0 x
y f ( x x) f ( x) x x x 1, x x x y y lim lim 1 1. x 0 x x 0
结论：f '( x) (kx)' k
(2) y 4 x增加得最快， y 2 x增加得最慢
O x
(3)k 0, 导数大增加得快 k 0,| k | 大,导数绝对值大减少得快
2 3、 函数 y f ( x) x , 的导数
解：
y f ( x x) f ( x) ( x x)2 x 2 2 x x (x) 2 2 x x， x x x x
分子有理化
1 , x x x
y 1 1 所以 y` lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x
例 1：求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1, -1) 的切线方程.
解: 由 y=x3+3x2-5 知 y=3x2+6x, 设切点为 P(x0, y0), 则 y | x=x0=3x02+6x0, 曲线在点 P 处的切线方程为 y-y0=(3x02+6x0)(x-x0). 又切线过点 M(1, -1), ∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),
y f ( x) lim lim (2 x x) 2 x. x 0 x x 0
1 y f ( x ) , 的导数 4、 函数 x 1 1 解： y f ( x x) f ( x) x x x 1 ， x x x x ( x x )
1.2. 导数的运算
1.2.1 几个常用函数的导数
1、导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) f lim lim . x 0 x 0 ( x0 x) x0 x x
探究：P13
在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数。 （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数y=kx（k 0）增（减）的快慢与什么有关？ y
函数f ( x) kx的导函数为：
1 函数 y 在点（ 1,1）处的切线方程为： x y-1=(-1)(x-1) y=-x+2
5. 函数 y f x x 的导数
y f x x f x 因为 x x
x x x x
x x x x x x x x x x
即 y0=3x03+3x02-6x0-1.
而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5, ∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1. 整理得 x03-3x0+2=0. 解得 x0=1 或 x0=2. ∴切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1). 故所求的切线方程为 9x-y-10=0 ) 4 x 41 4 x3
3 31 4 (2) y ( x ) 3x 3x 2 1 2 2 3 y ( x ) 2 x 3 (3) y 2 x x x 1 1 1
(4) y x x 2
f ( x x) f ( x)
y f ( x x) f ( x) 2.算比值： x x y f ( x x) f ( x) lim 3.取极限： y lim x 0 x x 0 x
下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数 y c ( c 是常数)的导数。 解：（1）求增量： y f ( x x) f ( x) c c 0
∴4b+c=0. 又g(x)=2bx, 4b=g(2)=f(2)=16,
∴b=4. ∴c=-16. ∴g(x)=4x2-16. 综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.
小结：
几个常用函数的导数:
1) y=c (c为常数).
2) y=x. 3) y=x2.
＇ ｙ ＝１
＇ ｙ ＝２x
1 1 1 2 2 y ( x ) x 2 2 x
1 答： y 2 x
1 探究 画出函数y 的图象.根据图象, 描述它的 x 变化情况, 并求出曲线在点1,1 处的切线方程.
见书P14
1 当x 0时，随着x的增加，y 减少得越来越快； x 1 当x 0时，随着x的增加，y 减少得越来越慢。 x 又 k=y|x=1 =-1
例2：已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点
P(2, 0), 且在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式. 解: ∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f(x)=6x2-8. ∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative）， 记作 f '( x0 ) 或 y ' |x x0 ，即 f ( x0 x) f ( x0 ) f '( x0 ) lim . x 0 x
2、 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：
1.求增量： y