期权的定价和希腊字母.

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利率期权的复杂性 1、利率是随机的； 2、利率不服从正态分布； 3、每天的利率不是一个值，是一条利率期限结构； 4、整个利率期限结构上的每个时间点利率的波动率是不同的。
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2、二叉树定价模型
二项期权定价模型由考克斯（J.C.Cox）、罗斯（S.A.Ross）、鲁宾斯 坦（M.Rubinstein）和夏普（Sharpe）等人提出的一种期权定价模型，主要 用于计算美式期权的价值。其优点在于比较直观简单，不需要太多数学知识 就可以加以应用。 下图为二叉树一期模型,表示在任何时点，价格可能上升至u*S（以q的概率 ），也可能下降至d*S（以1-q的概率）。
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下式为外汇的欧式期权定价模型：
C=S* e^(- Rfor *T)* N(d1)-X*e^(-r*T)*N（d2）
P= X*e^(-r*T)*N（-d2） -S* e^(- Rfor *T)* N（-d1）
d1=[ln（S/X）+(r- Rfor ）*T+T*б^2*1/2）]/б*T^(1/2) d2=d1-б*T^(1/2)
卖权 + +？ -？ +
+：正向影响；-：反向影响；+？：大部分情况是正向；-？：大部分情况是 LOGO 反向。
1、履约价与买权价格的关系
期权价格
买权
卖权
履约价
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2、市场价格S与买权价格的关系
期权价格
卖权
买权
市场价格
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衡量标的资产价格变动的风险-delta（Δ）
动加减仓位）
如：delta值为0.2，表明，当标的资产价格上涨或者下跌1时，期权价格 上涨或者下跌0.2。
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delta对冲-利用期权对标的资产的套期保值
举例1： 某投资者持有1000手股指期货买入合约，股指期货的价格为2000点， 股指期货期权市场上的平价买权为200点，delta为0.5，平价卖权为200点， delta为-0.5。 那么他的两种对冲方法为： 1、卖出-1000*1/0.5=-2000手平价买权； 2、买入-1000*1/（-0.5）=2000手平价卖权。 当期货价格上涨10点时，期货盈亏为：1000*10=10000点； 1、买权价格上涨10*0.5=5，卖出2000手买权的盈亏为：-2000*5=-10000点 2、卖权价格下跌10*（-0.5）=-5，买入2000手卖权的盈亏为：2000*（-5） =-10000点；
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期货和期权之间的相互复制
期权复制期货：
1份买入期货=买入1份平价买权+卖出1份平价卖权；
1份卖出期货=卖出1份平价买权+买入1份平价卖权。 期货复制期权： 1份买权=买入delta份期货； 1份卖权=卖出delta份期货。
注意：由于delta随着价格的上涨和下跌会发生改变，因此需要经常调整期货合约数量。
买权价格
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K
标的资产价格
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卖权（Put） 买方 向买方买入卖权 支出权利金 有权利以约定价格将目标资产 卖给卖方 主动（有权利没有义务）
比如：健康险，财产险。
卖方 将卖权卖给买方 获得权利金 有义务向持有人购买标的资产 被动（有义务没有权利）
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卖权的极限值：
最高：S=0，T→∞，卖权的价格P=行权价格K； 最低：K→0，T→0，卖权的价格P=0.
卖权价格
K
K
标的资产价格
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二、期权的定价方法
1、BS期权定价模型 2、二叉树定价模型
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1、BS定价模型
布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model），简称BS模型，是一种 为期权或权证等金融衍生工具定价的数学模型，由美国经济学家迈伦· 斯科 尔斯（Myron Scholes）与费雪· 布莱克（Fischer Black）首先提出，并由罗 伯特· 墨顿（Robert C. Merton）完善。该模型就是以迈伦· 舒尔斯和费雪· 布 莱克命名的。1997年迈伦· 舒尔斯和罗伯特· 墨顿凭借该模型获得诺贝尔经济 学奖（布莱克当时已逝）。
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Байду номын сангаас
衡量delta的变化-Gamma（Γ）
Gamma=delta变动/标的资产价格的变动 无论是买权还是卖权的gamma永远为正； 同样履约价的买权和卖权的gamma值相同； 平价期权的gamma值最大。 Gamma对冲-规避delta的变动风险 举例2： 继续利用上面例子1的情况，平价买权的gamma为0.045. 原避险部位：delta=0，gamma=-2000*0.045=-90，会出现价格上涨则避险 不足，价格下跌则避险过量。
期权的定价和希腊字母
国金期货-投研部-何波
一、期权的定义 二、期权的定价方法
三、影响期权价格的因素和希腊字母
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一、期权的定义
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长期外汇债券
股票市场
可 转 换 公 司 债 券
外汇市场
期权
期货
期权
期货
外 汇 互 换
债券市场
利率互换
货币市场
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上式中， y：连续红利。
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下式为期货的欧式期权定价模型：
C=F* e^(-r*T)* N(d1)-X*e^(-r*T)*N（d2）
P= X*e^(-r*T)*N（-d2） -S* e^(-r*T)* N（-d1）
d1=[ln（F/X）+T*б^2*1/2）]/б*T^(1/2) d2=d1-б*【T^(1/2)】
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下式为无红利的欧式期权定价模型：
C=S*N(d1)-K*e^(-r*T)*N（d2） P= K*e^(-r*T)*N（-d2） -S*N（-d1） d1=[ln(S/K ）+(r*T+T*б^2*1/2）]/б*T^(1/2) d2=d1-б*T^(1/2) 上式中： N(d)：表示累计正态分布 ； C：买权； P：卖权； S：股票当前的价格 ； K：期权的执行价格 ； T：行权价格距离现在到期时间长度 ； б：表示波动率 ； Company r：表示无风险利率。
可以看出：期权的价格和标的资产的市价无关，只与市价和行权价之比有关。
为什么没有q？ 风险中性定价，期权的价格和上涨下跌的概率无关。 q = π,上涨概率固定，
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三、影响期权价格的因素
买权 履约价k 市场价s 距到期日时间T 无风险利率r 波动率σ + +？ +？ +
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种类：
买权（看涨期权）：持有人拥有购买标的资产的权利； 卖权（看跌期权）：持有人拥有出售标的资产的权利； 奇异期权。
到期日：
欧式（主流）：到期日（或者到期的一段特定时间）才可以执行权利； 美式（非主流）：到期日以前（含到期日）均可以执行权利。 百慕大式，以色列式，俄罗斯式……
行权价格：执行价格，既定价格或者履约价格。 标的资产： Company
期权 型态 一般独立
权证 经常嵌入
保证金与日结
到期时间和履约价格
期权卖方
券商
履约价数量较多，期限 履约价一般只有一个， 一般不长于1年 期限也较长（1，2年）
做市商者
发行量 交易方向
专业做市者（期货自营 券商 商）
不固定 可以买，也可以做空
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固定 只能买或者不做
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期货与期权或对比一览表 期货 保证金 双方均需要 期权 买方不需要，卖方需要
确定最低买价 Company 确定最高卖价
不仅能保值还能增值
确定最高买价 确定最低卖价
但现货商套期保值一般仍是使用期货+LOGO 卖期权！！
专有名词：
期权的买方（持有人）有权利（但没有义务）在未来约定时间点以约定的价格 买（或者卖）约定数量的目标资产。 买方想要拥有期权，则必须支付给买方一定的权利金。 如果买方执行买（或者卖）目标资产时，买房有义务卖（或者买）相应的资产。
成本
保证金追加 每日结算 强行平仓 风险 被套 心态 交割
高
双方均有 双方均有 双方均有 无限 存在 不稳定 自由选择
买方低，卖方高
买方无，卖方有 买方无，卖方有 买方无，卖方有 买方有限，卖方无限 买方不存在，卖方存在 买方稳定，买方不稳定 买方自由选择，卖方被动
保值效果
买期保值 卖期保值
能保值不能增值
上式中：Rfor：按连续复利计算的外币的无风险利率。
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利率期权定价模型：
C=B*[S* N(d1)-X*N（d2） ]
P=B*[X*N（-d2） -S* N（-d1）]
d1=[ln（S/X）+T*б^2*1/2）]/б*T^(1/2) d2=d1-б*T^(1/2)
B：折现率
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delta=期权变动/标的资产价格的变动 N（d1）/N（-d1）
买权的delta为正值（大于0，小于1）；卖权的delta为负值（大于-1，小
于0）；平价期权的delta的绝对值为0.5。 随着标的资产价格上涨买权的delta趋近于1，卖权的delta趋近0，随着标
的资产价格的下跌，买权的delta趋近与0，卖权的delta趋近与-1.（相当于自
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下式为股票指数的欧式期权定价模型：
C=S* e^(-y*T)* N(d1)-K*e^(-r*T)*N（d2）
P= K*e^(-r*T)*N（-d2） -S* e^(-y*T)* N（-d1）
d1=[ln（S/K）+(r-y）*T+T*б^2*1/2）]/б*T^(1/2) d2=d1-б*T^(1/2)
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利率上限和下限的估值 C=M*T*B*[Rs* N(d1)-Rk*N（d2） ]
P=M*T*B*[Rs* N(d1)-Rk*N（d2） ]
d1=[ln（Rs/Rk）+T*б^2*1/2）]/б*T^(1/2)
d2=d1-б*T^(1/2)
Rs：市场利率 Rk：行权利率 M：利率期权对应贷款的金额 Company
现货期权：现货； 期货期权：期货。
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市场价格与行权价格的关系
实值（价内）：市场价格大于执行价格（买权），市场价格小于执行价格（卖权 ）； 虚值（价外）：市场价格小于执行价格（买权），市场价格大于执行价格（卖权 ）； 平值（平价）：市场价格等于执行价格（不论是买权，还是卖权）。
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q
u*S d*S
q
u*u*S d*u*S
S
1-q
1-q q
1-qCompany
LOGO d*d*S
那么二期二叉树模型的买入期权定价公式为： Cu=[Cuu*π+Cdu*（1-π）]/（1+r） Cd=[Cdu*π+Cdd*（1-π）]/（1+r） Cuu=Max[u*u*S-K,0] Cdu=Max[d*u*S-K,0] Cdd=Max[d*d*S-K,0] 下面的步骤和一期模型相同， 多期模型类似， 买权和卖权的定价公式，除了下面不同，其他的相同。 Puu=Max[K-u*u*S,0] Pdu=Max[K-d*u*S,0] Company Pdd=Max[K-d*d*S,0] LOGO
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新的避险部位，同时存在另外一个买权，delta=0.8，gamma=0.03： 条件1：delta=1*1000+A*0.5+B*0.8=0； 条件2：gamma=0*1000+A*0.045+B*0.03=0； A=-2049手，B=31手，卖出2049手原有的买权，买入31手新的买权。 但是：如果前面是拥有-2000手平价买权，利用1000手买入期货进行对冲， 那么新的避险部位为： 条件1：delta=A*1-2000*0.5+B*0.8=0； 条件2：gamma=A*0-2000*0.045+B*0.03=0； A=-1400手， B=3000手，卖出1400手期货，买入3000手新的买权。这导致 原来的持有头寸方向发生改变！！！！
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B-S模型有7个重要的假设： 1、股票价格行为服从对数正态分布模式； 2、在期权有效期内，标的资产的无风险利率和波动率是常 数； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本； 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后 被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 6、不存在无风险套利机会； 7、证券交易是连续的； 8、投资者能够以无风险利率借贷。
买权（Call） 买方 从卖方买入买权 支出权利金 有权利向卖方以约定价格买入 标的资产 主动（有权利没有义务）
比如：股票
卖方 将买权卖给买方 获得权利金 有义务将目标资产卖给买权持 有人 被动（有义务没有权利）
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买权的极限值：
最高：K=0，T→∞，买权的价格C=标的资产的价格S； 最低：K→∞，T→0，买权的价格C=0.
q
u*S
S
1-q
d*S
u=e^[σ*(T/n)^0.5]; Company d=1/u. LOGO σ:波动率；T：到期时长；n：期数。
那么一期二叉树模型的买入期权定价公式为： π=（1+r-d）/（u-d） C=[Cu*π+Cd*（1-π）]/（1+r） Cu=Max[u*S-K,0] Cd=Max[d*S-K,0] 二期价格可能变动为