(完整版)函数与方程经典例题及答案

函数与方程典型例题习题
例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点，
（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 的零点；
（3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系．
分析：可设函数解析式为2
y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ．
【解】（1）设函数解析式为2y ax bx c =++， 由85937c a b c a b c =-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得128a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩
，
∴2()28f x x x =+-．
（2）令()0f x =得2x =或4-，
∴零点是122,4x x ==-．
（3） (2)(4)0f f =，
(1)(3)97630f f -=-⨯=-<，(5)(1)350f f -=-<，(3)(6)1120f f -=>．
点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <．
例2：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围．
分析：
【解】（1）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴的交点为1(,0)3
，符合题意；
（2）0k ≠时，(0)1f =，
0k <时，()f x 的图象是开口向下的抛物线，它与x 轴的两交点分别在原点的两侧； 0k >时，()f x 的图象是开口向上的抛物线，必须2(3)40302k k k k
⎧∆=--≥⎪⎨-->⎪⎩，解得01k <≤ 综上可得k 的取值范围为(,1]-∞.
追踪训练一
1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x 轴交点横坐标为 （ D ）
）
A .1
B .0
C .2或0
D .2
2．已知01a <<则方程0log =+x a a x 的解的个数是（ A ）
A .1
B .2
C .3
D .不确定
3．直线2
3+=kx y 与曲线223y y x --+ 0=只有一个公共点，则k 的值为（ A ）
A . 0，41,21-
B .0，4
1- C .41,21- D .0，4
1,21- 4．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是(1,0)、(5,0)，方程2650x x -+=的根为1或5．
5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k 的取值范围为113
k ≥
. 6．已知函数()2x f x a =-过点(1,0)，则方程()f x x =的解为 1.7-．
7．求方程2
2850x x -+=的近似解（精确到0.1）．
答案：3.2和0.8
8．判断方程2(22)250x a x a -+++=（其中2a >）在区间(1,3)内是否有解．
答案：有解． 函数与方程测试题（时间45分钟）
一、填空题（共计6小题，每题10分）
1、函数f(x)=122--x x 在区间（2，3）上零点的个数为 .
2、已知：f(x)=b a x +的图象如图所示，则a 与b 的值分别为
3、设f （x ）
x e +1，则f （x ）＝ .
4、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为________元
5、若不等式
2x +ax+1≥0对于一切x ∈（０，21］成立，则a 的最小值是 . 6、如果y=mx x -2，[]1,1-∈x 的最小值为－４，则m 的值为 .
二、解答题（共计2小题，每题20分）
7、设集合P=｛x|224+-x x +a=0，x ∈R ｝.
（１）若P 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合Q ；
（２）若对于任意a ∈Q ，不等式x 2-6x<a （x-2）恒成立，求x 的取值范围.
8、已知函数f （x ）=x
a 11-（a>0，x>0）. （1）求证：f （x ）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f （x ）在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］（m≠n），求a 的取值范围.
试题答案：
1、根据求根公式得方程两根212,1±=x ，故答案为1个。

另法：因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0,而二次函数f(x)=122
--x x 在区间（2，3）上的图象是连续的，表明此函数的图象在区间（2，3）上一定穿过x 轴，而另一解显然不在（2，3）内。

2、由图象可知，函数图象过（2，0），（0，-2）两点，从而得a,b 的方程组，解得a=3,b=-3.
3、 提示：构造f （x ）与g （x ）的方程组.答案：f （x ）＝2
2++-x x e e 4、提示：因水池容积是定值38m ，高度也是定值2m ，所以底面积是定值2
4m ，而底面积一定时，只有底面周长最小时，才能使总造价最低，从而建立周长l 与池底矩形一边长x 的函数关系：)4(2x x l +=).0(>x 进而得l 8≥,当.24
,8===l x l ,8min =∴l 此时水池的总造价最低，为)(176082804120元=⨯⨯+⨯.
5、分离变量有a≥-（x+
x 1），x ∈（０，21］恒成立.右端的最大值为25-，故答案为25- 另法:设f （x ）＝x 2+ax+1结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.
6、解：原式化为.4
)2(2
2m m x y --= 当41,12
min -=+=-<m y m ，故m=-5 当-1≤2
m ≤1时，y min =42m -=-4，故m=±4 不符， 当2
m >1时，y min ＝１－m=-4∴m=5.答案：±５.。

7．（１）令2x =t （t>0），设f （t ）=t 2-4t+a.
由f （t ）＝０，在（０，＋∞）有且仅有一根或两相等实根，则有
①f （t ）＝０有两等根时，∴Δ＝０∴１６－４a=0∴a=4；
验证：t 2-4t+4=0∴t=2∈（０，＋∞），这时x=1；
②f （t ）=0有一正根和一负根时，f （０）<0∴a<0；
③若f （0）＝０，则a=0，此时4x -4·2x =0∴2x =0（舍去），或2x =4，
∴ x=2，即P 中只有一个元素2；
综上所述，a≤0或a=4，即Q ＝｛a|a≤0或a=4｝.
（２）要使原不等式对任意a ∈（－∞，０］∪｛４｝恒成立.
即g （a ）＝（x-2）a-（x 2-6x ）>0恒成立.
只须⎪⎩
⎪⎨⎧>>≤-0)0(0)4(02g g x 得5-17<x≤2
8．（１）证明：任取x 1>x 2>0，
f （x 1）-f （x 2）=)11(1121x a x a ---=2
121x x x x ->0, f(1x )>f(2x ) 故f （x ）在（０，＋∞）上是增函数.
（2）解：由（１）f （x ）在定义域上是增函数.∴ m=f （m ），n=f （n ），即m 2-a 1m+1=0，n 2-a
1n+1=0.故方程x 2-a 1x+1=0有两个不相等的正根m ，n ，注意到m·n＝１，则只需要Δ＝（a
1）2-4>0，由于a>0，则0<a<21. (备)
1、已知对一切x ∈R ，都有f (x)＝f (2－x ）且方程f (x)＝0有5个不同的根，则这5个不同根的和为 .
提示：由函数方程f (x)＝f (2－x ），可知，y=f(x)的图象关于x=1对称，故图象与x 轴的交点关于x=1对称，所以５个根之和为５。

2、若关于x 的方程2
3tx +（3-7t ）x+4=0的两实根βα,满足0<α<1<β<2,
求：实数t 的取值范围。

提示：设f(x)=23tx +（3-7t ）x+4,显见0≠t ， f(0)=4>0,由二次函数的图象可知，t>0故只需要⎪⎩
⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f 进而得47<t<5.。