牛顿-柯特斯公式
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7.1 牛顿-科特斯求积公式
x0
x1
C0(1)
1 1 0!1!
1
(t 1)dt
0
1 2
故求积系数A0, A1为
C1(1)
1 tdt 1
0
2
A0
A1
b
2
a
求积公式为
计算方法
b a
f ( x)dx
(b a) ( 2
f (a)
f (b))
R1[
f]
记
T b a [ f (a) f (b)] 2
-----梯形求积公式
1 sin x dx 1 0 ( f (0) 4 f (0.5) f (1)) 0.946146
0x
6
利用柯特斯公式得：
1 sin x dx
0x
1 0 (7 f (0) 32 f (0.25) 12 f (0.5) 32 f (0.75) 7 f (1)) 90
注 ： 不 难 验 证 ， 若 求 积公 式 对1，x, x2, xn均 准 确 成 立 ， 则 其 对 任 意次 数 n的 多 项 式 准确成立。
例1 考察求积公式
计算方法
1
1
f (x)dx
1f
2
(1)
2
f
(0)
f
(1)
的代数精度。
可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等,
再将f(x)=x2代入公式
( 1)( nk ) k!(n k)!
nn
(t i)dt
0 i0
Cotes系数
C
( k
n
)
ik
k 0,n
则有：
计算方法
Ak
b a
lk
(
证明牛顿柯特斯公式的系数和为1
证明牛顿柯特斯公式的系数和为11. 引言1.1 概述牛顿-柯特斯公式是微积分学中非常重要的一个公式，用于在数值积分中近似计算函数的定积分。
其核心思想是将被积函数在一段区间内进行插值，将其近似为多个低次多项式的定积分之和。
本文将通过推导和证明来展示，在牛顿-柯特斯公式中所得到的各个低次多项式的系数和恒为1。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分。
首先是引言部分，对牛顿-柯特斯公式以及本文的目的进行简要介绍；接下来是关于牛顿-柯特斯公式的定义与背景知识，包括该公式在数值积分中的应用；然后是针对系数和为1的证明方法一，详细阐述了基本思路和推导步骤；再往后是关于系数和为1的证明方法二，同样包含了基本思路和具体推导步骤；最后是结论与讨论部分，总结了证明过程并对系数和为1的意义进行了深入探讨。
1.3 目的本文旨在通过详细推导和证明，展示在牛顿-柯特斯公式中各个低次多项式的系数和为1这一重要性质。
通过阐述不同的证明方法，希望读者能够更好地理解该公式，并进一步探索其在数值积分中的应用价值。
2. 牛顿柯特斯公式:2.1 定义与背景知识:牛顿柯特斯公式是微积分中一组用于数值积分近似计算的公式。
它由英国数学家艾萨克·牛顿和罗杰·柯特斯共同独立推导出来，被广泛应用于实际问题的数值解法中。
在进行数值积分时，我们通常需要对一个函数进行离散化处理，并采用一定的方法来近似计算其积分。
牛顿柯特斯公式提供了多种不同阶次的近似计算方法，通过增加取样点的数量或改变取样点的位置，可以得到更高精度的结果。
2.2 公式推导过程:牛顿柯特斯公式是通过将原函数在一组均匀间距的节点上进行插值而得到的。
具体来说，在已知原函数在节点上的函数值后，根据拉格朗日插值多项式的形式得到对应阶次（即多项式次数）下的插值多项式。
通过将原函数在每个节点上进行插值，然后将这些多项式相加即可得到牛顿柯特斯公式。
不同阶次下插值多项式所对应的系数即为牛顿柯特斯公式的系数。
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
数值分析6.2牛顿-柯特斯公式
编程语言选择
选择适合数值计算的编程语言，如Python、C或Matlab等。
算法实现
根据牛顿-柯特斯公式，编写相应的算法代码，包括迭代过程和 计算步骤。
测试和验证
对算法进行测试和验证，确保其正确性和稳定性。
牛顿-柯特斯公式的数值稳定性分析
数值稳定性定义
01
数值稳定性是指算法在计算过程中对微小误差的抵抗
04
对于非连续的非线性方程，该方法可能失效，因为泰勒级数展开的前 提假设被破坏。
对牛顿-柯特斯公式的未来展望和研究方向
未来展望
随着计算机技术的不断发展，牛顿-柯特 斯公式在数值计算领域的应用将更加广 泛。未来可以研究如何改进算法的稳定 性和收敛性，提高求解非线性方程的精 度和效率。
VS
研究方向
针对牛顿-柯特斯公式的应用领域，可以 进一步研究其在科学计算、工程技术和金 融等领域的应用，以及与其他数值计算方 法的结合与优化。同时，可以探索该方法 在并行计算和云计算环境下的实现和应用 。
详细描述
非线性方程的求解是一个常见的问题，而牛顿-柯特斯公式提 供了一种有效的迭代方法。通过不断迭代和修正方程的解， 该方法能够快速收敛到方程的真实解，尤其在处理复杂或高 维非线性方程时表现出色。
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程中的应用
总结词
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程时能够提供高精度的解，尤其适用于初值问题和边界问题。
详细描述
在数值积分中，牛顿-柯特斯公式能够通过迭代的方式，逐步逼近积分的真实值。相比于其他数值积分方法，如 梯形法则和辛普森法则，牛顿-柯特斯公式在处理复杂函数或高维积分时具有更高的精度和效率。
牛顿-柯特斯公式在求解非线性方程中的应用
总结词
选择适合数值计算的编程语言，如Python、C或Matlab等。
算法实现
根据牛顿-柯特斯公式，编写相应的算法代码，包括迭代过程和 计算步骤。
测试和验证
对算法进行测试和验证，确保其正确性和稳定性。
牛顿-柯特斯公式的数值稳定性分析
数值稳定性定义
01
数值稳定性是指算法在计算过程中对微小误差的抵抗
04
对于非连续的非线性方程，该方法可能失效，因为泰勒级数展开的前 提假设被破坏。
对牛顿-柯特斯公式的未来展望和研究方向
未来展望
随着计算机技术的不断发展，牛顿-柯特 斯公式在数值计算领域的应用将更加广 泛。未来可以研究如何改进算法的稳定 性和收敛性，提高求解非线性方程的精 度和效率。
VS
研究方向
针对牛顿-柯特斯公式的应用领域，可以 进一步研究其在科学计算、工程技术和金 融等领域的应用，以及与其他数值计算方 法的结合与优化。同时，可以探索该方法 在并行计算和云计算环境下的实现和应用 。
详细描述
非线性方程的求解是一个常见的问题，而牛顿-柯特斯公式提 供了一种有效的迭代方法。通过不断迭代和修正方程的解， 该方法能够快速收敛到方程的真实解，尤其在处理复杂或高 维非线性方程时表现出色。
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程中的应用
总结词
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程时能够提供高精度的解，尤其适用于初值问题和边界问题。
详细描述
在数值积分中，牛顿-柯特斯公式能够通过迭代的方式，逐步逼近积分的真实值。相比于其他数值积分方法，如 梯形法则和辛普森法则，牛顿-柯特斯公式在处理复杂函数或高维积分时具有更高的精度和效率。
牛顿-柯特斯公式在求解非线性方程中的应用
总结词
72第二节 牛顿—柯特斯公式
j 0 2k
(u j )
j k
k
是奇函数，故在对称区间上的积分为0，即Rn(f)=0. 这就证明了n阶牛顿-柯特斯公式在n为偶数的时 候代数精度至少为n +1，从而定理得证.
数学学院 信息与计算科学系
抛物线公式(Simpson 公式)是n=2 时的牛顿-柯 特斯公式，故其代数精度至少为3，但由于
(b a )7 (6) f ( ) 1935360
[ a , b]
数学学院 信息与计算科学系
例1 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公 式计算积分 1 1 I dx 2 0.6 1 x 解 由梯形公式得
1 0.6 1 1 I T 0.2470588 2 2 2 1 0.6 11
n
n
( n) 当C k 有正有负时 , 因为
n
而 | C
k 0
n
( n) C k 1 k 0
( n) k
| 可能会很大, f (xk) 可以取得足够精确,
但初始数据的误差对计算结果影响会很大, 方法
可能是不稳定的.
(k=0,1,…,n) 记 则有
( n) Ck n n ( 1) ( t j )dt (k=0,1,…,n) 0 nk !( n k )! j k n k
( n) Ak ( b a )C k ,
数学学院 信息与计算科学系
于是得求积公式
n k 0 ( n) I n Ak f ( xk ) (b a ) C k f ( xk ) k 0 n
由辛卜生公式得 1 0.6 1 1 1 IS 4 0.2449546 2 2 2 6 1 0.6 1 0.8 1 1
(u j )
j k
k
是奇函数，故在对称区间上的积分为0，即Rn(f)=0. 这就证明了n阶牛顿-柯特斯公式在n为偶数的时 候代数精度至少为n +1，从而定理得证.
数学学院 信息与计算科学系
抛物线公式(Simpson 公式)是n=2 时的牛顿-柯 特斯公式，故其代数精度至少为3，但由于
(b a )7 (6) f ( ) 1935360
[ a , b]
数学学院 信息与计算科学系
例1 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公 式计算积分 1 1 I dx 2 0.6 1 x 解 由梯形公式得
1 0.6 1 1 I T 0.2470588 2 2 2 1 0.6 11
n
n
( n) 当C k 有正有负时 , 因为
n
而 | C
k 0
n
( n) C k 1 k 0
( n) k
| 可能会很大, f (xk) 可以取得足够精确,
但初始数据的误差对计算结果影响会很大, 方法
可能是不稳定的.
(k=0,1,…,n) 记 则有
( n) Ck n n ( 1) ( t j )dt (k=0,1,…,n) 0 nk !( n k )! j k n k
( n) Ak ( b a )C k ,
数学学院 信息与计算科学系
于是得求积公式
n k 0 ( n) I n Ak f ( xk ) (b a ) C k f ( xk ) k 0 n
由辛卜生公式得 1 0.6 1 1 1 IS 4 0.2449546 2 2 2 6 1 0.6 1 0.8 1 1
7.2 牛顿—柯特斯公式
b
hk k !
b
(1)n k h( n k ) (n k )!
( x a )[( x a (k 1)h)][( x a (k 1)h]( x a nh) dx n k n a (1) (n k )! k ! h
作变量替换 x a th, 则 dx h dt
1 1 1 (1) ( t 1)dt , C1 tdt 0 0 2 2 1
当 n 2 时,
C
(2) 0 6
C
(2) 1
1 2 4 t ( t 2)dt 2 0 6
C
(2) 2
1 2 1 t ( t 1)dt 4 0 6
989 28350
5888 28350
10496 28350
4540 28350
10496 28350
928 28350
5888 28350
989 28350
由上表, 当 n 1 时, 有两点公式
b
b
a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b)] 2
当 n 2 时, 有三点公式
a
梯形公式
ba ab f ( x )dx [ f (a ) 4 f f (b)] 6 2
辛普生公式
当 n 4 时, 有五点公式
b
a
ba f ( x )dx [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90
对于一般情况, 可以导出
Rn [ f ] f ( n 2) ( ) b a xn1 ( x )dx ( n 2)! f ( ) b a n1 ( x )dx ( n 1)!
hk k !
b
(1)n k h( n k ) (n k )!
( x a )[( x a (k 1)h)][( x a (k 1)h]( x a nh) dx n k n a (1) (n k )! k ! h
作变量替换 x a th, 则 dx h dt
1 1 1 (1) ( t 1)dt , C1 tdt 0 0 2 2 1
当 n 2 时,
C
(2) 0 6
C
(2) 1
1 2 4 t ( t 2)dt 2 0 6
C
(2) 2
1 2 1 t ( t 1)dt 4 0 6
989 28350
5888 28350
10496 28350
4540 28350
10496 28350
928 28350
5888 28350
989 28350
由上表, 当 n 1 时, 有两点公式
b
b
a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b)] 2
当 n 2 时, 有三点公式
a
梯形公式
ba ab f ( x )dx [ f (a ) 4 f f (b)] 6 2
辛普生公式
当 n 4 时, 有五点公式
b
a
ba f ( x )dx [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90
对于一般情况, 可以导出
Rn [ f ] f ( n 2) ( ) b a xn1 ( x )dx ( n 2)! f ( ) b a n1 ( x )dx ( n 1)!
数值分析 -牛顿-科特斯公式
f
( x ) g( x )dx
f (2)18 ab g(8b( x0a )d)5xf(4)()
余项的一般形式
n
定理 设 Q[f](ba) Ci(n)f(xi)，则有
i0
(1) 若 n 为偶数， f (x) Cn+2[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
a b f(x )d x Q [f] ( b n a n ) 3 n ( 3 n f (n 2 ) 2 )(! )0 n t2 ( t 1 ) ( t n )d t
i0
i0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
R T a b f(x )d x T a bf''2 ( !x )(x a )x ( b )d x
中值定理 1 2f''()a b(xa)x (b)d x
积分中值定理
112(ba)3f''()
Simf (pxso),ng公( x式)均的在余[项a , b]上连续，
6
2
6
与精确值 0.6321 相比得误差分别为 0.0518 和 0.0002。
复合求积公式
提高积分计算精度的常用两种方法
✓ 用 复合公式 ✓ 用 非等距节点
复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然 后在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式。
将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中节点 xiaih, hb na (i = 0, 1, …, n)
解：T8116 f(x0)2i 71f(xi)f(x8)0.9456909
S 4 2 1 f ( 4 x 0 ) 4 f ( x 1 ) f ( x 3 ) f ( x 5 ) f ( x 7 ) 2 f(x 2 ) f(x 4 ) f(x 6 ) f(x 8 ) 0 .9460
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是一种用于数值积分的方法，是通过将积分区间分割成若干个子区间，在每个子区间上用一个多项式来逼近被积函数，然后通过对这些多项式进行求和来得到整个积分的近似值的方法。
牛顿-柯特斯公式的基本思想是将被积函数在每个子区间上进行插值近似。
首先，我们将积分区间[a, b]等分成n个相等的子区间，即h=(b-a)/n，其中n为等分的个数。
对于每个子区间，我们使用一个多项式来逼近被积函数。
对于每个子区间[xi, xi+1]，我们可以通过使用牛顿插值公式将被积函数在这个子区间上用一个多项式f(xi,x)=f(xi)+f[xi,xi-1]·(x-xi)+f[xi,xi-1,xi-2]·(x-xi)·(x-xi-1)+...来近似。
其中f(xi)代表被积函数在xi处的函数值，f[...]代表被积函数在对应节点处的高阶差商。
然后，我们将这个多项式进行积分。
根据牛顿插值多项式的性质，多项式的积分可以用其在区间上的若干个节点处的函数值和差商来表示。
因此，我们可以对多项式进行积分，得到在每个子区间上的近似积分值。
最后，我们将这些近似积分值求和，得到整个积分的近似值。
具体而言，牛顿-柯特斯公式的一种常见形式是梯形公式。
梯形公式的基本思想是将积分区间[a, b]等分成n个子区间，并在每个子区间上使用一个线性函数来近似被积函数。
这个线性函数由被积函数在两个节点上的函数值和斜率确定，因此得名“梯形”。
对于一个子区间[xi, xi+1]，梯形公式的积分近似值可以通过积分公式∫(xi,xi+1) f(x) dx ≈ (f(xi) + f(xi+1))·h/2来计算。
其中，f(xi)和f(xi+1)分别为被积函数在两个节点处的函数值，h=xi+1-xi为子区间的宽度。
最后，将所有子区间上的积分近似值求和，我们可以得到整个区间[a, b]上的积分值的近似值。
牛顿-柯特斯公式不仅仅包括梯形公式，还包括其他形式的多项式插值，如Simpson公式和Boole公式等。
4-2牛顿—柯特斯公式
而 n= 4时的牛顿—柯特斯公式为
ba C [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90 ba x k a kh, h 这里 4
特别称为 柯特斯(Cotes)公式*
注：其余柯特斯系数详见书上p104表4-1.
二、偶阶牛顿-柯特斯求积公式的代数精度
作为插值求积公式，n阶牛 顿 — 柯特斯公式至少具有 n 次 代数精度，那么
是否有更进一步的结果？
两个简单偶阶求积公式的代数精度
辛甫生(Simpson)公式
ba ab S [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
首先它是二阶公式，因此至少具有二次代数 精度，进一步考察当 f(x)=x3时，
n
0
t j dt j 0 k j jk
n
1 n 1 n j 0 k j
jk
0
n
( t j )dt ( h b a ) j 0
jk
n
n
n n 1 1 1 ( t j )dt n k ( k 1)...1 ( 1)( 2)...( k n) 0 j 0 jk
所以 余项为
max | f ( x ) | f (1) 8.1548
1 x 2
f ( ) | RT | (b a ) 3 12
( 2 1) max | f ( x ) | 0.6796 12 1 x 2
3
用辛甫生公式计算
1 1 21 1.5 2 e dx ( e 4 e e ) 2.0263 1 6
解
2
dx 的近似值，并估计余项。
4.2牛顿-柯特斯公式
函数值f ( xk )的计算引起
只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影 响
假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似值 (计算值)
k f ( xk ) f ( xk ) 为误差
记
(n) ( b a ) C In k f ( xk ) k 0 n n
梯形(trapezia)公式具有1次代数精度
2.Simpson公式及其余项
ba ba 取n 2 , 则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
Cotes系数为
C
(2) 0
1 2 1 (t 1)( t 2 )dt 4 0 6 1 2 4 t (t 2 )dt 0 2 6 1 2 1 (t 1)tdt 4 0 6
n
n
n 2
n
n 2
2
被积函数 ( j )是奇函数
n 2
n 2
n n n n g ( ) ( j ) ( )( 1) ( 1)( ) 2 2 2 2 n 2 n n n n g ( ) ( )( 1) ( ) ( 1)( ) 2 2 2 2 g ( ) (1) n1 g ( ) g ( )
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为
S I2 ( f )
4.5 4 3.5
Simpson公式的余项为
3 2.5
R( S ) R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
b
2 1.5 1 0.5 0 -0.5
牛顿-柯特斯公式
(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四 复化求积公式
所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多 项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛 卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三 次。
定理3
2 n 阶 N C 公式至少具有 2 n 1次代数精度 .
2 n1
证明 : 设 f ( x ) a 2 n 1 x R2 n ( f )
b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
0 t ( t 2 ) dt
2
4 6
( 1)
1
2 1! 1!
0 t ( t 2 ) dt
2
1 6
当 n 2 时 , 得到 辛普森(Simpso n)公式 6 当 n 4 时 ,得到 柯特斯(cotes) 公式
C ba 90
a f ( x )d x S
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n
4.2 牛顿-科特斯公式
§4.2 牛顿-科特斯公式
复习回顾
一、
数值求积的基本思想 二、 数值求积分的一般形式 三、插值型的求积公式 四、代数精度问题 五、求积公式的余项 六、求积公式的收敛性和稳定性
1)基本思想：
利用函数在有限个结点处的函数值去计算的积分!
2)数值积分的一般形式：
b
a
f ( x ) dx
b
a
f ( x )dx
b
a
Ln ( x )dx
b n
k 0
k
b
a
l k ( x )dx f ( x k )
dx
注意到： Ak
b
a
l k ( x )dx
x
a j0 jk
x xj xj
b a j0 jk
n
n n n t j a th a jh 1 n n d ( a th) hdt h (t j )dt 0 0 a kh a jh j 0 k j j 0 k j j 0 jk jk jk
n n k 0 k 0
有求积公式 Ak f ( xk ) Ak f k 成立，则称积分公式是稳定的.
定理：若求积公式中系数 Ak 0(k 0,1,..., n)，
则此求积公式是稳定的。 证明：对于任给定的 0,
记：In(f)= Ak f ( xk )
k 0
6) 积分公式的收敛性和稳定性
定义： 在求积公式中，若 lim Ak f ( xk ) f ( x)dx,
n h 0 k 0 a n b
其中h= max{xi xi 1}, 则称求积公式是收敛的。
复习回顾
一、
数值求积的基本思想 二、 数值求积分的一般形式 三、插值型的求积公式 四、代数精度问题 五、求积公式的余项 六、求积公式的收敛性和稳定性
1)基本思想：
利用函数在有限个结点处的函数值去计算的积分!
2)数值积分的一般形式：
b
a
f ( x ) dx
b
a
f ( x )dx
b
a
Ln ( x )dx
b n
k 0
k
b
a
l k ( x )dx f ( x k )
dx
注意到： Ak
b
a
l k ( x )dx
x
a j0 jk
x xj xj
b a j0 jk
n
n n n t j a th a jh 1 n n d ( a th) hdt h (t j )dt 0 0 a kh a jh j 0 k j j 0 k j j 0 jk jk jk
n n k 0 k 0
有求积公式 Ak f ( xk ) Ak f k 成立，则称积分公式是稳定的.
定理：若求积公式中系数 Ak 0(k 0,1,..., n)，
则此求积公式是稳定的。 证明：对于任给定的 0,
记：In(f)= Ak f ( xk )
k 0
6) 积分公式的收敛性和稳定性
定义： 在求积公式中，若 lim Ak f ( xk ) f ( x)dx,
n h 0 k 0 a n b
其中h= max{xi xi 1}, 则称求积公式是收敛的。
第2章0102机械求积,牛-柯公式
k 0
证明此时 Ak , k 0,1, 证 令 f ( x ) 1, x, x ,
2
, n 有唯一解即可。
使求积公式 f ( x )dx Ak f ( xk ) 准 ,x ，
n
b a
n
k 0
确成立，即
A0 A1 An b a A0 x0 A1 x1 An xn 1 (b 2 a 2 ) 2 1 n n n A x A x A x (b n 1 a n 1 ) 0 0 1 1 n n n 1
b
牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式
本章的问题： 计算定积分 f ( x )dx 似值。
a
b
的近
但是:
①有些定积分的被积函数的原函数不能用初等
函数明显表示, 牛顿-莱布尼兹公式不能用。如 b 1 sin x b x2 2 e d x , d x , sin x dx 等； a 0 x a
b a b a
b
a
f ( x)dx P ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
f ( x)dx P ( x)dx ,将 P( x) f ( xk )lk ( x)代入，有
b a
n
k 0
f ( x)dx P ( x )dx
a
n b
梯形公式 I
b
f ( x)dx (b a )
梯形公式具有一次代数精度。
例：确定求积公式
1
1
1 f ( x)dx [ f (1) 4 f (0) f (1)]的代数精度 . 3
证明此时 Ak , k 0,1, 证 令 f ( x ) 1, x, x ,
2
, n 有唯一解即可。
使求积公式 f ( x )dx Ak f ( xk ) 准 ,x ，
n
b a
n
k 0
确成立，即
A0 A1 An b a A0 x0 A1 x1 An xn 1 (b 2 a 2 ) 2 1 n n n A x A x A x (b n 1 a n 1 ) 0 0 1 1 n n n 1
b
牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式
本章的问题： 计算定积分 f ( x )dx 似值。
a
b
的近
但是:
①有些定积分的被积函数的原函数不能用初等
函数明显表示, 牛顿-莱布尼兹公式不能用。如 b 1 sin x b x2 2 e d x , d x , sin x dx 等； a 0 x a
b a b a
b
a
f ( x)dx P ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
f ( x)dx P ( x)dx ,将 P( x) f ( xk )lk ( x)代入，有
b a
n
k 0
f ( x)dx P ( x )dx
a
n b
梯形公式 I
b
f ( x)dx (b a )
梯形公式具有一次代数精度。
例：确定求积公式
1
1
1 f ( x)dx [ f (1) 4 f (0) f (1)]的代数精度 . 3
牛顿-柯特斯求积公式
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例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
上页
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
牛顿-柯特斯公式matlab
牛顿-柯特斯公式matlab
牛顿-柯特斯公式，也称为牛顿迭代法，是求解非线性方程组的一称迭代法。
牛顿-柯特斯公式利用梯度下降方法进行局部优化，通过迭代求解最优解。
这种公式可以用来求解非线性方程组，大部分情况下可以有效地收敛到解。
用matlab编程，牛顿-柯特斯公式可以按如下步骤来实现：
1.设置初值x0，将其赋给当前迭代变量x。
2.求出F(x)关于X的雅可比矩阵J，并计算F(x)和J的范数。
3.计算当前迭代变量的梯度值，计算梯度的范数。
4.根据牛顿-柯特斯公式，计算下一步迭代变量x_{n+1}=x_n-J^{-1}F(x_n)。
5.计算x_{n+1}，若满足收敛条件，则收敛，否则转至步骤2继续迭代。
数值分析Newton-Cotes公式
常用复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化辛普生公式
3. 复化柯特斯公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
2222
第四章 数值积分与数值微分
1.复化梯形公式
在每个小区间 [ xk 1 , xk ]上应用梯形公式得：
1111
第四章 数值积分与数值微分 a b
3. n=4时的Cotes求积公式
x0 x1 x2 x3 x4
按Newton-Cotes系数公式可以计算出
C
(4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 ( 4 ) 7 (4) (4) , C1 , C2 , C3 , C4 , 90 45 15 45 90
上述公式称为Simpson求积公式。 容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度． 余项公式为：
(b a) ( 4 ) R2[ f ] f ( ) [ ( a, b)] 2880
5
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
Cotes系数性质
(1) C
n
( n) k
C
( n) n k
(对称性)
( 2)
( n) C k 1 k 0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
k 0
求积系数
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
数值分析6.2 牛顿—柯特斯公式
6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840
当n=1时，柯特斯系数为
C (1) 0
1
(t
0
1)dt
1 (t 2
1)2
1 0
1, 2
C (1) 1
1
tdt
1
t2
1
1
,
0
202
这时的牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们 所熟悉的梯形公式，即
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
[a,b]无关, 且为容易计算的多项式积分.
常用的) k
2
1/6
4/6
1/6
3
1/8
3/8
3/8
1/8
4
7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288
I b x3dx b4 a4 .
a
4
这时有S=I，即辛普森公式对不超过三次的多项式均 能精确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常是不精确 的(如取a=0,b=1进行验证有，S=3/8≠I=1/5)，因此， 辛普森公式实际上具有三次代数精度.
一般地，我们可以证明下述论断：
*定理3： n 阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为
[ 1
1 0.62
1
1 12
]
0.2470588
由辛普森公式得
1 0.6 1
1
1
IS
6
[ 1
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是数值分析中重要的求积公式之一，它可以用于近似计算定积分的值。
牛顿-柯特斯公式是利用插值多项式的积分公式，在积分节点选取相同的情况下，通过不同的插值多项式形式，可以达到不同的精度要求。
牛顿-柯特斯公式的一般形式可以表示为：∫[a,b]f(x)dx = w_0f(x_0)+w_1f(x_1)+...+w_nf(x_n)+R_n其中，x_0, x_1,...,x_n 是n+1个等距节点，a = x_0 < x_1< ... < x_n = b，f(x)是要求积分的函数，w_i是相应的权重系数，R_n是余项，用于表示估计误差。
牛顿-柯特斯公式的权重系数w_i和余项R_n与插值多项式的形式有关。
下面将介绍牛顿-柯特斯公式的一些常见形式。
1. 矩形公式当n = 0时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)f(a)这个公式称为矩形公式或矩形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
2. 梯形公式当n = 1时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+f(b))/2]这个公式称为梯形公式或梯形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
3. 辛普森公式当n = 2时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b))/6]这个公式称为辛普森公式或辛普森法则。
它的准确度为二阶，即误差为O((b-a)^3)。
4. 三点闭合公式当n = 3时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+3f(a+h)+3f(b-h)+f(b))/8]其中，h = (b-a)/3。
这个公式的准确度为三阶，即误差为O((b-a)^4)。
通过不断增加插值节点的数量n，可以得到更高阶的牛顿-柯特斯公式。
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i0 b n 1 x i 1
f ( x )d x [ f ( xi ) f ( xi 1 )] i0 2
n 1 i 1
n 1 h
h 2
[ f ( a ) 2 f ( xi ) f ( b )].
记为
Tn [ f ( xi ) f ( xi 1 )] [ f ( a ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 i0 2 i0
(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四 复化求积公式
b a
a2n x
2n j0
2n
a 1 x a 0 , 为 2 n 1 次多项式 ,
b 2n j 0
f 2 n 1 ( )
( 2 n1 )
( 2 n 1 )!
2n
( x x j ) dx a 2 n 1 a ( x x j ) dx
令 x a nh th ( n t n ) 代入上式得 : R 2 n ( f ) a 2 n1 h
b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n
n
2
h
2
12
( b a ) f ( ), ( a , b )
2、复化辛普森公式
记 [ xi , xi 1 ]的中点为 xi 1，在每个小区间上应用
2
辛普森 公式 ,
则得复化 辛普森公式
f ( x )d x [ f ( xi ) 4 f ( xi 1 ) f ( xi 1 )] , 2 i06 n 1 n 1 h 即 S n [ f ( a ) 4 f ( xi 1 ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 6 i0 i 1 4 n 1 h h (4) 余项 R I S n f ( i ) , i ( xi , xi 1 ), 180 2 i 0 4 当 f C [ a , b ]时 , 4 b a h (4) b a 4 (4) R I S n h f ( ), ( a , b ). f ( ) 1 80 2 2 880 步长h越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以 证明，当n 时，用复化Simpson公式所求得的近似值收敛于 积分值，而且算法具有数值稳定性。 I
1
1
1
1
3
1
1 3 5 7 S4 f ( 0 ) 4 [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( )] 46 8 8 8 8 2[ f ( ) f ( ) f ( )] f (1) 0 . 9460832 4 2 4 1 1 3 5 7 C2 7 f ( 0 ) 32 [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( )] 2 90 8 8 8 8 12 [ f ( ) f ( )] 14 f ( ) 7 f (1) 0 . 9460829 4 4 2 1 3 1 1 1 3
2 . 辛普森公式 的余项
若f
(4)
( x ) 在 [ a , b ]上连续 ,
b
则 辛普森 公式的余项为 ba 6
(4)
R s [ f ] I S a f ( x )d x b a b a f 180 2
4
[ f (a) 4 f (
ab 22Biblioteka ) f (ab 2
)
其插值余项为：
R ( x) f ( x) H ( x)
f
(4)
( )
4!
( x a )( x
ab 2
) ( x b ), ( a , b )
而辛卜生公式至少具有三次代数精度，因此对上述三次多项式 H(x) 应准确成立，即有：
b a
f ( x ) dx
1
1 2
C
(1) 1
0 tdt
1
当 n 2 时 , 相应的节点 x 0 a , x 1 C0 C1
(2)
ab 2
, x2 b,
( 1) ( 1)
2
2 0! 2!
1
0 ( t 1 )( t 2 ) dt
2
1 6 C2
(2)
(2)
2 1! 1!
所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多 项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛 卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三 次。
定理3
2 n 阶 N C 公式至少具有 2 n 1次代数精度 .
2 n1
证明 : 设 f ( x ) a 2 n 1 x R2 n ( f )
§2
牛顿—柯特斯公式
ba n
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间 [ a , b ]做 n 等分，步长 h 上的插值型求积公式
b
a f ( x ) d x A k f k
b k 0
n
A k a l k ( x )d x
b
, 在等距节点 x k a kh
n (n)
) ( x b )d x
2 由广义积分中值定理有
) ( x b ) 在 [ a , b ]内不变号 ( 非正 ),
RS
f
(4)
( )
4!
(6)
a( x a )( x
b
ab 2
) ( x b )d x
2
b a b a (4) ( ) f ( ) 180 2
三、几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项
1. 梯形公式的余项
若 f ( x ) 在 [ a , b ]上连续, 则梯形公式的余项为 RT [ f ] I T (b a) 12
3
f ( ),
[ a , b ].
(2.5)
证明： 这里被积函数中的因子(x－a)(x－b)在区间[a, b] 上不 变号（非正），故由积分中值定理，在[a, b] 内至少存在一点， 使： f ( ) b f ( ) 3 RT ( x a )( x b )d x ( b a ) , [a , b ] a 2 12
a f ( x )d x ( b a ) C k f k ,
k 0 (n)
(2.1)
称为 Newton - Cotes公式 ， C k 称为 Cotes系数 .
作变换 x a th ，则有 C
(n) k
h ba
0
n
n
t j k j
dt
( 1)
n k n
0 t ( t 2 ) dt
2
4 6
( 1)
1
2 1! 1!
0 t ( t 2 ) dt
2
1 6
当 n 2 时 , 得到 辛普森(Simpso n)公式 6 当 n 4 时 ,得到 柯特斯(cotes) 公式
C ba 90
a f ( x )d x S
n1 i0
n 1h
h
n 1
复化梯形公式 T n 的余项 R I T n [
若 f ( x ) 在 [ a , b ]上连续，则 R[ f ] h
2
1
12
3 h f ( i )] ,
i [ x i , x i 1 ],
O ( h ) 阶，是收敛的 . 1 b a n1 ba n 其实 , f C [ a , b ] T n [ f ( xi ) f ( x i )] I , n . 2 n i0 n i 1 复化梯形公式的系数为 正，它又是稳定的 .
把区间 [ a , b ]n 等分为 n 个小区间 [ x i , x i 1 ], 其中 x i a ih , ( h 并在每个小区间上应用 这种方法叫复化求积法 ba n 低阶求积公式 ,然后求和， 。 ,i 0 ,1 , , n 1 ),
1、复化梯形公式
I a f ( x )d x x i
n t ( t 1 )( t 2 ) ( t n ) dt
上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，故积分值为0， R 即： 2 n ( P2 n 1 ) 0
所以2n阶N-C公式至少具有2n+1次代数精度。
定理 3实际上是说 N C 公式的代数精度 n 1 m n, n 为偶 n 为奇
b
ba
[ f (a) 4 f (
ab 2
) f ( b )]，
(2.3)
[ 7 f ( x 0 ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x 4 )], ( 2 . 4 ) ba .
其中 x k a kh , h
f ( x )d x [ f ( xi ) f ( xi 1 )] i0 2
n 1 i 1
n 1 h
h 2
[ f ( a ) 2 f ( xi ) f ( b )].
记为
Tn [ f ( xi ) f ( xi 1 )] [ f ( a ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 i0 2 i0
(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四 复化求积公式
b a
a2n x
2n j0
2n
a 1 x a 0 , 为 2 n 1 次多项式 ,
b 2n j 0
f 2 n 1 ( )
( 2 n1 )
( 2 n 1 )!
2n
( x x j ) dx a 2 n 1 a ( x x j ) dx
令 x a nh th ( n t n ) 代入上式得 : R 2 n ( f ) a 2 n1 h
b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n
n
2
h
2
12
( b a ) f ( ), ( a , b )
2、复化辛普森公式
记 [ xi , xi 1 ]的中点为 xi 1，在每个小区间上应用
2
辛普森 公式 ,
则得复化 辛普森公式
f ( x )d x [ f ( xi ) 4 f ( xi 1 ) f ( xi 1 )] , 2 i06 n 1 n 1 h 即 S n [ f ( a ) 4 f ( xi 1 ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 6 i0 i 1 4 n 1 h h (4) 余项 R I S n f ( i ) , i ( xi , xi 1 ), 180 2 i 0 4 当 f C [ a , b ]时 , 4 b a h (4) b a 4 (4) R I S n h f ( ), ( a , b ). f ( ) 1 80 2 2 880 步长h越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以 证明，当n 时，用复化Simpson公式所求得的近似值收敛于 积分值，而且算法具有数值稳定性。 I
1
1
1
1
3
1
1 3 5 7 S4 f ( 0 ) 4 [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( )] 46 8 8 8 8 2[ f ( ) f ( ) f ( )] f (1) 0 . 9460832 4 2 4 1 1 3 5 7 C2 7 f ( 0 ) 32 [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( )] 2 90 8 8 8 8 12 [ f ( ) f ( )] 14 f ( ) 7 f (1) 0 . 9460829 4 4 2 1 3 1 1 1 3
2 . 辛普森公式 的余项
若f
(4)
( x ) 在 [ a , b ]上连续 ,
b
则 辛普森 公式的余项为 ba 6
(4)
R s [ f ] I S a f ( x )d x b a b a f 180 2
4
[ f (a) 4 f (
ab 22Biblioteka ) f (ab 2
)
其插值余项为：
R ( x) f ( x) H ( x)
f
(4)
( )
4!
( x a )( x
ab 2
) ( x b ), ( a , b )
而辛卜生公式至少具有三次代数精度，因此对上述三次多项式 H(x) 应准确成立，即有：
b a
f ( x ) dx
1
1 2
C
(1) 1
0 tdt
1
当 n 2 时 , 相应的节点 x 0 a , x 1 C0 C1
(2)
ab 2
, x2 b,
( 1) ( 1)
2
2 0! 2!
1
0 ( t 1 )( t 2 ) dt
2
1 6 C2
(2)
(2)
2 1! 1!
所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多 项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛 卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三 次。
定理3
2 n 阶 N C 公式至少具有 2 n 1次代数精度 .
2 n1
证明 : 设 f ( x ) a 2 n 1 x R2 n ( f )
§2
牛顿—柯特斯公式
ba n
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间 [ a , b ]做 n 等分，步长 h 上的插值型求积公式
b
a f ( x ) d x A k f k
b k 0
n
A k a l k ( x )d x
b
, 在等距节点 x k a kh
n (n)
) ( x b )d x
2 由广义积分中值定理有
) ( x b ) 在 [ a , b ]内不变号 ( 非正 ),
RS
f
(4)
( )
4!
(6)
a( x a )( x
b
ab 2
) ( x b )d x
2
b a b a (4) ( ) f ( ) 180 2
三、几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项
1. 梯形公式的余项
若 f ( x ) 在 [ a , b ]上连续, 则梯形公式的余项为 RT [ f ] I T (b a) 12
3
f ( ),
[ a , b ].
(2.5)
证明： 这里被积函数中的因子(x－a)(x－b)在区间[a, b] 上不 变号（非正），故由积分中值定理，在[a, b] 内至少存在一点， 使： f ( ) b f ( ) 3 RT ( x a )( x b )d x ( b a ) , [a , b ] a 2 12
a f ( x )d x ( b a ) C k f k ,
k 0 (n)
(2.1)
称为 Newton - Cotes公式 ， C k 称为 Cotes系数 .
作变换 x a th ，则有 C
(n) k
h ba
0
n
n
t j k j
dt
( 1)
n k n
0 t ( t 2 ) dt
2
4 6
( 1)
1
2 1! 1!
0 t ( t 2 ) dt
2
1 6
当 n 2 时 , 得到 辛普森(Simpso n)公式 6 当 n 4 时 ,得到 柯特斯(cotes) 公式
C ba 90
a f ( x )d x S
n1 i0
n 1h
h
n 1
复化梯形公式 T n 的余项 R I T n [
若 f ( x ) 在 [ a , b ]上连续，则 R[ f ] h
2
1
12
3 h f ( i )] ,
i [ x i , x i 1 ],
O ( h ) 阶，是收敛的 . 1 b a n1 ba n 其实 , f C [ a , b ] T n [ f ( xi ) f ( x i )] I , n . 2 n i0 n i 1 复化梯形公式的系数为 正，它又是稳定的 .
把区间 [ a , b ]n 等分为 n 个小区间 [ x i , x i 1 ], 其中 x i a ih , ( h 并在每个小区间上应用 这种方法叫复化求积法 ba n 低阶求积公式 ,然后求和， 。 ,i 0 ,1 , , n 1 ),
1、复化梯形公式
I a f ( x )d x x i
n t ( t 1 )( t 2 ) ( t n ) dt
上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，故积分值为0， R 即： 2 n ( P2 n 1 ) 0
所以2n阶N-C公式至少具有2n+1次代数精度。
定理 3实际上是说 N C 公式的代数精度 n 1 m n, n 为偶 n 为奇
b
ba
[ f (a) 4 f (
ab 2
) f ( b )]，
(2.3)
[ 7 f ( x 0 ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x 4 )], ( 2 . 4 ) ba .
其中 x k a kh , h