吉林大学物理学院期末考试量子力学试题2013年试题共100分

吉林大学物理学院期末考试
《量子力学》试题（2013年）
（试题共100分，考试时间2.5小时）
一、简答题（40分）
1、设r 为球坐标系下的径向坐标，在坐标表象下定义两个算符r A ≡ˆ和ˆr
B i ∂∂≡ ，试推导A
ˆ和B ˆ算符的厄米共轭算符。

2、设某一维微观粒子处于势场()V x 中，该体系具有分立的本征能谱n E (0,1,)n = ，相应的本征态矢记为n 。

已知在0t =时刻，该粒子的状态
为
(0)02ψ=
，试给出()t ψ在能量表象中的表达式。

3、两个自旋为1/2的一维全同粒子同处于谐振子势场2221)(x m x V ω=中，若不计两个粒子之间的相互作用，分析该体系第一激发态的简并度，并写出相应的波函数。

4、以Gaussian 函数2
)()(bx e b A x -=ψ作为试探波函数，b 为变分参数，利用变分法求一维谐振子的基态能量。

5、对于氢原子，当仅考虑电子与核之间的库仑相互作用时，其电子态有严格的本征解，求库仑势能r
e x V 2
)(-=在本征态上的期望值。

二、（14分）质量为m 的一维微观粒子处于如下半壁有限深方势阱
中，其中0V 为常数。

若该粒子具有一个20V E =
的能级，试计算阱宽a 的大小。

三、（12分）设()V r 为某微观粒子所处的三维势场，ˆP 为该粒子的动量算符，定义算符
ˆˆ()Q V r P ≡∇⨯ ，分析ˆQ 是否为厄米算符。

四、（14分）设两个自旋为1/2的粒子组成一个二粒子体系，其哈密顿量为
1212
ˆ()z z H A B σσ=++⋅σσ 其中，1σ和2σ分别为粒子1和粒子2的泡利矩阵，1z σ和2z σ分别为1σ和2σ的z 分量，
A 和
B 均为常数。

求该体系的本征能量。

五、（20分）y x -平面内的二维微观粒子被限制在边长为a 的正方形区域内运动，其势场描述为
0,0(),,0x a V x x a x ≤≤⎧=⎨∞><⎩，0,0(),,0
y a V y y a y ≤≤⎧=⎨∞><⎩ 1、 求该粒子的本征能级和本征波函数；
,0()0,0,x V x x a V x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩
2、 若该体系受到微扰ˆ(4)(/4)H
x a y a αδδ'=--，α为小量，用微扰理论求基态和第一激发态的一级能量修正。

******************************************************************************* 可能用到的公式：
1、 对于角动量升降算符y x L i L L ˆˆˆ±=±，作用于角动量算符()
z L L ˆ,ˆ2的共同本征态,lm 有： ()()11ˆ±+±=±
lm m l m l lm L 2、积分公式： ⎰∞
∞--=a dx e ax π2，⎰∞
∞--=a
a dx x e ax π2122 *****************************************************************************
答毕请将试题和答卷一起交回！。