第五篇-单因素实验设计及实验因素水平确定方法
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优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形 式表达，或虽有表达式但很复杂的那些问题。
假定f(x)是定义在区间[a，b]上的函数，但f(x)的表 达式是并不知道的，只有从试验中才能得出在某一点 x0的数值f(x0)。应用单因素优选法，就是用尽量少的 试验次数来确定f(x)的最佳点。
单因素优选法
• 可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618 倍，随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直 到达到所需精度即可。
4 分数法
适用范围： • 试验要求预先给出试验总数(或者知道试验范围和精
确度，这时试验总数就可以算出来)。在这种情况下 ，用分数法比0.618法方便，且同样适合单峰函数的 方法。 裴波那契数列： • 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… • 用F0、F1、F2、…依次表示上述数串，它们满足递推 关系： Fn＝Fn-1＋Fn-2 (n≥2)
N
N
1 均分法
例2-1 对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范 围为420转/分~720转/分，拟经过试验找出能使光洁度最佳 的砂轮转速值。
N = 30 转/分
n = —b—- —a — + 1 = —7—20—- —42—0 — +1 = 11
N
30
试验转速：
420，450，480，510，540，570，600，630，660，690，720
x3＝大＋小－第一点＝1382＋2000－1618＝1764克 • 第四步 比较在上次留下的好点，即第（1）处和第（3）
处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果差的那个 试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分 范围作为新的试验范围，……如此反复，直到得到较好 的试验结果为止。
3 黄金分割法（0.618法）
3 黄金分割法（0.618法）
• 例：炼某种合金钢，需添加某种化学元素以增加强度，加 入范围是1000~2000克，求最佳加入量。
• 第一步 先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验 x1＝ (大－小)×0.618＋小＝ a＋(b－a)×0.618＝1000 ＋(2000－1000)×0.618＝1618克
• 设x1 和x2 是因素范围［a,b］内的任意两个试点，C 点为问题的最优点，并把两个试点中效果较好的点称
由 为好点，把效果较差的点称为差点。则：最优点与好 来 点必在差点同侧，因而我们把因素范围被差点所分成
的两部分中好点所在的那部分称为存优范围。即可以 去掉不包含好点的一段，只留下存优范围。
• 如何安排两个试验点？ 合理地缩小存优范围
因素
噪声因素是试验过程中可使试验结果发生偏差，且无法对 其进行控制的因子。它具有以下特征：
1、使试验结果偏离目标。 2、无法或很难人为控制。 当试验中存在噪声因素时，有两种方法可以进行改善。
1、首先确认此因素对指标Y的影响程度，如影响大，则须对 其进行中和（即直接控制或降低其对Y的影响）。
2、通过重复精确试验来确定可控因素的最佳水平，当可控因 素的水平足够好时，即可得到可靠的设计（对噪声因素不敏感）。
水平
确定实验因素： 在对实验背景、实验条件、实验预期结果充分了
解的基础上结合自身研究内容、现实条件、预期效果 确定实验因素。方法：大量阅读文献及总结。 确定实验因素水平：
文献结合实际！参考单因素优选法！
单因素优选法
优选法就是根据生产和科研中的不同问题，利用数学 原理，合理地安排试验点，减少试验次数，迅速地找 到最佳点的一类科学方法。
x 即第一次舍去的长度 b a 即第一次总长度
x1 x2 x1 a
(b x) (a x) 即第二次舍去的长度 x1 x 2 (b a) x 即第二次总长度 (去掉第一段后剩余的长 度)
3 黄金分割法（0.618法）
x 即第一次舍去的长度 b a 即第一次总长度
★
1 均分法
使用范围： • 这种方法的特点是对所试验的范围进行“普查”，常
常应用于对目标函数的性质没有掌握或很少掌握的情 况。即假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决 于试验点数目的多少。
2 平分法
• 适用于试验范围(a,b)内，目标函数为单调（连续或 间断）的情况下，求最优点的方法。
• 前提是有一个具体指标作为标准。
• 第三个试验点的安排有三种情形：
3 黄金分割法（Hale Waihona Puke Baidu.618法）
由 来 • (1) x1是好点 ，则划去（a,x2），保留（x2,b）。x1
的对称点x3，在x3安排第三次试验。
x3＝大＋小－前一点 ＝ b＋x2－x1
3 黄金分割法（0.618法）
• (2) x2是好点 ，则划去（x1,b），保留（a,x1）。 第三个试验点x3应是好点x2的对称点。
实验因素与水平
主 实验因素与水平 要 内 容 单因素优选法
实验因素与水平
因素：在实验中，影响试验考核指标的量称为因素。 水平：水平是试验中各因素的不同取值。
一般用“+”，“-”号或1，2，3…来表示因 素的不同水平。当因素只有高低两个水平时， 用“+”号代表高，“-”号代表水平。当因素 有3个以上水平时，用1，2，3来依次表示从低 到高的水平，在同一试验表中，只能出现同类 符号，而不可混用。
• 第二步 第（2）个试验点由公式 x2＝大＋小－第一点＝2000＋1000－1618＝1382克
3 黄金分割法（0.618法）
x1＝1618克
x2＝1382克
• 第三步 比较（1）与（2）两点上所做试验的效果，现在
假设第（1）点比较好，就去掉第（2）点，即去掉
[1000,1382]那一段范围。留下[1382,2000]，则：
• 黄金分割 ：
5 1 0.6180339887 L
2
3 黄金分割法（0.618法）
• 0.618法要求试验结果目标函数f(x)是单峰函 数，即在试验范围内只有一个最优点 d，其效 果f(d)最好，比 d 大或小的点都差，且距最 优点 d 越远的试验效果越差。
3 黄金分割法（0.618法）
(b
(b x) (a x) 即第二次舍去的长度 x1 x 2 a) x 即第二次总长度 (去掉第一段后剩余的长
度)
由
来
它的左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍
去的比例数。对这个等式进行变形可得
x2 3(b a)x (b a)2 0
整理可得 x＝0.382(b－a)
均分法 平分法 黄金分割法
分数法 抛物线法 分批试验法
1 均分法
在试验范围[a, b]内，根据精度要求和实际情况，均 匀地排开试验点，在每一个试验点上进行试验，并相 互比较，以求得最优点。
作法：如试验范围L＝b－a，试验点间隔为N，则试验 点n为(包含两个端点)：
n L 1 ba 1
3 黄金分割法（0.618法）
• 安排两个试点时应该使两个试点关于因素范围的中点 对称----对称原则。
由 则无论哪点差，划去的长度都一样。 来
• 最好每次舍去的区间都能占舍去前全区间同样的比例 数（“成比例地舍去”原则）。
3 黄金分割法（0.618法）
• 两个试验点位置的确定：
由 来 • 设第一次舍去的长度为 x ，则：
可控因素 噪声因素
水平的选取
（1）水平有两种：量的变化（数量因素）和质的变化 （质量因素）。 （2）数量因素水平水平范围要足够宽，否则就可出现缩 小甚至抵削变量影响，同时也看不出因素间交互作用对输 出的影响。 （3）水平设置也不可过宽，否则同样可能缩小此因素的 影响，或将其它因素的影响掩盖掉。过宽还可能超出允许 操作范围，造成意外损失。一般要求3个以上。 （4）依据：专业知识、以往的研究结论、经验教训；最 重要的是在阅读文献基础上结合自身实际情况选择。
4 分数法
• 所有可能的试验总数正好是某个Fn-1： • 第一步：
先在第Fn-1、Fn-2点上做试验。
比较这两个试验的结果，如果第Fn-1点好，划去 第Fn-2点以下的试验范围；
如果第Fn-2点好，划去Fn-1点以上的试验范围。
4 分数法
• 所有可能的试验总数正好是某个Fn-1： • 第二步：
在留下的试验范围中，还剩下Fn-1－1个试验点， 重新编号，其中第Fn-2和Fn-3个分点，有一个是刚好留 下的好点，另一个是下一步要做的新试验点，两点比 较后同前面的做法一样，从坏点把试验范围切开，短 的一段不要，留下包含好点的长的一段，这时新的试 验范围就只有Fn-2－1试验点。 • 以后：以后的试验，照上面的步骤重复进行，直到试 验范围内没有应该做的好点为止。
4 分数法
• 例：卡那霉素生物测定培养温度试验。 • 卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为37±1℃
，培养时间在16h以上。某制药厂为缩短时间，决定进行 试验，试验范围为29～50℃，精确度要求±1℃，中间试 验点共有20个，用分数法安排试验。 • 解：由题意可知，试验总次数为20次，正好等于F7－1。
x3＝大＋小－前一点 ＝ x1＋a－x2
26
3 黄金分割法（0.618法）
• (3) 如果f(x1)和f(x2)一样，则应该具体分析，看最 优点可能在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以同 时划掉（a,x2）和（x1,b），仅留中点的(x2,x1)，把 x2看成新a，x1看成新b，然后在范围（x2,x1）内 0.382、0.618处重新安排两次试验试验。
3 黄金分割法（0.618法）
• 无论何种情况，在新的范围内，又有两次试验可以比 较。根据试验结果，再去掉一段或两段试验范围，在 留下的范围中再找好点的对称点，安排新的试验。
• 这个过程重复进行下去，直到找出满意的点，得出比 较好的试验结果；
• 或者留下的试验范围已很小，再做下去，试验差别不 大时也可终止试验。
因素
在试验设计时，试验因素（输入变量）有两种，一种是在试 验时我们可以人为进行控制的可控因素；一种是人为无法控 制的噪声（随机）因素。 可控因素是在试验过程中我们可以设置和保持其在一个希望 的水平上的因子，它应具有以下特征：
1、根据经验和以往数据可以确信其对指标Y有重要影响。 2、在试验过程中可以比较容易地进行人为改变。 可控因子对Y的影响愈大，则潜在的改善机会愈大。
实际中一般试验 设计的因素水平 均取2或3水平。
因素的选取
（1）选择依据：专业知识、以往的研究结论、经验教训； 最重要的是在阅读文献基础上结合自身实际情况选择。 （2）一般原则：尽可能全面地考虑到影响试验指标的各 个因素，根据实验要求和尽量少选因素 （3）首先选对试验指标影响大的因素、尚未完全掌握其 规律的因素和未曾被考察研究过的因素。那些对试验指标 影响较小的因素，对试验指标影响规律已完全掌握的因素， 应当少选或不选，但要作为可控的条件因素参加试验。 （4）在初步筛选因素时，可以考虑多安排一些因素。
每试验一次，试验范围缩 小一半，重复做下去，直 到找出满意的试验点为止。
3 黄金分割法（0.618法）
• 本方法是在试验范围［a, b］内，首先安排两个试验 点，再根据两点试验结果，留下好点，去掉不好点所 在的一段范围，再在余下的范围内寻找好点，去掉不 好的点，如此继续地作下去，直到找到最优点为止。
f(x)
f(x)
a
b
图2-1 连续单调
a
b
图2-2 间断单调
2 平分法
每次选取因素所在试验范围（a, b）的中点处C做试验。
计算公式： C =—（—a—+ —b )— 2
d = —（—c —+ b—)—
d
2
a
c ×
★
×
b
根据试验结果，如下次试验 在高处（取值大些），就把 此试验点（中点）以下的一 半范围划去；如下次试验在 低处（取值小些），就把此 试验点（中点）以上的一半 范围划去。
卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为37±1℃，培养时间在 16h以上。某制药厂为缩短时间，决定进行试验，试验范围为29~50℃
0.618或(1－0.618)＝0.382这正是黄金分割常数。
3 黄金分割法（0.618法）
• 第一个试验点x1设在范围（a，b）的0.618位置上，
做
第二个试验点x2取成x1的对称点，则：
法 • x1＝(大－小)×0.618＋小＝(b－a)×0.618＋a
• x2＝(大＋小)－第一点(即前一点)＝(b＋a)－x1
假定f(x)是定义在区间[a，b]上的函数，但f(x)的表 达式是并不知道的，只有从试验中才能得出在某一点 x0的数值f(x0)。应用单因素优选法，就是用尽量少的 试验次数来确定f(x)的最佳点。
单因素优选法
• 可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618 倍，随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直 到达到所需精度即可。
4 分数法
适用范围： • 试验要求预先给出试验总数(或者知道试验范围和精
确度，这时试验总数就可以算出来)。在这种情况下 ，用分数法比0.618法方便，且同样适合单峰函数的 方法。 裴波那契数列： • 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… • 用F0、F1、F2、…依次表示上述数串，它们满足递推 关系： Fn＝Fn-1＋Fn-2 (n≥2)
N
N
1 均分法
例2-1 对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范 围为420转/分~720转/分，拟经过试验找出能使光洁度最佳 的砂轮转速值。
N = 30 转/分
n = —b—- —a — + 1 = —7—20—- —42—0 — +1 = 11
N
30
试验转速：
420，450，480，510，540，570，600，630，660，690，720
x3＝大＋小－第一点＝1382＋2000－1618＝1764克 • 第四步 比较在上次留下的好点，即第（1）处和第（3）
处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果差的那个 试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分 范围作为新的试验范围，……如此反复，直到得到较好 的试验结果为止。
3 黄金分割法（0.618法）
3 黄金分割法（0.618法）
• 例：炼某种合金钢，需添加某种化学元素以增加强度，加 入范围是1000~2000克，求最佳加入量。
• 第一步 先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验 x1＝ (大－小)×0.618＋小＝ a＋(b－a)×0.618＝1000 ＋(2000－1000)×0.618＝1618克
• 设x1 和x2 是因素范围［a,b］内的任意两个试点，C 点为问题的最优点，并把两个试点中效果较好的点称
由 为好点，把效果较差的点称为差点。则：最优点与好 来 点必在差点同侧，因而我们把因素范围被差点所分成
的两部分中好点所在的那部分称为存优范围。即可以 去掉不包含好点的一段，只留下存优范围。
• 如何安排两个试验点？ 合理地缩小存优范围
因素
噪声因素是试验过程中可使试验结果发生偏差，且无法对 其进行控制的因子。它具有以下特征：
1、使试验结果偏离目标。 2、无法或很难人为控制。 当试验中存在噪声因素时，有两种方法可以进行改善。
1、首先确认此因素对指标Y的影响程度，如影响大，则须对 其进行中和（即直接控制或降低其对Y的影响）。
2、通过重复精确试验来确定可控因素的最佳水平，当可控因 素的水平足够好时，即可得到可靠的设计（对噪声因素不敏感）。
水平
确定实验因素： 在对实验背景、实验条件、实验预期结果充分了
解的基础上结合自身研究内容、现实条件、预期效果 确定实验因素。方法：大量阅读文献及总结。 确定实验因素水平：
文献结合实际！参考单因素优选法！
单因素优选法
优选法就是根据生产和科研中的不同问题，利用数学 原理，合理地安排试验点，减少试验次数，迅速地找 到最佳点的一类科学方法。
x 即第一次舍去的长度 b a 即第一次总长度
x1 x2 x1 a
(b x) (a x) 即第二次舍去的长度 x1 x 2 (b a) x 即第二次总长度 (去掉第一段后剩余的长 度)
3 黄金分割法（0.618法）
x 即第一次舍去的长度 b a 即第一次总长度
★
1 均分法
使用范围： • 这种方法的特点是对所试验的范围进行“普查”，常
常应用于对目标函数的性质没有掌握或很少掌握的情 况。即假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决 于试验点数目的多少。
2 平分法
• 适用于试验范围(a,b)内，目标函数为单调（连续或 间断）的情况下，求最优点的方法。
• 前提是有一个具体指标作为标准。
• 第三个试验点的安排有三种情形：
3 黄金分割法（Hale Waihona Puke Baidu.618法）
由 来 • (1) x1是好点 ，则划去（a,x2），保留（x2,b）。x1
的对称点x3，在x3安排第三次试验。
x3＝大＋小－前一点 ＝ b＋x2－x1
3 黄金分割法（0.618法）
• (2) x2是好点 ，则划去（x1,b），保留（a,x1）。 第三个试验点x3应是好点x2的对称点。
实验因素与水平
主 实验因素与水平 要 内 容 单因素优选法
实验因素与水平
因素：在实验中，影响试验考核指标的量称为因素。 水平：水平是试验中各因素的不同取值。
一般用“+”，“-”号或1，2，3…来表示因 素的不同水平。当因素只有高低两个水平时， 用“+”号代表高，“-”号代表水平。当因素 有3个以上水平时，用1，2，3来依次表示从低 到高的水平，在同一试验表中，只能出现同类 符号，而不可混用。
• 第二步 第（2）个试验点由公式 x2＝大＋小－第一点＝2000＋1000－1618＝1382克
3 黄金分割法（0.618法）
x1＝1618克
x2＝1382克
• 第三步 比较（1）与（2）两点上所做试验的效果，现在
假设第（1）点比较好，就去掉第（2）点，即去掉
[1000,1382]那一段范围。留下[1382,2000]，则：
• 黄金分割 ：
5 1 0.6180339887 L
2
3 黄金分割法（0.618法）
• 0.618法要求试验结果目标函数f(x)是单峰函 数，即在试验范围内只有一个最优点 d，其效 果f(d)最好，比 d 大或小的点都差，且距最 优点 d 越远的试验效果越差。
3 黄金分割法（0.618法）
(b
(b x) (a x) 即第二次舍去的长度 x1 x 2 a) x 即第二次总长度 (去掉第一段后剩余的长
度)
由
来
它的左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍
去的比例数。对这个等式进行变形可得
x2 3(b a)x (b a)2 0
整理可得 x＝0.382(b－a)
均分法 平分法 黄金分割法
分数法 抛物线法 分批试验法
1 均分法
在试验范围[a, b]内，根据精度要求和实际情况，均 匀地排开试验点，在每一个试验点上进行试验，并相 互比较，以求得最优点。
作法：如试验范围L＝b－a，试验点间隔为N，则试验 点n为(包含两个端点)：
n L 1 ba 1
3 黄金分割法（0.618法）
• 安排两个试点时应该使两个试点关于因素范围的中点 对称----对称原则。
由 则无论哪点差，划去的长度都一样。 来
• 最好每次舍去的区间都能占舍去前全区间同样的比例 数（“成比例地舍去”原则）。
3 黄金分割法（0.618法）
• 两个试验点位置的确定：
由 来 • 设第一次舍去的长度为 x ，则：
可控因素 噪声因素
水平的选取
（1）水平有两种：量的变化（数量因素）和质的变化 （质量因素）。 （2）数量因素水平水平范围要足够宽，否则就可出现缩 小甚至抵削变量影响，同时也看不出因素间交互作用对输 出的影响。 （3）水平设置也不可过宽，否则同样可能缩小此因素的 影响，或将其它因素的影响掩盖掉。过宽还可能超出允许 操作范围，造成意外损失。一般要求3个以上。 （4）依据：专业知识、以往的研究结论、经验教训；最 重要的是在阅读文献基础上结合自身实际情况选择。
4 分数法
• 所有可能的试验总数正好是某个Fn-1： • 第一步：
先在第Fn-1、Fn-2点上做试验。
比较这两个试验的结果，如果第Fn-1点好，划去 第Fn-2点以下的试验范围；
如果第Fn-2点好，划去Fn-1点以上的试验范围。
4 分数法
• 所有可能的试验总数正好是某个Fn-1： • 第二步：
在留下的试验范围中，还剩下Fn-1－1个试验点， 重新编号，其中第Fn-2和Fn-3个分点，有一个是刚好留 下的好点，另一个是下一步要做的新试验点，两点比 较后同前面的做法一样，从坏点把试验范围切开，短 的一段不要，留下包含好点的长的一段，这时新的试 验范围就只有Fn-2－1试验点。 • 以后：以后的试验，照上面的步骤重复进行，直到试 验范围内没有应该做的好点为止。
4 分数法
• 例：卡那霉素生物测定培养温度试验。 • 卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为37±1℃
，培养时间在16h以上。某制药厂为缩短时间，决定进行 试验，试验范围为29～50℃，精确度要求±1℃，中间试 验点共有20个，用分数法安排试验。 • 解：由题意可知，试验总次数为20次，正好等于F7－1。
x3＝大＋小－前一点 ＝ x1＋a－x2
26
3 黄金分割法（0.618法）
• (3) 如果f(x1)和f(x2)一样，则应该具体分析，看最 优点可能在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以同 时划掉（a,x2）和（x1,b），仅留中点的(x2,x1)，把 x2看成新a，x1看成新b，然后在范围（x2,x1）内 0.382、0.618处重新安排两次试验试验。
3 黄金分割法（0.618法）
• 无论何种情况，在新的范围内，又有两次试验可以比 较。根据试验结果，再去掉一段或两段试验范围，在 留下的范围中再找好点的对称点，安排新的试验。
• 这个过程重复进行下去，直到找出满意的点，得出比 较好的试验结果；
• 或者留下的试验范围已很小，再做下去，试验差别不 大时也可终止试验。
因素
在试验设计时，试验因素（输入变量）有两种，一种是在试 验时我们可以人为进行控制的可控因素；一种是人为无法控 制的噪声（随机）因素。 可控因素是在试验过程中我们可以设置和保持其在一个希望 的水平上的因子，它应具有以下特征：
1、根据经验和以往数据可以确信其对指标Y有重要影响。 2、在试验过程中可以比较容易地进行人为改变。 可控因子对Y的影响愈大，则潜在的改善机会愈大。
实际中一般试验 设计的因素水平 均取2或3水平。
因素的选取
（1）选择依据：专业知识、以往的研究结论、经验教训； 最重要的是在阅读文献基础上结合自身实际情况选择。 （2）一般原则：尽可能全面地考虑到影响试验指标的各 个因素，根据实验要求和尽量少选因素 （3）首先选对试验指标影响大的因素、尚未完全掌握其 规律的因素和未曾被考察研究过的因素。那些对试验指标 影响较小的因素，对试验指标影响规律已完全掌握的因素， 应当少选或不选，但要作为可控的条件因素参加试验。 （4）在初步筛选因素时，可以考虑多安排一些因素。
每试验一次，试验范围缩 小一半，重复做下去，直 到找出满意的试验点为止。
3 黄金分割法（0.618法）
• 本方法是在试验范围［a, b］内，首先安排两个试验 点，再根据两点试验结果，留下好点，去掉不好点所 在的一段范围，再在余下的范围内寻找好点，去掉不 好的点，如此继续地作下去，直到找到最优点为止。
f(x)
f(x)
a
b
图2-1 连续单调
a
b
图2-2 间断单调
2 平分法
每次选取因素所在试验范围（a, b）的中点处C做试验。
计算公式： C =—（—a—+ —b )— 2
d = —（—c —+ b—)—
d
2
a
c ×
★
×
b
根据试验结果，如下次试验 在高处（取值大些），就把 此试验点（中点）以下的一 半范围划去；如下次试验在 低处（取值小些），就把此 试验点（中点）以上的一半 范围划去。
卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为37±1℃，培养时间在 16h以上。某制药厂为缩短时间，决定进行试验，试验范围为29~50℃
0.618或(1－0.618)＝0.382这正是黄金分割常数。
3 黄金分割法（0.618法）
• 第一个试验点x1设在范围（a，b）的0.618位置上，
做
第二个试验点x2取成x1的对称点，则：
法 • x1＝(大－小)×0.618＋小＝(b－a)×0.618＋a
• x2＝(大＋小)－第一点(即前一点)＝(b＋a)－x1