结构力学 第5章 (四川大学)

V11 V22 V12
W12 V12
(b)

虚功原理：
外力在任意给定的虚位移上作的外 力虚功，等于各微段上的内力在相应的 变形上所做的内力虚功的总和。 适用条件：１、力系平衡（力状态） ２、位移光滑连续，约束允许(位 移状态） 四、虚功原理的应用
１、用于求未知力（虚位移原理） ２、用于求位移（虚力原理）
L
1 2
D
q
L
1 2 ql 4
1 2 ql 4
K
C
4I
L
B
A
1 2 ql 4
C
1 2 ql 4
ql 2 / 8
B
MP
D
1 2
K 1
1 ql 2 1 1 2 ql 2 1 1 K l ( l ) EI 4 2 4 3 8 2 2
A
1 2
C
1 2
B
25ql3 () 192EI
F M V ds ds k ds 2 EA 2 EI 2GA
2 N 2 2 FQ
W V
F P1
三、外力虚 功
1 W11 FP1 11 2
1
2
W22
1 FP 2 22 2
F P1
1
(a)
F P2
2
W12 FP112
外力总 功
内力总 功
W11 W12 W22
B
例5：求铰B两侧相对转角(EI为常数)
q C D
ql 2 2 ql 2 2
L
A L B L
BB
1 1 1 1 1
ql2
MP
1 EI 1 1 1 1 2 ( ql l 1) ( ql 2 l ) 2 2 2 3
MK
7ql 2 12 EI
l/2
B
解：1、设单位力构成虚状态
F=1
A x
C
B
2、写出 M、M P
的表达式
1 M x 2
1 1 2 M P qlx qx 2 2
l (0 x ) 2
3、 CV
MM P ds EI
4
CV
2 1 1 1 2 5ql 2 x( 2 qlx 2 qx )dx 384EI () EI
例6、求 DV，铰Ｃ处两侧截面的相对转角 CC 已知： 2 1104 kN / cm2 , I 3200 4 , A 16cm2 E cm
B 3m 4EI
10kN/m C EI E D
3m 4EI A 4m 2m
解：1、设单位力构成虚状态
B 4EI 4EI F=1 C 4EI A EI E D 4EI
5
Hale Waihona Puke 2q=10kN/m A EI 6m C EI 6m
F P =20kN B
解：1、设单位力构成虚状态
A C
F=1
B
2、绘 M 、M P 图
6 A C 300 45 A C B M p :kN ·m B M:m
3、
1 A1 A2 6 6 18 2 2 y1 y 2 300 200 3 2 A3 45 6 180 3 1 y3 6 3 2
W F CV FRB B V 0 W V
A
C
B
(a)
A
C
l/2 l/2
B
(a)
l/2
F F Ax
A
l/2
F CV FRB B 0 CV FRB 1 B B F 2
F
A
F Ay
B
(b)
F Ax
B
F RB
(b)
F Ay
F RB
5.4 结构在荷载作用下的位移计算
A1
MP
4、分段等截面
A1 y1 A2 y2 A3 y3 EI1 EI2
A1 A2 A3
EI 1
y1 y2
EI 2
y3
MP
M
5、抛物线为非标准图形
M P' MP

MMP M (M P M P ) ds ds EI EI MMP MMP ds ds EI EI
ds
Ay0 EI
应用图乘法时的几个具体问题： 1、如果两个图形都是直线图形，则纵标可取其中任意 图形，如果是折线，在折点处将面积分段。
A y A2 y2 1 1 EI
A2 A1 MP
y2
y1
M
2、M是梯形
MMP M (M P M P ) ds ds EI EI MMP MMP ds ds EI EI A y A2 y2 1 1 EI
1 1 2 1 5 2 90 3 3 75 5 4 EI 2 3 EA 12
155 937 .5 EI EA
0.0259 () m
B 75 20
B 5/12 M=1
90 C 20 A
E M P :kN·m F NP :kN
D
1 C M A F N :1/m
B
M=1 C EI E D
A
2、绘 M 、 图 M
P
B 75 20 90 C 20 A M P:kN·m F NP :kN 3 E D
B 5/2 2
F=1
D
C M:m FN
E
A
３、
DV 1 1 3 1 2 2 1 ( 20 2 2 20 4 2 20 4 2) EI 3 4 2 3 3 2
2 FN FN 1 1 FN du FN ds ds 2 2 EA 2 EA
dVM
dVFQ
1 1 M M2 M d M ds ds 2 2 EI 2 EI
2 kFQ FQ 1 1 FQ d FQ ds k ds 2 2 GA 2GA
dV dVFN dVM dVFQ
M P"
M P'
M P"
M
例1、求 BV ，EI=C.
F A l/2 l/2 B
解：1、设单位力构成虚状态
A
M 2、绘 M 、 P 图
F=1 B
l A M Fl/2 A M
P
B
B
3、
BV
Ay EI
1 Fl l 5 l 2 2 2 6 EI
5Fl () 48EI
3
6 A A1 C 300 A C B A3 45 M p :kN ·m A2 B M:m
BV

1 ( 2 A1 y1 A3 y 3 ) EI 1 ( 2 18 200 180 3) EI
Ai y i EI
0.0444 () m
例4：求φK
D 4I K I A
ds
F N FN P EA
l
1 CH [2 1 2 F a (2)(3F ) a EA ( 2 )( 2 F ) 2a 2 2 F 2a]
CH
10 4 2 Pa() EA
例2、求 CV , EI 常数。
q
A x
l/2
C
2 0

Fp R
4 EI
3
()
5.6
图乘法


图乘法是求结构（尤其是梁和刚架）位移时计 算内力含数乘积积分的一种简便方法。应用条 件为： １、在积分段内杆轴线是直线。 ２、在积分段内，杆为等截面同种材料，即EI ＝常数 ３、在积分段内，两内力函数中至少有一个是 直线变化。


MM p EI
将各下弦杆做 得比实际长度 短些，拼装后 下弦向上起拱。
在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
5.2 实功和虚功原理

一、外力实功
假设F与Δ成正比
F P (0 - F P)
F , F
dW (FPy dFPy ) d y FPy d y
FP
B ds +t 1 +t 2 K K' FN q ds A (a) (b)
——单位荷载法
C M FQ FQ M
FN
ds
du ds (c) ds
F=1
B ds K C
F R2
FQ FQ
F R1
M FN
M
FN
A
ds
(a)
(b)
1 KV ( F R 2 c2 F R1 c1 ) M d F du F d
例2、求
B
q
A
l/2
EI
C
B
l/2
解：1、设单位力构成虚状态
M=1
A
B
M 2、绘 M 、 P 图
A
ql 2 8
B
MP
1 B
M
A
3、
B
Ay EI
1 2 1 2 1 ql l 1 EI 3 8 2
ql3 ( 24EI
)
例3、求
BV
，EI 1.5 10 kN m
MK
相对位移
Δ
A
Δ
B
A
B
Δ
AB
= Δ A +Δ B
A
F=1
B
M
A
A
F=1
B
M
B
M AM P A ds EI
M BM P B ds EI
AB A B
(M A M B )M P ds EI


A
F=1
MM P ds EI
F=1
B
M= M A+M
W FPy d y
0
FP
FP dF P y F Py
o
A
FPy dFPy
0
FP
1 2 FP 2 1 FP 2
d
B
二、内力实功
FP ds FN M FQ FQ M FN
(a)
(b)
M FN FN
M
FQ
FQ
ds (c)
du
ds (d)
ds (e)
dVFN
B
q
D
二、计算位移的目的。

１、校核结构的刚度，以保证结构在使 用过程中不发生不能容许的过大位移。 ２、为超静定结构的内力计算打下基础。 动力计算也需要。


３、在结构的制作，施工，架设，养护 等过程中，也需要预先知道结构的变形 以后的位置，以便作一定的施工措施。
建筑起拱
如屋架在竖向荷 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。
结构力学
第五章


结构位移计算
FP K K'

5.１ 概述 一、结构的位移 １、变形：结构在荷载作用下产 生应力和应变，因而将发生尺寸 和形状的改变，这种改变称为变 形。 ２、位移：由于变形，结构上各 点截面的几何位置发生变化，称 为结构的位移。结构上某点位置A 移动的距离为该点的线位移。称 结构某点所在的截面的法线转动 的角度为该截面的角位移。 C
N Q
KV M d F du F d () F Ri ci
N Q
静定结构在荷载作用下的位移计算
FP
ds K K' F NP q F QP MP F QP MP
F NP
(a)
(b)
du
(c)
FQP FNP MP d ds，du ds，d k ds EI EA GA


１、用于求未知力（虚位移原理）
FP
W12 FRB B FP P V12 0 W12 V12 FRB B FP P 0 FRB
F Ax
A
l/2
FP
B (a)
l/2
P 1 FP FP B 2
A
A
F Ay
B (b)
F RB
B
(c)
２、用于求位移（虚力原理）
l 2 0
例3、求 BV , EI 常数。
FP
、
K ds
B
A R O
解：1、设单位力构成虚状态
F=1 B
A
2、写出
M 、 M P 的表达式
M R Sin
M P Fp R Sin
3、 BV

R
2
MM p EI
2
0
ds
2
Fp R Sin Rd
P
C 3a
a
解：1、设单位力构成虚状态
F=1
C
F 2、求 F N 、 N P
FP
0 0 C 0
√2F P
0
-F P
F=1 C
0
0
0
0
-√2F P -F P ③ 2F P ④
0
③ 1
-√2 ④
0
0
2F P √2F P ⑤ ①
0
-3F P ②
①
1
√2
⑤
0
-2
②
3、
CH
F N FN P EA
F=1
ds K FQ FQ
M FN
M
FN
(a)
(b)
KV M d F du F d
N Q
KV
F N FN P F Q FQP MMP ds ds k ds EI EA GA
. 例1、求 CH , EA CF
E
D
CC
1 1 1 2 1 ( 20 4 20 4 ) EI 2 3 3 2
1 1 2 1 5 90 3 75 5 4 EI 2 3 EA 12
A2 M P"
M P' A1 MP
y2
y1
M
3、M图有正有负
MMP M (M P M P ) ds ds EI EI MMP MMP ds ds EI EI A y A2 y2 1 1 EI
M P' M P A2 M P" y2 y1 M