伴随矩阵的性质及应用汇总

中山大学

本科毕业论文（设计）

（2016届）

题目：伴随矩阵及其应用

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学院：数学学院

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摘要

伴随矩阵是高等代数中的一个重要概念，由它可以推导出求逆矩阵的计算公式，从而解决了矩阵求逆的问题.同时关于矩阵A 的伴随矩阵A* 的性质也是非常重要的. 在目前的高等数学教材中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现，涉及内容较少，并没有深入的研究探讨.因此本文主要研究了伴随矩阵在对称性、合同性、正定性、正交性、特征多项式，特征值等方面的性质，并给出伴随矩阵在实际问题中的综合应用实例.

关键词：伴随矩阵，正交矩阵，正定矩阵，可逆矩阵，特征多项式，特征值

I

Abstract

Adjoint matrix is an important concept in higher algebra, it can derive inverse matrix calculation formula, so as to solve the inverse problem of matrix inversion. At the same time on matrix A with the nature of the matrix A is also very important. In the current teaching of higher mathematics, adjoint matrix is only for solving inverse matrix appeared, less involved in the content, and no in-depth study. Therefore, this paper mainly studies the properties of adjoint matrix in symmetry, contract, positive definite, orthogonal and characteristic polynomial, characteristic value, and given with with matrix in the practical problems in comprehensive application examples.

Key words:adjoint matrix, orthogonal matrix, positive definite matrix, reversible matrix, characteristic polynomial, eigenvalue.

II

目录

摘要........................................................................I Abstract....................................................................II

1. 引言 (1)

2. 伴随矩阵的基本性质 (2)

3. 伴随矩阵的实际应用 (6)

3.1利用伴随矩阵求逆矩阵 (6)

3.2由伴随矩阵推导原矩阵 (6)

3.3伴随矩阵基本性质的直接应用 (6)

3.4伴随矩阵秩的应用 (8)

参考文献 (9)

1 1. 引言

矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类，其理论和应用有其自身的特点.那么我们首先来了解一下什么是伴随矩阵，在给出伴随矩阵的定义之前，先给出余子式和代数余子式的定义.

定义1 n n (>1)阶行列式11111

1

j n i ij in n nj

nn

a a a a a a D a a a =的某一元素ij a 的余子式ij M 指的是在D 中划去ij a 所在的行和列后所余下的1n -阶子式.

定义2 n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 附以符号i j +(-1)后，叫作元素ij a 的代数余子式，用符号ij A 表示，i j ij ij A M +=(-1).

定义3 设ij A 是矩阵A 1112121

2221

2

n n n n nn a a a a

a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

中元素ij a 的代数余子式，那么矩阵1121112

22212n n n

n

nn A A A A A A A A A A *

⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

称为矩阵A 的伴随矩阵. 定义4 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩，记作r A (). 伴随矩阵中有两个常用的公式 公式一 *AA A A A I *==.

公式二 11A A A

-*

=

， 其中I 是单位矩阵，1A -是矩阵A 的逆矩阵，A 是矩阵A 的行列式.

证明 设11121212221

2

n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，由于1122=0 , i j i j in jn A i j

a A a A a A i j ⎧=++⎨≠⎩

， ，因此

2 1112111

21121

22212

2221

2

120

00

0=0

n n n n n n nn n

n

nn a a a A A A A a

a a A A A A AA A I a a a A A A A *⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪0

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

， 同理A A A I *=，公式一得证.当A 是可逆矩阵时，0A ≠，由公式一可得*1A A A

(

)=*1

A A A ()

I =，即11A A A

-*

=

. 注：公式二给出了矩阵A 的逆矩阵的构造方法，这在理论上是非常重要的.高等代数教材中给出的伴随矩阵，一般都是以上内容，但这对于伴随矩阵的探究远远不够，本文将给出伴随矩阵的一些性质及证明，同时结合伴随矩阵的性质，探究伴随矩阵的实际应用.

2. 伴随矩阵

*A 的基本性质

性质1 设A 是n 阶矩阵，则* 1 0 n r A n

r A r A n r A n ,()=⎧⎪

()=,()=-1⎨⎪,()< -1⎩

证明 (1)当r A n ()=时，则A 可逆，0A ≠，由AA A I *=可知，n

AA A A A **==，即1

0n A A

-*=≠，所以A *可逆，r A n *()=.

(2)当1r A n ()=-时，A 中至少有一个1n -阶子式不为0，即A *中至少有一个元素不为0，因此r A *()≥1.又因为1r A n ()=-，则A 不是满秩矩阵，所以0A =.由AA A I *=,可知

0AA *=,又因为r A r A n *()+()≤，把1r A n ()=-代入，可知r A *()1≤，综上可得1r A *()=.

(3)当1r A n ()<-时，可知A 的所有1n -阶子式均为0，即A *的所有元素均为0 ，于是A *=0，所以r A *()=0.

性质2 T T A A **()=()，其中T A 表示矩阵A 的转置矩阵.

证明 设1112121

2221

2

n n n n nn a a a a

a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则T A 的第i 行第j 列元素为ji a ，T A *()的第i 行第j