伴随矩阵的性质及应用汇总

中山大学
本科毕业论文（设计）
（2016届）
题目：伴随矩阵及其应用
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学院：数学学院
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摘要
伴随矩阵是高等代数中的一个重要概念，由它可以推导出求逆矩阵的计算公式，从而解决了矩阵求逆的问题.同时关于矩阵A 的伴随矩阵A* 的性质也是非常重要的. 在目前的高等数学教材中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现，涉及内容较少，并没有深入的研究探讨.因此本文主要研究了伴随矩阵在对称性、合同性、正定性、正交性、特征多项式，特征值等方面的性质，并给出伴随矩阵在实际问题中的综合应用实例.
关键词：伴随矩阵，正交矩阵，正定矩阵，可逆矩阵，特征多项式，特征值
I
Abstract
Adjoint matrix is an important concept in higher algebra, it can derive inverse matrix calculation formula, so as to solve the inverse problem of matrix inversion. At the same time on matrix A with the nature of the matrix A is also very important. In the current teaching of higher mathematics, adjoint matrix is only for solving inverse matrix appeared, less involved in the content, and no in-depth study. Therefore, this paper mainly studies the properties of adjoint matrix in symmetry, contract, positive definite, orthogonal and characteristic polynomial, characteristic value, and given with with matrix in the practical problems in comprehensive application examples.
Key words:adjoint matrix, orthogonal matrix, positive definite matrix, reversible matrix, characteristic polynomial, eigenvalue.
II
目录
摘要 (I)
Abstract (II)
1. 引言 (1)
2. 伴随矩阵的基本性质 (2)
3. 伴随矩阵的实际应用 (6)
3.1利用伴随矩阵求逆矩阵 (6)
3.2由伴随矩阵推导原矩阵 (6)
3.3伴随矩阵基本性质的直接应用 (6)
3.4伴随矩阵秩的应用 (8)
参考文献 (9)
1 1. 引言
矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。

伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类，其理论和应用有其自身的特点.那么我们首先来了解一下什么是伴随矩阵，在给出伴随矩阵的定义之前，先给出余子式和代数余子式的定义.
定义1 n n (>1)阶行列式11111
1
j n i ij in n nj
nn
a a a a a a D a a a =的某一元素ij a 的余子式ij M 指的是在D 中划去ij a 所在的行和列后所余下的1n -阶子式.
定义2 n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 附以符号i j +(-1)后，叫作元素ij a 的代数余子式，用符号ij A 表示，i j ij ij A M +=(-1).
定义3 设ij A 是矩阵A 1112121
2221
2
n n n n nn a a a a
a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
中元素ij a 的代数余子式，那么矩阵1121112
22212n n n
n
nn A A A A A A A A A A *
⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
称为矩阵A 的伴随矩阵. 定义4 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩，记作r A (). 伴随矩阵中有两个常用的公式 公式一 *AA A A A I *==.
公式二 11A A A
-*
=
， 其中I 是单位矩阵，1A -是矩阵A 的逆矩阵，A 是矩阵A 的行列式.
证明 设11121212221
2
n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，由于1122=0 , i j i j in jn A i j
a A a A a A i j ⎧=++⎨≠⎩
， ，因此
2 1112111
21121
22212
2221
2
120
00
0=0
n n n n n n nn n
n
nn a a a A A A A a
a a A A A A AA A I a a a A A A A *⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪0
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 同理A A A I *=，公式一得证.当A 是可逆矩阵时，0A ≠，由公式一可得*1A A A
(
)=*1
A A A ()
I =，即11A A A
-*
=
. 注：公式二给出了矩阵A 的逆矩阵的构造方法，这在理论上是非常重要的.高等代数教材中给出的伴随矩阵，一般都是以上内容，但这对于伴随矩阵的探究远远不够，本文将给出伴随矩阵的一些性质及证明，同时结合伴随矩阵的性质，探究伴随矩阵的实际应用.
2. 伴随矩阵
*A 的基本性质
性质1 设A 是n 阶矩阵，则* 1 0 n r A n
r A r A n r A n ,()=⎧⎪
()=,()=-1⎨⎪,()< -1⎩
证明 (1)当r A n ()=时，则A 可逆，0A ≠，由AA A I *=可知，n
AA A A A **==，即1
0n A A
-*=≠，所以A *可逆，r A n *()=.
(2)当1r A n ()=-时，A 中至少有一个1n -阶子式不为0，即A *中至少有一个元素不为0，因此r A *()≥1.又因为1r A n ()=-，则A 不是满秩矩阵，所以0A =.由AA A I *=,可知
0AA *=,又因为r A r A n *()+()≤，把1r A n ()=-代入，可知r A *()1≤，综上可得1r A *()=.
(3)当1r A n ()<-时，可知A 的所有1n -阶子式均为0，即A *的所有元素均为0 ，于是A *=0，所以r A *()=0.
性质2 T T A A **()=()，其中T A 表示矩阵A 的转置矩阵.
证明 设1112121
2221
2
n n n n nn a a a a
a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则T A 的第i 行第j 列元素为ji a ，T A *()的第i 行第j
3 列元素为ij A ，A *的第i 行第j 列元素为ji A ，T A *()的第i 行第j 列元素为ij A ，因此
T T A A **()=(). 性质3 1
1n A A
n -*=(>).
证明 当A 可逆，即A ≠0时，因为A A A *-1=，所以1
n
n A A A A A A
-1
-*-1===，
当A 不可逆，即A =0时，0A *=，可得1
n A A -*=.
性质4 2
2n A A
A n -**()=()≥.
证明 (1)当2n =，即A 为二阶矩阵时，设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则d b A c a *
-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，
a b A c d **
⎛⎫()= ⎪
⎝⎭
，故22A A A A -**
()==. (2)当n >2时，根据A 是否可逆分两种情况考虑. ①A 可逆，即0A ≠,由性质3可知1
1
1
2
11n n n A A A A
A A
A
A A
A ----**-*-*()=()=()==
②A 不可逆，即0A =,可知1r A n ()-≤.若()1r A n =-，则1r A n *()=1<-，可知
r A **(())=0，从而2
0n A A A -**()==.若1r A n ()<-，则r A *()=0，即0A *=，故
2
0n A A
A -**()==.
性质5 当A 可逆时，11A
A A A
*--*()=()=
. 证明 由AA A I *=可知，A A A *-1()=
,而1
A A A A A
--1*-1-1()=()=,故1A A *-1-*()=(). 性质6 设k 为常数，11n kA k A n *-*()=(>).
证明 111111=n n n kA kA kA k A k A k k A A k A *------*()=()==. 性质7 AB B A ***()=.
证明 ①当A B ≠0,≠0时，1111
1AB AB AB A B B A B B A A B A *-----()=()===**·.
②当0,0A B ==时，令A x xE A ()=+,B x xE B ()=+，则存在无穷多个x ，使得
4 ,A x B x ()≠0()≠0.A x ()与B x ()均可逆，所以A x B x B x A x ***(()())=(())(())，该等式两端的元素是关于x 的有限次多项式，因为存在无穷多个x ，这意味着存在无穷多个数使得对应的多项式相等，即上式对任意的x 都成立.当0x =时，得AB B A ***()=. 伴随矩阵A *是由矩阵A 决定的，所以矩阵A 所具有的特点伴随矩阵A *一样具备. 性质8 若A 为正交矩阵，则A *也是正交矩阵.
证明 若A 为正交矩阵，则2
,1T T AA A A I A ===，于是有**11T T A A A A A A --()=()()
22
111111T T T A A A A A A AA I I ------=()=()=()==. 同理，**T A A I ()=,故A *也为正交矩阵. 性质9 若矩阵A 与B 合同，且A 与B 可逆，那么A *与B *也合同.
证明 因为矩阵A 与B 合同，由矩阵合同的定义可知，存在可逆矩阵P ，使得
T P AP B =，又A 与B 可逆，则1111T P A P B ----()=,令1T C P -=()，有11T C A C B --=，又
2
P A B =，则有11T P C A A P C B B --()()=,令Q P C =，则Q P C =是可逆矩阵且
T Q A Q B **=，因此A *与B *也合同.
性质10 若A 为对合矩阵，即2A I =,则A *也为对合矩阵.
证明 若A 为对合矩阵，则2A I =，则2
2
2121221A A A A A A A I *---()=()=()=()=， 因此A *也是对合矩阵.
性质11 若A 是一个n 阶正定矩阵，则A *也是正定矩阵.
证明 因为A 是正定矩阵，A >0，故存在可逆矩阵P ，使得T P AP I =，那么有
T P AP I **()=，由性质7可知T T P A P P A P I I *******()=()==，所以A *也是正定矩阵.
性质12 若A 是一个n 阶实对称矩阵，则A *也是对称矩阵.
证明 因为A 是实对称矩阵，有T A A =，由性质2可知，T T A A **()=()，所以
T T A A A ***=()=()，故A *也是对称矩阵.
性质13 若A 是n 阶可逆的，则A *可表示成A 的多项式.
5 证明 设A 的特征多项式为12121n n n n n f I A a a a a ---(λ)=λ-=λ+λ+λ+
+λ+，由于A
可逆，故可知0n n f a A (0)==(-1)≠.由哈密顿-凯莱定理可得f A ()=111n n n A a A a A --++
+
0n n a I =，即111n n n n n A a A a A a I --++
=-，进而可得121211
n n n n n n A A a A a A a I a ----⎡⎤
-(++
++)⎢⎥⎣⎦
n I =，故1121211
n n n n n n
A A a A a A a I a -----=-
(+++) .由1A A A *-=，所以1n n
A A A a *-=-
(+
2121n n n n a A a A a I ---+
++)=1121n n n A a A ---(-1)(++
+21n n n a A a I --+).
注：哈密顿-凯莱定理：设n 阶矩阵A 的特征多项式为1212n n n n n f a a ----(λ)=λ+λ+λ
+
10a a +λ+，1n a =，
则矩阵A 满足特征方程，即1212100n n n n n f A A a A a A a A a ----()=+++++=
性质14 若A 是可逆矩阵，λ是其特征值，α是A 的属于λ的特征向量，那么A *的特征值为1A -λ,α是A *的属于特征值1A -λ的特征向量.
证明 因为A 可逆，所以0λ≠，由A α=λα，两边同时乘以A *得A A A **α= λα，由
A A A I *=可得A I A *α=λα，因此1A A *-α=λ α.
3. 伴随矩阵的实际应用
3.1利用伴随矩阵求逆矩阵
例1 设矩阵1213A ⎛⎫= ⎪
-⎝⎭
，2
32B A A E =-+，则1B -=? 分析 求1B -，首先要先将矩阵B 求出，再根据伴随矩阵定义，求得B *，利用公式
1
B B B
*
-=即可解出1B -.
解 由121212103213131301B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得：2210B -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，22210B -==-，
6 0212B *-⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，故1
01112B B B *
--⎛⎫ ⎪=
= ⎪-⎝⎭
. 3.2由伴随矩阵推导原矩阵
例2 设矩阵A 的伴随矩阵4231A *-⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，求A .
分析 伴随矩阵A *是从矩阵A 根据定义得出的，本题若是采用定义的方法逆推矩阵A ，麻烦且容易弄错元素，因此考虑利用公式去推导矩阵A . 解 2A *=-，根据性质4， 1
n A A
-*=，此时2n =，故2A =-，1213122A A A *
--⎛⎫ ⎪== ⎪
-⎝⎭
，根据1
AA I -=，对矩阵施行行初等变换2
11
010123
13101012
22
2-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
10120134⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1234A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
3.3伴随矩阵基本性质的直接应用
例3 设A 为3阶矩阵，其逆矩阵为1121342531A --⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，求A **()，1
A *-(). 分析 先看A **()，若直接求，需通过1A -将A 求出，再通过伴随矩阵的定义求出A *，进而可以求出A **()，但这个过程比较繁琐.根据前面的性质 2
n A A A -**()=，只要求出A
和A 就可以求出A **(),过程更为简便.
再看1A *-()，如果直接求的话，就要先利用1A -求出A ，再求A *，最后求逆.虽然是三阶矩阵，但这三步每一步都不容易.可根据前面的性质 11A
A A A
*--*()=()=
简化运算过程. 这两个问题从公式中可以看出，只要求出A 与A 就能解决，那就先从求A 着手.
7 解 121100121100121100131342010021310010222531001013650112913001222⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
⎪⎪ ⎪⎪
⎪⎪-−−
→--−−→-- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
12028132100210010136101013610012913200129132---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪⎪−−
→--−−→-- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 故210136129132A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪
⎪--⎝⎭
，210
1361129132A -=--=--.由性质4可知，2n A A A -**
()=，此时3n =,210136129132A **-⎛⎫
⎪()=-- ⎪ ⎪
--⎝⎭
.由性质5可知，11210136129132A A A A *--*-⎛⎫ ⎪()=()==-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 例4 求矩阵240430102A -⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪⎝⎭
的伴随矩阵A *. 解 矩阵A 的特征多项式为：322
404303121
f I A λ+-(λ)=λ-=λ-=λ-λ+λ-20-λ-2
，
20n n a A =(-1)=-，矩阵A 可逆，由性质13可知132680128403410A A A I *--⎛⎫
⎪
=(-1)(-3+)=- ⎪ ⎪-⎝⎭
.
例5 设A 为三阶矩阵，A 的特征值为1,3,5，试求行列式2A I *-
解 因为A 的特征值为1,3,5，所以13515A =⨯⨯=.由性质14可知，A *的特征值分
别为11553⨯=，1
1535
⨯=，
11515⨯=.于是2A I *-的特征值为523-=，321-=，15213-=. 故2311339A I *-=⨯⨯=. 3.4伴随矩阵秩的应用
例6 试求出满足A A *=的一切n 阶矩阵A .
8 分析 如何求解A A *=呢？我们可以从矩阵的秩来考虑，也就是利用性质1，但是要注意分类讨论.
解 ①当0A =时，0A *=，此时有A A *=.
②当01r A n <()<-时，则r A *()=0，即0A *=，此时A A *≠.
③当1r A n ()=-时，则r A *()=1，当2n >时，A A *≠.当2n =时，设a b A c d ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭，
则d
b A c
a *
-⎛⎫=
⎪⎝⎭，即A A *≠.因为若A A *
=，则a d =，0b c ==，于是00a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，这与
r A *()=1矛盾，故此时A A *≠.
④当r A n ()=时，则r A n *()=，由AA A I *=可得1A A A A *-==，仅当2A A I =时. 综上可得，满足A A *=的矩阵是：零矩阵以及满足2A A I =的可逆矩阵.
参考文献
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