高考数学大一轮总复习 第十章 第1讲 直线的方程 理

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【跟踪训练 2】 (2014·广东江门一模)已知直线 l 过点
A(2,1) 和 B(1 ， m2)(m ∈ R) ， 则 直 线 l 斜 率 的 取 值 范 围
是
，倾斜角的取值范围是
.
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解析：因为 A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)， 所以 kAB＝m12－－21＝1－m2， 所以 kAB≤1. 所以直线 l 斜率的取值范围为(－∞，1]． 设直线 l 的倾斜角为 α(0°≤α＜180°)，则 tan α≤1， 所以 α∈[0°，45°]∪(90°，180°)．
则a4＋－b3＝1 ⇒x＋y－1＝0. 若 ab＝0，则 a＝b＝0. 设 y＝kx，由－3＝k·4⇒k＝－34⇒y＝－43x， 即 3x＋4y＝0.
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一 直线的倾斜角及斜率
【例 1】直线 x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范
围是( )
A．[0，π4]
B．[34π，π)
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第1讲 直线的方程
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1.下列直线中倾斜角为 45°的是( A )
A．y＝x
B．y＝－x
C．x＝1
D．y＝1
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解析：由于直线的倾斜角为 45°，故直线斜率为 1，结合 所给的选项，只有 A 满足条件.
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2.直线 9x－3 3y－7＝0 的倾斜角 α 为( C )
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【解答过程】过点 M 且与 x 轴垂直的直线显然不合题意， 故可设所求直线方程为 y＝kx＋1，与两已知直线 l1、l2 分别交 于 A、B 两点，联立方程组
y＝kx＋1 x－3y＋10＝0 .① y＝kx＋1 2x＋y－8＝0 ，② 由①解得 xA＝3k－7 1，由②解得 xB＝k＋7 2.
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4.若点 A(3,2)，B(4，a－1)，C(5，4)三点共线，则 a 的值为 .
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解析：利用 kAB＝kAC， 即a－4－1－3 2＝45－－23， 解得 a＝4.
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5.过点(4，－3)的直线 l 在两坐标轴上的截距相等，则 l
的方程为
.
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解析：若 ab≠0，设直线方程为ax＋by＝1， a＝b
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三 直线方程的综合应用
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【跟踪训练 1】直线 2xcosα－y－3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角
的取值范围是( )
A．[π6，π3]
B．[π4，π3]
C．[π4，π2]
D．[π4，23π]
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解析：直线 2xcosα－y－3＝0 的斜率 k＝2cosα， 由 α∈[π6，π3]，所以21≤cosα≤ 23， 因此 k＝2cosα∈[1， 3]． 设直线的倾斜角为 θ，则有 tanθ∈[1， 3]． 由于 θ∈[0，π)，所以 θ∈[π4，π3]， 即倾斜角的取值范围是[π4，π3]．
由于 0＞－a2＋1 1≥－1， 设倾斜角为 α，则 0≤α＜π，－1≤tan α＜0， 所以34π≤α＜π. 答案：B
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【温馨提示】求倾斜角取值范围的一般步骤： (1)求出斜率 k＝tanα 的取值范围； (2)利用ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结 合，确定倾斜角 α 的取值范围；在求角过程中要特别注意 斜率是否存在．
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【跟踪训练 4】 经过点 A(－5,2)且在 x 轴上的截距等于
在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程为
.
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解析：当截距为 0 时，设直线方程为 y＝kx， 则－5k＝2，所以 k＝－25， 所以直线方程为 2x＋5y＝0， 当截距不为 0 时，设直线方程为2xa＋ay＝1. 由题意，－2a5＋2a＝1，所以 a＝－21. 所以 x＋2y＋1＝0. 综上，2x＋5y＝0 或 x＋2y＋1＝0.
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
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解析：由直线方程可得直线的斜率为 9 ＝ 33
3，
则由 tanα＝ 3，所以 α＝60°，故选 C.
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3. 在同一平面直角坐标系中表示直线 y＝ax 与 y＝x＋a，
正确的是( C )
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解析：应用排除法验证可知应选 C.思考时应注意 到 a 对于直线 y＝ax 为其斜率，而对于 y＝x＋a 为其纵 截距．
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因为点 M 平分线段 AB，所以 xA＋xB＝2xM， 即3k－7 1＋k＋7 2＝0，解得 k＝－14. 故所求直线方程为 x＋4y－4＝0.
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【温馨提示】求直线方程时，要选择适当的直线方程 的形式，并注意各种形式的使用条件．一般地，可以如下 参考：已知一点，通常选用点斜式；已知斜率，选择斜截 式或点斜式；已知截面或两点坐标，选择截距式或两点式， 同时，在求解直线方程的过程中，要注意在不能确定直线 是否有斜率时，要对直线斜率 k 存在与否进行分类讨论，防 止漏解．
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二 直线方程的求法
【例 2】过点 M(0,1)作直线，使它被两已知直线 l1：x－3y ＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0 所截得的线段恰好被 M 所平分，求 此直线方程．
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【思路点拨】 设所求的方程与已知的直线 l1，l2 分别交于 A、B 两点，因为 B 在直线 l2 上，可设 B(t,8－2t)，因为 M 为线 段 AB 的中点，利用中点坐标公式即可表示出 A 点的坐标，把 A 的坐标代入直线 l1 的解析式中，即可求出 t 的值，得到 A 与 B 两点的坐标，根据两点坐标写出所求直线的方程即可．
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【跟踪训练 3】 经过点 A(1,0)且法向量为 n＝(2，－1)的
直线 l 的方程为
.
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解析：因为直线的法向量为 n＝(2，－1)， 所以其方向向量为(1,2)，即直线的斜率为12＝2， 又因为直线过点(1,0)． 所以直线方程为 y－0＝2(x－1) ⇒y＝2x－2⇒2x－y－2＝0.
C．[0，π4]∪(π2，π)
D．[π4，π2)∪[34π，π)
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【思路点拨】 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以 及倾斜角的取值范围，已知三角函数值的范围求角的范围， 得到 0≤α＜π，－1≤tanα＜0，是解题的关键．
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【解答过程】 直线 x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的斜率等于 －a2＋1 1，