(整理)05 第五节 线性变换的矩阵表示.

第五节 线性变换的矩阵表示

分布图示

★ 线性变换的矩阵表示式

★ 线性变换在给定基下的矩阵

★ 线性变换与其矩阵的关系

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3

★ 线性变换在不同基下的矩阵 ★ 例4

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题6-5

内容要点

一、线性变换在给定基下的矩阵

定义1 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基,,,,21n ααα 如果这个基在变换T 下的象为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+++=+++=,

)(,)(,)(22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T αααααααααααα 记 )),(,),(),((),,,(2121n n T T T T αααααα = 则上式可表示为

A T n n ),,,(),,,(2121αααααα =，

其中A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 21

2222111211, 那末，则称A 为线性变换T 在基n ααα,,,21 下的矩阵. 显然，矩阵A 由基的象)(,),(),(21n T T T ααα 唯一确定.

二、线性变换与其矩阵的关系

设A 是线性变换T 在基n ααα,,21 ，

下的矩阵，即基n ααα,,,21 在变换T 下的象为 ),,,(21n T ααα =A n ),,,(21ααα ,

结论 在n V 中取定一个基后，由线性变换T 可唯一地确定一个矩阵A ，由一个矩阵A 也可唯一地确定一个线性变换T . 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的.

三、线性变换在不同基下的矩阵

已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理1 设线性空间n V 中取定两个基n ααα,,,21 ；n βββ ,,21，由基n ααα,,,21 到基n βββ ,,21的过渡矩阵为P ，n V 中的线性变换T 在这两个基下的矩阵依次为A 和B ，则

AP P B 1-=.

定理表明：B 与A 相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵P 就是相似变换矩阵. 定义2 线性变换T 的象空间)(n V T 的维数，称为线性变换T 的秩.

结论 (ⅰ) 若A 是T 的矩阵，则T 的秩就是)(A r .

(ⅱ) 若T 的秩为r ，则T 的核r S 的维数为r n -.

例题选讲

线性变换与其矩阵的关系

例1 (E01) 在3][x P 中, 取基1p =3x ,2p =2x ,3p =x ,4p =1,求微分运算D 的矩阵.

解 ,03003002020001100000432124

43213

4321243211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++==+++==+++==+++==p p p p x Dp p p p p x Dp p p p p Dp p p p p Dp 所以D 在这组基下的矩阵为

=A .0000300002000010⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

例2 (E02) 实数域R 上所有一元多项式的集合，记作][x P ,][x P 中次数小于n 的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作n x P ][, 它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成R 上的一个线性空间。在线性空间n x P ][中，定义变换

)())((x f dx

d x f =,n x P x f ][)(∈ 则由导数性质可以证明：σ是n x P ][上的一个线性变换, 这个变换也称为微分变换. 现取n x P ][的基为12,,,1-n x x x ，，则有

0)1(=σ，1)(=x σ，x x 2)(2=σ，…，21)1()(---=n n x n x σ,

因此，σ在基12,,,,1-n x x x 下的矩阵为

A =.0000100002

000010⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛- n

例3 (E03) 在3R 中，T 表示将向量投影到xOy 平面的线性变换，即

→

→→→→+=++j y i x k z j y i x T )(, (1) 取基为→→→k j i ,,，求T 的矩阵；

(2) 取基为→=i α,→=j β,→→→++=k j i γ, 求T 的矩阵.

解 (1) ,0⎪⎪⎩

⎪⎨⎧=== k T j j T i i T 即),,(),,(k j i k j i T =.000010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

(2) ,⎪⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=====βαγββααj i T j T i T 即),,(),,(γβαγβα=T .000110101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 可见: 同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵.

线性变换在不同基下的矩阵

例4 (E04) 设22⨯R 中的线性变换T ，在基α，β下的矩阵为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=2221

1211a a a a A ，求T 在基β, α下的矩阵.

解 ),(αβ),(βα=,0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 即=P ,0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 求得=-1P ,0110⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

于是T 在基αβ,下的矩阵为

B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110011022211211a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011012112221a a a a =.11122122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a

课堂练习

1.已知22⨯R 的两个线性变换

)(X T =XN ，)(X S =MX ，22⨯∈∀R X

其中M =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0201，N =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-1111, 试求S T +在基11E ,12E ,21E ,22E 下的矩阵.