函数的连续性在高等代数中的应用
高等代数知识点总结笔记
高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。
大一高代知识点总结
大一高代知识点总结大一高等代数知识点总结高等代数是大一大学数学课程中重要的一部分，它探索了代数结构的各个方面。
在本篇文章中，我将总结大一高等代数课程中的重要知识点，希望对同学们的学习有所帮助。
1. 集合论：集合是高等代数的基础，它描述了元素的集合和它们之间的关系。
常见的集合运算包括并集、交集和补集等。
2. 映射与函数：映射是将一个集合的元素映射到另一个集合的过程。
函数是一种特殊的映射，它将每个输入值都映射到唯一的输出值上。
函数的定义域、值域、图像以及函数的性质是学习中需要注意的重点。
3. 线性方程组：线性方程组是解决线性关系的重要工具。
高等代数中，我们学习了如何使用消元法、矩阵运算以及向量空间的概念来解决线性方程组。
4. 矩阵与行列式：矩阵是一个二维数组，行列式是矩阵的一个标量。
在高等代数中，我们学习了矩阵的运算规则，包括矩阵的加法、减法、乘法和转置等，同时也了解了行列式的计算方法和性质。
5. 向量空间：向量空间是一种具有加法和数乘运算的集合，它满足一定的运算规则。
我们学习了向量空间的性质，如闭合性、结合律等，并掌握了子空间、线性无关、张成空间等概念。
6. 线性变换：线性变换是一种特殊的函数，它保持向量空间的线性结构。
我们学习了线性变换的表示、特征值与特征向量等概念，并应用于矩阵的对角化和相似变换等问题。
7. 特征值与特征向量：特征值与特征向量是矩阵及线性变换中重要的概念。
它们具有许多重要的性质和应用，如对角化、二次型的正负定性等。
8. 正交性与内积空间：正交性是向量空间中重要的概念，它描述了向量之间的垂直关系。
我们学习了内积的定义和性质，并应用于正交基、正交矩阵和施密特正交化等问题。
9. 特殊矩阵与特殊线性变换：在高等代数中，我们还学习了特殊的矩阵和特殊的线性变换，如对称矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、厄米特矩阵等，它们在许多领域中都有重要的应用。
总结起来，大一高等代数课程中的知识点包括集合论、映射与函数、线性方程组、矩阵与行列式、向量空间、线性变换、特征值与特征向量、正交性与内积空间、特殊矩阵与特殊线性变换等内容。
多元连续函数的零点定理及应用
多元连续函数的零点定理及应用作者：朱灿来源：《文理导航·教育研究与实践》2015年第12期【摘要】本文探讨多元连续函数的零点定理及其在一道线性代数问题中的应用。
在当前通用的数学分析及微积分教材中，多元连续函数的性质都较少涉及。
本文从一道经典的二次型习题出发，讨论多元连续函数的零点定理并讨论在该题中的应用。
试图探讨微积分如何在其他学科中应用，使知识能有效在不同学科之间融会贯通并收到好的教学效果。
【关键词】二次型；连续函数；零点定理连续函数是微积分中讨论的主要对象。
无论一元函数微分学还是多元函数的微分学都是基于连续函数讨论的，积分学则可将条件适当放宽。
在当前通用的数学分析和微积分教材中，对一元连续函数的性质进行了深入细致的介绍，但对于多元连续函数的性质却较少涉及。
本文针对一道经典的二次型习题，结合常用的解法及连续函数性质在这道习题的应用进行探讨，抛砖引玉，希望能和各位同仁交流和讨论。
连续函数零点定理首先我们回顾一元连续函数的零点定理。
定理：设h（x）是闭区间上的连续函数。
若h（a）h（b）我们可以看出，例1中的条件与结论和零点定理中的条件与结论几乎完全一致，唯一不同之处在于零点定理讨论的是一元函数而例1中的二次型是n个变量的连续函数。
零点定理中结论中函数的零点是满足条件a或者将坐标写成x=μx1+（1-μ）x2，y=μy1+（1-μ）y2。
即直线AB上任一点的坐标可由A，B两点的坐标来表达。
这样的构造Rn也是自然成立的。
于是我们有：定理：设是中闭区域上的连续函数。
若存在两点使得，则至少存在一点使得。
证：设的坐标分别为。
我们首先考虑为凸集的情况，即对任意，总有点。
这样的点集实际上就是中连接两点的线段。
构造函数。
g（t）=F（tx1+（1-t）y1，…，txn（1-t）yn）。
则g（t）是闭区间[0，1]上的连续函数且g（0）=F（P2），g（1）=F（P1）。
故g（0）g （1）总结本文探讨了多元连续函数零点定理并进一步讨论其在求解线性代数中一道二次型问题的应用。
《高等数学》第四版课件-学习指导与习题解析
了解常见无穷级数的性质与求和方法，
如几何级数与幂级数。
3
级数应用
探索级数在实际问题中的应用，如泰勒 级数展开与函数逼近。
常微分方程
一阶常微分方程
研究一阶常微分方程的解法与存在唯一性，探索微 分方程在实际问题中的应用。
二阶常系数齐次线性微分方程
学习二阶常系数齐次线性微分方程的解法，包括特 征方程与特解构造。
微积分学基本定理
不定积分 定积分 牛顿-莱布尼茨公式
计算函数的不定积分，包括常用的积分表达式。
介绍定积分的概念与性质，以及计算定积分的方 法。
理解牛顿-莱布尼茨公式的意义与应用，掌握计算 不定积分与定积分的关系。
无穷级数
1
级数收敛性
学习级数的概念与收敛性判定方法，如
常见级数
2
比较判别法与根值判别法。
《高等数学》第四版课件 -学习指导与习题解析
这份课件旨在通过学习指导与习题解析帮助读者理解和掌握《高等数学》第 四版的重要内容。从数学分析基础到线性变换，让我们一起探索数学的奥妙！
数学分析基础
1
实数与函数
介绍实数与函数的概念，探索数轴与集合等基础知识。
2
极限
学习Epsilon-Delta定义与极限的计算方法与性质。
2 基与维数
了解线性空间的基与维数， 及其在矩阵和向量空间中的 应用。
3 线性变换
研究线性变换的定义与性质，包括线性变换的判断与矩阵表示。
矩阵与行列式
矩阵运算
掌握矩阵的加法、乘法及其性质，了解矩阵的转置 与对角化。
行列式
学习行列式的计算方法，如拉普拉斯展开和性质运 算。
向量分析与曲面积分
1
向量的概念与运算
函数的连续性在高等代数中的应用
函数的连续性在高等代数中的应用摘要：数学分析和高等代数是大学数学专业非常重要的基础课程，这两门课程的一些问题如果只是从学科内部出发很难解决，而运用另一门学科的知识解决，问题就变得简单易行.关键词:连续函数；行列式；矩阵；二次型Applications of Continuity of Function in AdvancedAlgebraZhou Yuxia(College of Mathematics and the Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou 730000)Abstract: The mathematical analysis and advanced algebra are very important foundation courses of university mathematics special field,some of the problems of both courses within the discipline, if only from the start are dif-ficult to resolve but used of the knowledge of other disciplines to solve, the problem becomes very easy.Key words: continuous function; matrix; determinant; quadratic form本文记号说明：const: 常数；A T : 矩阵A的转置；A*:矩阵A的伴随矩阵；f(x) C（a,b）:f(x)在（a,b）上连续.一引言数学分析和高等代数都是高等教育中非常重要数学基础课，无论是数学专业的学生还是其他理工科专业的学生，都要学好这两门基础课. 稍微有点区别就是非数学专业开设的是等数学或者微积分和线性代数，但这只是课程名称的变化，具体学习内容都是一样的. 因此，学好这两门课程是学好大学数学课程的关键. 学生应该掌握数学分析和高等代数之间深刻的联系，以便更容易了解、学习、掌握这两门基础课，为以后更深入的学习深造打好扎实基础.本文只探究数学分析在高等代数中的应用，包括利用数学分析中的函数连续性解决某些行列式、矩阵、二次型问题.至于高等代数在数学分析中的应用本文暂不探究.二函数连续性的应用函数的连续性不仅在数学分析学科内部有很重要的地位，在跨学科比如高等代数中也有很重要的作用. 以下简要说明一下数学分析中函数连续性在高等代数中多个方面的应用.1 函数连续性在解决行列式问题中的应用行列式是学生刚接触到大学数学课程后，在高等代数方面遇到的第一个新概念，运用已有知识学习新概念，能使学生更容易理解和掌握. 以下说明函数的连续性在解决行列式问题中的部分应用.例1 设A, B, C, D 都是n 阶矩阵, AC = CA . 若|A|≠ 0, 则A BA D CB CD =-这个命题是 [8]的P203的补充题6，该命题是正确的[2,5,6,7]， 但A ≠这个条件是可以去掉的，此时结论依然成立. 现证明如下： 当|A| = 0时，∃δ = const > 0，对∀ε ∈ (0, δ)，矩 阵A ε=A + εE 可逆，即A ε≠.A ε C = AC + εC = CA + εC = CA ε.从而A BA D CBCDεε=-显而上式等号两端都是关于ε之连续函数，故可在两端同时令ε → 0+ ，即得到A BA D CBCD =- 故结论成立.命 题 (1)F ε∀∈,其中F 是一个数域，对任何方阵A ε=A + εE ，除有限个 值外均为非奇异矩阵.(2)∃δ = const > 0，对∀ε ∈ (0, δ)，A ε=A + εE 均为可逆矩阵.证 (1)A ε 奇异⇔ |A ε| = |A + εE| = |εE − (−A )| =0ε为−A 的特征根. 而矩阵−A 最多有n 个不同的特征根，可见除了有限个ε为−A 的特征根外，A ε为非奇异阵.(2)因为−A 其至多有有限个特征根，记其为λ1 , λ2 , · · · , λn ， 不妨 设λ1 = 0，今设δ 是−A 的非0特征根的绝对值(或模)之 最 小值，则对∀ε ∈ (0, δ)，A ε = A + εE 为非奇异阵.例2 证 明 ：(A * ) * = |A|n-2 A ， 其 中A 是n × n 矩 阵(n > 2) .证 当A 为非奇异矩阵时，由A * = |A|A -1 知(A *) * = |A * |(A * )-1= ||A|A 1- |(|A|A )1-()1111nA AA A---=11nA A A-=2n AA-=当A 为 奇异 矩 阵时 ， 对一 切 充分 小 的ε > 0， 矩 阵Aε =A + εE 为非奇异矩阵，由上述已证结论有，()()*2*n A A A εεε-=.上式矩阵中的每个元素均为ε之连续函数，所以令ε0+→得()*2*n A A A-=例3 设1111,nn nna a a a ∆=A jk 是 a jk 的 代数余子式 ，求证1111,111.1n njk j k j k n n n n n a a x A x y a a x y y ==∆-∑()()()()**⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭Ｔｊｋ１ｎ１ｎｎｎ１１１ｎ１ｎ１ｎｎｎ１ｎ－１－１证 设Ａ＝ａ，Ｘ＝ｘ，，ｘ，Ｙ＝ｙ，，ｙ，ａ ａ ｘ Ａ Ｘ则 ＝．ａ ａ ｘＹ １ｙ ｙ １（１）当Ａ为非奇异矩阵时，Ａ ＸＡ Ｘ ＝Ｙ １０ １－ＹＡＸ ＝Ａ１－ＹＡＸＡ ＝Ａ１－ＹＸＡ ＝Ａ－ＹＡＸ＝Ａ－Ａ∑ｎｊｋｊｋｊｋ＝１ｘｙ．εεεδεδε∃∀∈∑ｎｊｋｊｋｊｋ＝１（２）当Ａ为奇异矩阵时，根据命题１知，＝ｃｏｎｓｔ＞０，使得对（０，），有Ａ＝Ａ＋Ｅ为非奇异矩阵，则Ａ Ｘ ＝Ａ－Ａｘｙ，Ｙ １故结论得证．εε→∑＋ｎｊｋｊｋｊ，ｋ＝１显而上式两端均为的连续函数，故可以在两端同时令０，得Ａ Ｘ ＝Ａ－Ａｘｙ，Ｙ １故结论得证．≠⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑１１１２１ｎ２１２２ ２ｎｎ１ｎ２ｎｎｊｊｊｋｋｊ例４ 设实数域上的矩阵ａ ａ ａａ ａ ａ Ａ＝ ａ ａ ａ 满足ａ＞ａ，则ｄｅｔＡ＞０．证 （1）先证detA ≠0.121212=1=(,,,),(k=1,2,,n)A ,,,,,,,=0.T k k k nk n nn k k k l l l l αααααααα∑设为矩阵的列向量组，假设线性相关，则存在一组不全为零的数使{}ααααα≠≠≠≠≠≤≤≠∈∑∑∑∑１２ｎｊｊｋｋｋｊｊｊｋｋｊｋｊｊｊｋｊｊｊｋｊｋｋｊｋｊｊ１２ｎ１１１２ 证（１）先证ｄｅｔＡ０． 令ｌ＝ｍａｘｌ，ｌ，，ｌ＞０，不妨设ｌ＝ｌ，则＝ｌｌ（－），特别地对于第ｊ个分量有ａ＝（－）ａ，ｌｌｌ故ａ－ａａ，与假设矛盾，假设不成ｌ立，即，，，线性无关，故ｄｅｔＡ０． （２）下证ｄｅｔＡ＞０． 设ｔ［０，１］，令ａ ａｔ Ｗ（ｔ）＝≠≠∀∈≥∀∈≠∃∈∑∑∏１ｎ１２２２２ｎｎ１ｎ２ｎｎｊｊｊｋｊｋｋｊｋｊｎｊｊｊ＝１０ ａｔａｔ ａ ａｔ ａｔ ａｔ ａｔ［０，１］，Ｗ（ｔ）都有ａ＞ａａｔ，由（１）得到ｔ［０，１］，Ｗ（ｔ）０． 由行列式定义可知，Ｗ（ｔ）是［０，１］上的多项式函数，故Ｗ（ｔ）在［０，１］上连续，且Ｗ（０）＝ａ＞０． 假设Ｗ（１）＝ｄｅｔＡ＜０，则由闭区间上连续函数的性质，ｔ（００，１）ｓ．ｔ．Ｗ（ｔ）＝０，矛盾，故假设不成立，即ｄｅｔＡ＞０．2 函数连续性在解决普通矩阵问题中的应用对于某些纯矩阵问题，用代数方法解决很复杂，但利用数学分析中连续函数的思想和方法，则显得容易许多. B*A 例5 *. 若A 与B 为同阶矩阵,A *为A 的伴随矩阵，则(AB )[2,5]*=证当A 与B 均为非奇异阵时，则结论显然成立 .以下证明当至少有一个为奇异阵时，上述结论依然成立.由 命 题 1 可 知 ，∃ δ = const > 0, ∀ ε ∈ (0,δ), A ε=A+ε E,B ε = B +ε E 为非奇异矩阵，故由上述结论可知A ?B B A=由上述等式两边均为ε之连续函数，故可对上式两边同时令ε→0 ，即得到(AB)* = B *A *.故命题得证.3 函数连续性在解决特征多项式问题中的应用函数的连续性在求解矩阵的特征多项式的过程中也有简化计算过程等的长处.例6 若A, B均为同阶方阵，则AB 与B A特征多项式相同.证当A为非奇异矩阵时，AB∼ BA，故其特征多项式相同[2,5,8] .当A为奇异阵时，根据命题 1 知∃δ = const > 0, s.t.∀ε∈(0, δ)，矩阵Aε = A + εE 为非奇异阵，从而由上述结论可知|λE − AεB| = |λE − B Aε|.由于上式等号两边均为ε之连续函数，故可对上式两边同时令ε→0 ，即得到 |λE − AB| = |λE − B A| 故命题得证.n−m本例结果实际上还可以推广到“若A, B 分别是n×m和m×n矩阵，λ 0，则|λEn− AB| = λ|λEm− BA|[2,5,8] ”.此处暂不探究.4 函数连续型在解决二次型问题中的应用二次型的判定和计算是大学期间数学学习的重点和难点，很多的问题光用代数方法解决是很难解决的，但反过来用数学分析的知识和观点解决之，能使学生更容易理解和掌握.11111110-7.(x ,,x )=-.n nn n n nnx x x a a f x a a 例是一个二次型10(),=(x ,,x ),f(X)=.T Tjk n n n X A a X XA⨯=-证：设则11(1)0(X)=()*T T T A X A X A X A X X A XXA--==-当为非奇异矩阵时，由f*(2)A 1=>,.t.(0,),A 0(X)=,T T A E X X A X XA εεεδεδε∃∀∈=+=-当为奇异矩阵时，根据命题可知，const 0s 有为非奇异矩阵，根据上述结论，得到f+*0(X)=X .T f A X εε→而上式等号两端均为之连续函数，故可以在上式两端同时令，则得到故命题得证.例8 若A 为m 阶半正定矩阵，则A 的伴随矩阵A *也半正定.1*1**0+0=,.,()=x n T A A E A A A A A A f A Xεεεεεεεεεεε--∀∈∞=+>∀∈ℜ证：由于为半正定矩阵，故（，），A 均为正定矩阵，从而，为正定矩阵，故也为正定矩阵x 令+*0[0,+),(0,+),f()>0.(0)=lim ()0,x 0,x 0,A .T f f A x εεεε→∈∞∀∈∞≥∀≠≥则且由连续函数的保号性定理可知f 即有即半正定三结束语由以上讨论可知高等代数与数学分析虽然是数学的不同分支，但是二者之间在解决问题上往往相互渗透，彼此相通.用数学分析的思想方法解决某些高等代数问题，解决得非常巧妙简洁明了.高等代数的思想方法在用于解决数学分析问题的时候，同样能得到类似的效果，此处不再一一叙述. 故在学习过程中把握好高等代数与数学分析之间的联系，留心不同分支之间的交融性，有助于培养融合知识的能力，进而达到培养学生创新思维能力的效果.参考文献[1] 王莲花, 鞠红梅, 李战国. 数学分析在高等代数中的某些应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2008, 17(3):15-18[2] 唐亚楠. 高等代数同步辅导及习题全解[M]. 徐州:中国矿业大学出版社,2006[3] 姚云飞, 姚磊. 关于数学分析在线性代数中某些应用的札记[J]. 大学数学, 2005, 21(6):108-112[4] 刘敏, 储亚伟. 分析与代数内通性的几个简单应用[J]. 阜阳师范学院学报(自然科学版), 2005, 22(1):77-79[5] 徐仲, 陆全, 张凯院, 吕全义, 陈芳, 袁志杰. 高等代数(北大·第三版)导教·导学·导考[M]. 西安:西北工业大学出版社, 2004[6] 李师正, 张玉芳, 李桂荣, 高玉玲. 高等代数问题解决方法与技巧[M].北京:高等教育出版社, 2004[7] 刘丁西. 高等代数习题精解[M]. 合肥：中国科学技术大学出版社, 2004[8] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编, 王萼芳, 石生明修订.高等代数(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2003。
高等数学公式定理(全)
高等数学公式·平方关系：s i n^2(α)+c o s^2(α)=1 t a n^2(α)+1=s e c^2(α)c o t^2(α)+1=c s c^2(α)·积的关系：s i nα=t a nα*c o sαc o sα=c o tα*s i nαt a nα=s i nα*s e cαc o tα=c o sα*c s cαs e cα=t a nα*c s cαc s cα=s e cα*c o tα·倒数关系：t a nα·c o tα=1s i nα·c s cα=1c o sα·s e cα=1直角三角形A B C中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：c o s(α+β)=c o sα·c o sβ-s i nα·s i nβc o s(α-β)=c o sα·c o sβ+s i nα·s i nβs i n(α±β)=s i nα·c o sβ±c o sα·s i nβt a n(α+β)=(t a nα+t a n β)/(1-t a nα·t a nβ)t a n(α-β)=(t a nα-t a n β)/(1+t a nα·t a nβ)·三角和的三角函数：s i n(α+β+γ)=s i nα·c o s β·c o sγ+c o sα·s i nβ·c o s γ+c o sα·c o sβ·s i nγ-s i n α·s i nβ·s i nγc o s(α+β+γ)=c o sα·c o sβ·c o sγ-c o sα·s i nβ·s i nγ-s i nα·c o sβ·s i nγ-s i nα·s i nβ·c o sγt a n(α+β+γ)=(t a nα+t a nβ+t a nγ-t a nα·t a nβ·t a nγ)/(1-t a nα·t a nβ-t a nβ·t a nγ-t a nγ·t a nα)·辅助角公式：A s i nα+B c o sα=(A^2+B^2)^(1/2)s i n(α+t)，其中s i n t=B/(A^2+B^2)^(1/2) c o s t=A/(A^2+B^2)^(1/2) t a n t=B/AA s i nα+B c o sα=(A^2+B^2)^(1/2)c o s(α-t)，t a n t=A/B·倍角公式：s i n(2α)=2s i nα·c o sα=2/(t a nα+c o tα)c o s(2α)=c o s^2(α)-s i n^2(α)= 2c o s^2(α)-1=1-2s i n^2(α)t a n(2α)=2t a nα/[1-t a n^2(α)]·三倍角公式：s i n(3α)=3s i nα-4s i n^3(α)c o s(3α)=4c o s^3(α)-3c o sα·半角公式：s i n(α/2)=±√((1-c o sα)/2)c o s(α/2)=±√((1+c o sα)/2)t a n(α/2)=±√((1-c o sα)/(1+c o sα))=s i nα/(1+c o sα)=(1-c o sα)/s i nα·降幂公式s i n^2(α)=(1-c o s(2α))/2=v e r s i n(2α)/2c o s^2(α)=(1+c o s(2α))/2=c o v e r s(2α)/2t a n^2(α)=(1-c o s(2α))/(1+c o s(2α))·万能公式：s i nα=2t a n(α/2)/[1+t a n^2(α/2)]c o sα=[1-t a n^2(α/2)]/[1+t a n^2(α/2)] t a nα=2t a n(α/2)/[1-t a n^2(α/2)]·积化和差公式：s i nα·c o sβ=(1/2)[s i n(α+β)+s i n(α-β)]c o sα·s i nβ=(1/2)[s i n(α+β)-s i n(α-β)]c o sα·c o sβ=(1/2)[c o s(α+β)+c o s(α-β)]s i nα·s i nβ=-(1/2)[c o s(α+β)-c o s(α-β)]·和差化积公式：s i nα+s i nβ=2s i n[(α+β)/2]c o s[(α-β)/2]s i nα-s i nβ=2c o s[(α+β)/2]s i n[(α-β)/2]c o sα+c o sβ=2c o s[(α+β)/2]c o s[(α-β)/2]c o sα-c o sβ=-2s i n[(α+β)/2]s i n[(α-β)/2]·推导公式t a nα+c o tα=2/s i n2αt a nα-c o tα=-2c o t2α1+c o s2α=2c o s^2α1-c o s2α=2s i n^2α1+s i nα=(s i nα/2+c o sα/2)^2·其他：s i nα+s i n(α+2π/n)+s i n(α+2π*2/n)+s i n(α+2π*3/n)+……+s i n[α+2π*(n-1)/n]=0c o sα+c o s(α+2π/n)+c o s(α+2π*2/n)+c o s(α+2π*3/n)+……+c o s[α+2π*(n-1)/n]=0以及s i n^2(α)+s i n^2(α-2π/3)+s i n^2(α+2π/3)=3/2 t a n A t a n B t a n(A+B)+t a n A +t a n B-t a n(A+B)=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n（2kπ＋α）＝s i nαc o s（2kπ＋α）＝c o sαt a n（2kπ＋α）＝t a nαc o t（2kπ＋α）＝c o tα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n（π＋α）＝－s i nαc o s（π＋α）＝－c o sαt a n（π＋α）＝t a nαc o t（π＋α）＝c o tα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：s i n（－α）＝－s i nαc o s（－α）＝c o sαt a n（－α）＝－t a nαc o t（－α）＝－c o tα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：s i n（π－α）＝s i nαc o s（π－α）＝－c o sαt a n（π－α）＝－t a nαc o t（π－α）＝－c o tα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：s i n（2π－α）＝－s i nαc o s（2π－α）＝c o sαt a n（2π－α）＝－t a nαc o t（2π－α）＝－c o tα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：s i n（π/2＋α）＝c o sαc o s（π/2＋α）＝－s i nαt a n（π/2＋α）＝－c o tαc o t（π/2＋α）＝－t a nαs i n（π/2－α）＝c o sαc o s（π/2－α）＝s i nαt a n（π/2－α）＝c o tαc o t（π/2－α）＝t a nαs i n（3π/2＋α）＝－c o sαc o s（3π/2＋α）＝s i nαt a n（3π/2＋α）＝－c o tαc o t（3π/2＋α）＝－t a nαs i n（3π/2－α）＝－c o sαc o s（3π/2－α）＝－s i nαt a n（3π/2－α）＝c o tαc o t（3π/2－α）＝t a nα(以上k∈Z)部分高等内容[编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：s i n x=[e^(i x)-e^(-i x)]/(2i)c o s x=[e^(i x)+e^(-i x)]/2t a n x=[e^(i x)-e^(-i x)]/[i e^(i x)+i e^(-i x)]泰勒展开有无穷级数，e^z=e x p(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
探讨数学分析中求极限的方法x
探讨数学分析中求极限的方法摘要：极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念 ,极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具 ,因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法 ,对学好高等数学是十分重要的。
极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法。
本文详细介绍了一些典型的极限计算方法 ,给出解题思路及相应技巧 ,并辅以典型的例题 ,最后还强调了求极限时的注意事项。
关键词：极限；类型；方法。
一、 利用函数连续性求极限由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区内任意点处的极限值，就是求其函数在该点处的函数值。
由函数)(x f y =在x 0 点连续定义知，)()(lim 00x f x f x x =→。
例1 求)52(lim 22-+→x x x . 解 ∵52)(2-+=x x x f 是初等函数，在其定义域（全体实数）内连续∴所以用代入法求出该点的函数值就可。
即原式=2⨯2＋2⨯2－5=3 例2 求632lim 220++-→x x x x . 解 由于632)(22++-=x x x x f 在x=0处连续 所以2163632lim 220==++-→x x x x 例3 求1352lim 22+-+→x x x x分析 由于552225lim lim lim 2)52(lim 2222222=-+⨯=-+=-+→→→→x x x x x x x x 71231lim lim 3)13(lim 222=+⨯=+=+→→→x x x x x所以采用直接代入法解 原式=751235222)13(lim )52(lim 2222=+⨯-+⨯=+-+→→x x x x x二、利用无穷小的性质求极限我们知道无穷小的性质有：性质1：有限个有界函数与无穷小的乘积为无穷。
性质2：在自变量同一变化的过程中无穷大量的倒数为无穷小。
大三必修数学知识点
大三必修数学知识点数学作为一门基础学科，在大学阶段占据着重要的地位。
尤其对于理工科学生来说，大三是他们进一步深化和拓展数学知识的时期。
本文将介绍大三必修数学知识点，帮助同学们在学习中更好地掌握这些关键内容。
1. 高等代数知识点1.1 矩阵论：介绍矩阵的基本概念、运算和性质，矩阵的相似、对角化和特征值问题等。
1.2 线性方程组：研究线性方程组的解的存在唯一性、矩阵的秩和逆的性质。
1.3 特征值与特征向量：深入理解特征值与特征向量的概念及其在线性代数中的应用。
1.4 幂零矩阵和可逆矩阵：学习幂零矩阵和可逆矩阵的定义、性质及其在矩阵论中的重要性。
2. 微积分知识点2.1 多元函数微分学：学习多元函数的偏导数、全微分、最值及其在几何和物理问题中的应用。
2.2 多元函数积分学：研究重积分、曲线积分和曲面积分的计算方法和应用。
2.3 级数与序列：掌握级数与序列的收敛性、数值判别法和级数收敛的应用。
2.4 常微分方程：学习一阶和二阶常微分方程的解法和一些特殊问题的求解。
3. 概率论与数理统计知识点3.1 随机变量：研究随机变量的概念、分布函数、概率密度函数及其性质。
3.2 大数定律与中心极限定理：理解大数定律和中心极限定理及其在实际问题中的应用。
3.3 参数估计与假设检验：学习参数估计的方法和假设检验的原理与步骤。
3.4 相关与回归分析：掌握相关与回归分析的基本概念、方法和模型。
4. 数学分析知识点4.1 数列与级数：研究数列和级数的性质、收敛性和发散性。
4.2 一元函数的极限和连续性：学习一元函数的极限概念、连续性和中值定理等。
4.3 导数与微分：深入理解导数和微分的概念、性质和计算方法。
4.4 不定积分与定积分：掌握不定积分和定积分的计算方法和应用。
总结：大三必修的数学知识点涵盖了高等代数、微积分、概率论与数理统计以及数学分析等方面。
掌握这些知识点对于理工科学生来说至关重要，不仅可以为他们的专业课提供必要的数学基础，还为他们未来的学习和研究奠定了坚实的数学基础。
(整理)函数连续性在矩阵分析中的应用
函数连续性在矩阵分析中的应用在数学分析的学习中知道，函数的连续性具有非常好的特性，比如局部有界性，介值性等，这使得很多问题在函数连续的基础上可以变得简单，那么函数连续性在高等代数中是否也有同样的好处，可以将问题简单化呢？类似于矩阵特征多项式和含字母矩阵的k 阶主子式等这样一类都是关于参数的多项式，而多项式为一连续函数，因此函数的连续性可以应用在矩阵中，从而引发了对函数连续性在矩阵的各方面的应用，比如：在伴随矩阵，矩阵的正定性以及矩阵对应行列式的计算等各方面的应用。
一、预 备 知 识定义[]61、函数在一点连续的定义：若函数()f x 在0x 的邻域包含0x 本身有定义，并且()()00lim x x f x f x →=，我们就称()f x 在点0x 连续。
定义[]62、函数()f x 在某一区间内有定义：若函数()f x 在开区间)(,a b 内每一点都连续，也就是说对)(,a b 内任何一点0x 皆成立()()00lim x x f x f x →=，则称()f x 在)(,a b 内连续，对闭区间],a b ⎡⎣来说，()f x 在],a b ⎡⎣上连续的定义是指：()f x 在)(,a b 内连续，同时有()()0f a f a +=，()()0f b f b -=，则称()f x 在],a b ⎡⎣内连续。
引理[]51、由初等函数的连续性知，多项式()1110...n n n n f x a x a x a x a --=++++在)(,-∞+∞上为连续函数。
定理[]51、（代数基本定理）任意一个n 次复系数多项式一定有n 个复数根， 其中n>1.定理[]52、设()f x 是任意一个n 次复系数多项式，n>0，则()f x 恰有n 个复数根12,,,...,n c c c ，而且()()()()012...n f x a x c x c x c =---，其中0a 是()f x 的首项系数。
高等代数中的数学分析方法
高等代数中的数学分析方法作者：游晋峰来源：《文理导航》2013年第20期【摘要】高等代数与数学分析在理论、具体问题、解题思路及处理方法上都是不同的，但两者在一些方面又有着密切联系。
本文通过实例对高等代数在通过数学分析中的应用进行分析探讨，从而引出两门专业基础课程有关问题的互通与融合，相互密切的关联。
【关键词】高等代数；数学分析高等代数与数学分析是高等数学专业课程中重要的基础课程，高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，包括很多分支。
现在大学里开设的高等代数一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。
高等代数主要研究多项式、矩阵、二次型、线性变换等，而数学分析一般指用微积分学和无穷级数一般理论为主，主要研究函数的连续性、极限、微积分、技术等。
两门课程内容及思路都不同，但却有密切联系，教师需要注意到不同课程中的区别与联系，指导学生充分理解并灵活运用知识。
一、高等代数方法应用于数学分析极限二、奇异矩阵的正则化在有些数学分析问题上，解题过程中，运用高等代数中的有关方法来处理，通过结合两者互通点，在解题上通常会使问题简单化。
两门专业课结合，使高等数学知识结构更加完善，学生在知识掌握方面才更加牢固。
【参考文献】[1]王莲花，鞠红梅，李战国.数学分析在高等代数中的某些应用[J].河南教育学院学报，2008年03期.[2]凌征球，龚国勇，龚文振.高等代数在数学分析解题中的某些应用[J].高等代数在数学分析解题中的某些应用，2010年05期.[3]董立华，周小双.数学分析与高等代数有关问题和方法的相互渗透[J].榆林学院学报，2011年06期.[4]周克元.高等代数中的数学分析方法[J].甘肃联合大学学报，2011年02期.（作者单位：晋中师范高等专科学校）。
高等代数数学分析
高等代数数学分析高等代数是数学中的一个分支，研究的是代数结构、代数运算等概念及其之间的关系。
数学分析则是数学中的另一个重要分支，重点研究的是极限、连续、微分、积分等概念及其之间的关系。
高等代数主要包括线性代数和抽象代数两个方面。
线性代数研究的是线性空间、线性变换、矩阵、向量空间等。
在这一领域中，我们会接触到对矩阵进行运算的方法，如矩阵的加法、减法、乘法以及逆矩阵的求解等。
线性代数在现代科学与工程领域有着广泛的应用，比如在计算机图形学、机器学习、信号处理等领域都会使用到线性代数的知识。
抽象代数则更加抽象和一般化，研究的是一般的代数结构以及它们之间的映射。
通过对代数结构的抽象和一般化，我们可以研究一类代数结构的共性和特征，得到更深入和广泛的结论。
抽象代数包括了群论、环论、域论等内容，这些理论在数学的其他分支中也有广泛的应用，如数论、拓扑学等。
数学分析则是研究极限、连续、微分、积分等概念及其之间的关系。
这个领域的研究主要涉及到函数的性质与行为。
在数学分析中，我们会学习到极限的概念，即随着自变量趋向于其中一点时函数值的趋势；连续的概念，即函数在其中一点上没有跳跃或断裂；微分的概念，即函数的变化率；以及积分的概念，即计算曲线下的面积。
数学分析是数学的基础，也是其他许多高级数学领域的基础。
在实际应用中，数学分析有许多重要的应用，如物理学中的运动学与动力学、经济学中的边际分析与最优化、工程学中的信号处理与控制等。
因此，熟练的数学分析技巧对于数学及其应用科学的学习都是非常重要的。
总之，高等代数和数学分析是数学中两个重要的分支。
高等代数研究的是代数结构和代数运算等，数学分析则更侧重于极限、连续、微分、积分等概念。
这两个领域的知识和技术在实际应用中有着广泛的应用价值，对于深入理解和应用数学都是非常重要的。
高等代数II
高等代数II高等代数II是一门高等数学课程，主要研究线性代数、群论和域论等高级代数学的理论和应用。
本文主要介绍高等代数II 中的一些重要概念、定理和应用。
一、线性代数线性代数是高等数学的重要分支，主要研究向量空间、线性变换、特征值与特征向量、正交变换等概念与理论。
这些概念和理论在数学、物理、工程等领域中应用广泛。
下面重点介绍线性代数中的一些重要概念和定理。
1. 向量空间向量空间是一个包含向量加法和标量乘法的集合，满足一些基本的性质，例如加法结合律、交换律、存在零向量，标量乘法分配律、结合律等。
常见的向量空间有欧几里得空间、函数空间、矩阵空间等。
向量空间的基本性质使其能被用来描述几何对象和物理现象。
2. 线性变换线性变换是一种保持向量空间中加法和标量乘法的映射，即对任意向量 $v_1,v_2$ 和标量 $a$，满足$T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$ 和 $T(av)=aT(v)$。
线性变换可以用矩阵来表示，并且矩阵的乘法也是一种线性变换。
线性变换的研究在于寻找其特征值和特征向量，从而可以得到一些重要的性质和应用。
3. 特征值和特征向量在线性代数中，线性变换 $T$ 的特征向量 $v$ 是指在 $T$ 作用下仍保持方向不变的非零向量，即 $T(v)=\lambda v$，其中$\lambda$ 是系数，称为特征值。
一些基本性质表明，每个线性变换都有至少一个特征值和对应的特征向量。
4. 正交变换正交变换是一种保持向量点乘和长度不变的线性变换，即$T(v_1)\cdot T(v_2)=v_1\cdot v_2$ 和 $||T(v)||=||v||$。
常见的正交变换有旋转和镜像变换。
正交变换的特殊性质使其在几何学中应用广泛，例如可以用来计算内积、夹角、曲率等。
二、群论群论是一种研究代数系统的分支学科，主要研究群的结构、子群、同态、同构和群作用等概念和理论。
群是一个集合和映射的组合，满足一些基本的性质，例如结合律、单位元、逆元等。
理学考研知识点归纳总结
理学考研知识点归纳总结一、数学分析1. 实数和复数实数是所有有理数和无理数的集合，有理数是可以表示为两个整数的比值的数，无理数是不能用分数表示的数。
复数是由实部和虚部组成的数，实部是实数，虚部是实部和虚部的实数单位。
2. 极限函数 f(x) 的极限是当 x 趋近于 a 时，f(x) 的取值趋近于某个常数 L，记为lim(x→a)f(x)=L。
极限存在的条件是当 x 趋近于 a 时，左极限和右极限相等。
3. 连续性函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，是指 f(x)在 [a, b] 上有定义，并且在 (a, b) 内连续。
4. 导数函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，是指函数 f(x) 在点 x0 处存在左导数和右导数，并且左导数等于右导数。
5. 不定积分函数 f(x) 的不定积分是指所有的原函数，记为 F(x)+C，其中 C 为常数。
6. 定积分函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分是指 f(x) 在 [a, b] 上的积分值。
7. 泰勒展开函数 f(x) 在 x=a 处的泰勒展开式是指 f(x) 在 x=a 处的无穷阶导数所组成的级数。
8. 级数级数是指无穷多个数的和，级数收敛的条件是当 n 趋近于无穷大时，级数前 n 项的和有极限。
9. 偏微分方程偏微分方程是方程中包含了多个自变量的导数，解偏微分方程的方法包括变量分离法、特征线法、分离变量法等。
10. 线性代数线性代数是研究向量、矩阵、线性方程组的代数学分支，主要内容包括线性方程组的解法、矩阵的运算和特征值分解等。
二、高等代数1. 群、环、域群是指满足封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构，环是指满足加法封闭性、乘法封闭性、分配律和单位元的代数结构，域是指满足加法封闭性、乘法封闭性、分配律、加法逆元和乘法逆元的代数结构。
2. 向量空间向量空间是指由一组向量构成的集合，满足向量加法封闭性、数乘封闭性、加法交换律、加法结合律等性质。
初试科目考试大纲-904数学分析与高等代数
浙江师范大学硕士研究生入学考试初试科目考试大纲科目代码、名称: 904数学分析与高等代数适用专业: 420104学科教学（数学）一、考试形式与试卷结构（一）试卷满分及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
（二）答题方式答题方式为闭卷、笔试。
试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸相应的位置上；答题纸一般由考点提供。
（三）试卷内容结构各部分内容所占分值为：数学分析约100分高等代数约50分（四）试卷题型结构计算题：7大题，约100分。
分析论述题：3大题，约50分。
二、考查目标（复习要求）全日制攻读教育硕士专业学位入学考试数学分析与高等代数考试内容包括数学分析、高等代数二门数学学科基础课程，要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，理解数学分析和高等代数中反映出的数学思想与方法，并能运用相关理论和方法分析、解决具有一定实际背景的数学问题。
三、考查范围或考试内容概要第一部分：数学分析考查内容1、数列极限数列极限概念、收敛数列的定理、数列极限存在的条件2、函数极限函数极限概念、函数极限的定理、两个重要极限、无穷大量与无穷小量3、函数的连续性连续性概念、连续函数的性质4、导数与微分导数的概念、求导法则、微分、高阶导数与高阶微分5、中值定理与导数应用微分学基本定理、函数的单调性与极值6、不定积分不定积分概念与基本积分公式、换元法积分法与分部积分法7、定积分定积分概念、可积条件、定积分的性质、定积分的计算8、定积分的应用平面图形的面积、旋转体的侧面积9、级数正项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数10、多元函数微分学偏导数与全微分、复合函数微分法、高阶偏导数与高阶全微分、泰勒公式与极值问题第二部分：高等代数考查内容多项式、行列式、线性方向组、矩阵、线性空间、线性变换参考教材或主要参考书：华东师范大学编：《数学分析》（上、下），高等教育出版社，2001年，第三版。
北京大学编：《高等代数》，高等教育出版社，2003年，第三版。
浅谈高等数学中几种求极限的方法
浅谈高等数学中几种求极限的方法作者：卢凤萍来源：《课程教育研究·上》2014年第09期【摘要】极限是微积分中的一条主线，是学好微积分的重要前提条件。
而此问题一般来说比较困难，要根据具体情况进行具体分析和处理，方法很多比较凌乱。
故本文总结了《高等数学》中求极限的方法，主要列举了几种常用的求极限方法：1.由定义求极限；2.利用函数的连续性求极限；3.利用两边夹定理求极限；4.利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限；5.利用两个重要极限求极限；6.利用单调有界原理求极限；7.利用洛必达法则求极限；8.利用等价无穷小代换求极限；9.利用泰勒展式求极限；10.利用级数收敛的必要条件求极限。
并通过例题解析了这些方法的使用技巧。
【关键词】高等数学极限求法【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0146-02极限是微积分的一个重要概念，是贯穿微积分的一条主线，极限的计算又是学好微积分的重要前提条件。
正因为数学之美妙不可言，数学中解题方法的多样性更是引人入胜，许多人都在探索着高等代数中求极限的方法并有所成效。
在前人的基础之上我对求极限的方法作了进一步的归纳总结，希望能让读者从中受益，能让初学者懂得将静态的、内隐的教学规律转化为动态的、外显的探索性的数学活动，从而对数学学习的认知发生一个“质”的飞跃。
一、由定义求极限极限的本质——既是无限的过程，又有确定的结果。
一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。
然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限性，不适合比较复杂的题。
二、利用函数的连续性求极限此方法简单易行但不适合于f（x）在其定义区间内是不连续的函数，及f（x）在x0处无定义的情况。
三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。
大学数学高等代数和数学分析
大学数学高等代数和数学分析数学，作为一门精确而又深奥的学科，具有广泛的应用和重要的理论意义。
在大学数学课程中，数学高等代数和数学分析是两门重要的基础课程，为学生打下坚实的数学基础，并为之后的学习和研究打开了一扇门窗。
本文将对大学数学高等代数和数学分析这两门课程进行简要介绍。
一、数学高等代数数学高等代数是数学的一部分，主要研究抽象代数的基础和方法，包括线性代数、群论、环论、域论等内容。
在数学高等代数课程中，学生们将钻研矩阵、行列式、向量空间、线性变换等基础概念，掌握线性方程组、特征值与特征向量等重要理论，并学习抽象代数的基本原理和方法。
数学高等代数不仅培养了学生的逻辑思维和抽象思维能力，还为之后深入研究数学和其他相关学科打下了坚实的基础。
通过学习数学高等代数，学生们能够深入了解数学的本质和抽象结构，从而更好地理解和应用数学知识。
二、数学分析数学分析是数学的核心内容，主要研究函数的性质、极限、连续性、导数和积分等。
在数学分析课程中，学生们将学习数列与级数、极限与连续、导数与微分、积分与积分学等内容，深入探究各种函数的性质和变化规律。
数学分析是一门基础而又重要的数学课程，它不仅帮助学生们理解和应用数学，还培养了他们的逻辑思维和问题解决能力。
通过学习数学分析，学生们能够掌握数学分析的基本方法和技巧，为之后的学习和研究打下坚实的基础。
三、数学高等代数与数学分析的联系数学高等代数和数学分析虽然是两门不同的课程，但它们之间存在着密切的联系。
在数学高等代数中，学生们将学习到向量空间、线性变换等概念和理论，这些内容在数学分析中有着广泛的应用。
例如，在微积分中，学生们需要用到线性代数中的矩阵和行列式来解决问题；在函数的极限和连续性研究中，也需要借助线性代数中的向量和空间概念。
此外，数学高等代数还为数学分析的深入研究提供了基础。
通过数学高等代数的学习，学生们能够更好地理解和应用数学分析中的各种概念和理论，为深入探究数学的更高层次打下坚实的基础。
数学2考研知识点总结
数学2考研知识点总结一、高等代数1. 行列式与矩阵行列式的性质及按行列式的公式进行展开；矩阵的定义及运算，包括矩阵的相加、相乘及转置等；线性方程组的解法。
2. 线性空间向量空间的概念及相关性质；线性相关性与线性无关性；基及维数的概念及相关定理。
3. 矩阵的相似性矩阵的相似对角化及其条件。
4. 线性变换线性变换的定义及相关性质；线性变换的矩阵表示及标准形。
5. 对称矩阵对称矩阵及正定性的判定。
6. 二次型二次型的概念及标准化处理。
二、数学分析1. 常数列常数列的极限概念及相关性质；常数列的收敛性判定。
2. 函数的极限函数的极限定义及性质；函数极限的计算方法。
3. 连续性函数的连续性概念及相关定理；连续函数的性质及在区间上的应用。
4. 导数与微分函数的导数概念及计算方法；函数的微分及相关定理；隐函数与参数方程的导数计算方法。
5. 泰勒公式函数在一点的泰勒公式及泰勒展开式；几种常见函数的泰勒公式。
6. 不定积分不定积分的概念及性质；基本积分法及常用积分公式。
7. 定积分定积分的概念及性质；定积分的计算方法及应用。
8. 罗尔定理罗尔定理的定义及应用；拉格朗日中值定理及柯西中值定理。
9. 序列与级数数列的极限概念及收敛性判定；级数的概念及收敛性判定；常见的级数收敛判别法。
10. 常微分方程常微分方程的概念及基本概念；一阶线性微分方程的解法；二阶线性常系数齐次微分方程的解法。
三、复变函数1. 复数及其运算复数的概念及相关性质；复数的几何表示及共轭复数。
2. 复函数复函数的概念及性质；复函数的导数及柯西—黎曼方程。
3. 复积分复函数的积分及柯西—黎曼积分定理；积分路径无关的条件。
4. 留数定理留数定理的定义及应用；留数定理在复积分中的应用。
四、概率统计1. 概率基本概念随机试验、样本点、基本事件等概念；概率的定义及性质。
2. 随机变量随机变量的概念及相关性质；离散型随机变量及其分布律；连续型随机变量及其概率密度函数。
云南大学2003--2019年数学分析、高等代数考研真题
学 七、（20
分）设
u
=
x
3f
(xy,
y x
),
其中
f
具有连续的二阶偏导数，求
∂u ∂x
,
∂u ∂y
,
∂2u ∂y 2
,
∂2u ∂x∂y
八、（15 分）设 x i > 0(i = 1,2,Λ , n), 且 x1 + x 2 + Λ + x n = a, 求函数 u = n x1x 2 Λ x n
的最大值，并证明不等式 n
复数域上把它化为规范型，并写出相应的可逆线性变换.
七、（10 分）设 A 为半正定矩阵，证明：对任意正实数 ,E A 为正定矩阵.
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2004 年云南大学硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：《数学分析》
其中 s 是上半球面 z R 2 x 2 y2 的下侧。
六、（20
分）设
A
-
5 4
56
（1）求 A 的特征值，特征向量。
（2）试求使 C1AC为对角矩阵的C，求A 2（n n为正整数）。
七、（20 分）设 A，B，C，D Pnn，若A：X AXB CX XD，X Pnn ,
证明：（1）A为Pnn的线性变换,。（2）当C D 0时，A，B可逆 A可逆 。
x tan x
2
x = 3t 2 + 2t + 3
四、（15
分）设
y=y(x)是由方程组
数学专业数学与计算机专业数学比较
数学专业数学与计算机专业数学比较在当今的学术领域和实际应用中，数学专业和计算机专业都与数学有着紧密的联系。
然而，这两个专业中的数学却存在着一些显著的差异。
数学专业的数学，更侧重于理论的深度和完整性。
它追求的是对数学概念、定理和证明的纯粹理解和探索。
从基础的数学分析、高等代数，到抽象代数、拓扑学等课程，数学专业的学生逐渐深入到数学的核心领域。
以数学分析为例，这门课程要求学生对极限、连续、微分、积分等概念有深刻的理解。
不仅要掌握计算方法，更要从理论层面去证明各种定理和性质。
比如，对于函数的连续性，数学专业的学生会深入研究其定义和性质，通过严格的逻辑推理去证明相关的定理，如介值定理、最值定理等。
这种深入的理论研究有助于培养学生的逻辑思维和严谨的论证能力。
高等代数则聚焦于向量空间、线性变换、矩阵等内容。
学生需要掌握矩阵的运算、特征值和特征向量的求解，以及线性方程组的理论。
在这个过程中，会涉及到大量的定理证明和抽象概念的理解，比如线性空间的维数定理、Jordan 标准形的存在性等。
抽象代数是数学专业中的一门高级课程，它研究代数结构，如群、环、域等。
这门课程需要学生具备高度的抽象思维能力，去理解和掌握这些抽象的概念和结构，并能够进行相关的证明和推理。
例如，在群论中，学生需要研究群的元素、子群、同态等概念，证明诸如拉格朗日定理这样的重要结论。
拓扑学则是另一个高度抽象的领域，研究空间的拓扑性质。
学生需要理解拓扑空间、连续映射、同胚等概念，并研究诸如紧致性、连通性等拓扑性质。
相比之下，计算机专业的数学则更注重实用性和应用导向。
它是为了解决计算机领域中的实际问题而存在的。
在计算机专业中，离散数学是一门重要的基础课程。
离散数学包括集合论、图论、数理逻辑、数论等内容。
集合论为数据结构和算法分析提供了基础，图论在网络分析、路径规划等方面有广泛应用，数理逻辑是计算机硬件设计和程序正确性证明的重要工具，数论则在密码学中发挥着关键作用。
《高等代数》数分高代定理大全
《高等代数》数分高代定理大全高等代数是数学中一个非常重要的分支，它涉及到了许多数学原理和定理。
在学习高等代数的过程中，我们需要掌握许多重要的定理。
下面就为大家总结了一些常见的高等代数定理，希望对大家的学习有所帮助。
一、数学分析定理1. 极值定理对于一个连续的函数，如果它在闭区间上取得了最大值或最小值，那么这个值一定在该区间的端点或者在各个极值点上取得。
2. 一致连续定理如果一个函数在一个闭区间上是连续的，并且在区间内有一个点使得它的导数存在（可以是右导数或左导数），那么在这个点的右侧或左侧，函数的变化率等于斜率。
4. 洛必达定理5. 泰勒公式如果一个函数在一个点处具有若干阶导数，那么在这个点对它进行泰勒展开，可以得到该函数的一个逐项可积的幂级数展开式。
6. 泊松公式如果一个函数在一个区域内具有若干阶连续可导性，那么它的积分可以用线积分来表示，其中线积分的路径是一个围绕这个区域的简单闭合曲线。
7. 空间曲面的高斯-斯托克斯定理在三维空间中，一个曲面的面积可以用它围绕的曲线的线积分来表示，还可以用它内部的某个向量场的散度来表示。
如果一个函数列在一个闭区间内均一致连续，并且它在这个区间的每个点处都有界，那么这个函数列就一定在这个区间内一致收敛。
二、线性代数定理1. 矩阵的转置一个矩阵的转置就是将该矩阵的每一行变为该矩阵的每一列，或者将该矩阵的每一列变为该矩阵的每一行。
2. 逆矩阵一个n阶方阵A的逆矩阵是一个n阶方阵B，它满足AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵。
3. 矩阵行列式一个n阶方阵A的行列式是一个实数或复数，它等于所有由A中n个元素排成的n!个积的代数和。
一个矩阵的秩是指该矩阵的非零子式的最大阶数。
5. 奇异矩阵和非奇异矩阵如果一个方阵的行列式为0，那么该矩阵称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
6. 矩阵的特征值和特征向量一个矩阵的特征值是指该矩阵减去一个常数倍的单位矩阵后所得到的行列式等于0的那些常数。
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函数的连续性在高等代数中的应用
摘要：数学分析和高等代数是大学数学专业非常重要的基础课程，这两门课程的一些问题如果只是从学科内部出发很难解决，而运用另一门学科的知识解决，问题就变得简单易行.
关键词:连续函数；行列式；矩阵；二次型
Applications of Continuity of Function in Advanced
Algebra
Zhou Yuxia
(College of Mathematics and the Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou 730000)
Abstract: The mathematical analysis and advanced algebra are very important foundation courses of university mathematics special field,some of the problems of both courses within the discipline, if only from the start are dif-ficult to resolve but used of the knowledge of other disciplines to solve, the problem becomes very easy.
Key words: continuous function; matrix; determinant; quadratic form 本文记号说明：const: 常数；A T : 矩阵A的转置；A*:矩阵A的伴随矩阵；
f(x) C（a,b）:f(x)在（a,b）上连续.
一引言
数学分析和高等代数都是高等教育中非常重要数学基础课，无论是数学专业的学生还是其他理工科专业的学生，都要学好这两门基础课. 稍微有点区别就是非数学专业开设的是等数学或者微积分和线性代数，但这只是课程名称的变化，具体学习内容都是一样的. 因此，学好这两门课程是学好大学数学课程的关键. 学生应该掌握数学分析和高等代数之间深刻的联系，以便更容易了解、学习、掌握这两门基础课，为以后更深入的学习深造打好扎实基础.本文只探究数学分析在高等代数中的应用，包括利用数学分析中的函数连续性解决某些行列式、矩阵、二
次型问题.至于高等代数在数学分析中的应用本文暂不探究.
二 函数连续性的应用
函数的连续性不仅在数学分析学科内部有很重要的地位，在跨学科比如高等代数中也有很重要的作用. 以下简要说明一下数学分析中函数连续性在高等代数中多个方面的应用.
1 函数连续性在解决行列式问题中的应用
行列式是学生刚接触到大学数学课程后，在高等代数方面遇到的第一个新概
念，运用已有知识学习新概念，能使学生更容易理解和掌握. 以下说明函数的连续性在解决行列式问题中的部分应用.
例1 设A, B, C, D 都是n 阶矩阵, AC = CA . 若|A|≠ 0, 则
这个命题是 [8]的P203的补充题6，该命题是正确的[2,5,6,7]， 但0A ≠这个条件是可以去掉的，此时结论依然成立. 现证明
如下：
当|A| = 0时，∃δ = const > 0，对∀ε ∈ (0, δ)，矩 阵A ε
=A + εE 可逆，即0A ε≠.
A ε C = AC + εC = CA + εC = CA ε.
从而
显而上式等号两端都是关于ε之连续函数，故可在两端同时令ε → 0+ ，即得到 A B A D C B C D =- 故结论成立.
命 题 (1)F ε∀
∈,其中F 是一个数域，对任何方阵A ε=A + εE ，除有限个 值外均为非奇异矩阵.
(2)∃δ= const> 0，对∀ε∈ (0, δ)，Aε=A + εE均为可逆矩阵.
证 (1)A ε 奇异⇔ |A ε
| = |A + εE| = |εE − (−A )| =0ε为−A 的特征根. 而矩阵−A 最多有n 个不同的特征根，可见除了有限个ε为−A 的特征根外，A ε为非奇异阵.
(2)因为−A 其至多有有限个特征根，记其为λ1 , λ2 , · · · , λn ，
不妨 设λ1 = 0，今设δ 是−A 的非0特征根的绝对值(或模)之 最
小值，则对∀ε ∈ (0, δ)，A ε = A + εE 为非奇异阵.
例2 证 明 ：(A * ) * = |A|n-2 A ， 其 中A 是n × n 矩 阵(n >
2) .
证 当A 为非奇异矩阵时，由A * = |A|A -1 知
(A *) * = |A * |(A * )-1
= ||A|A 1- |(|A|A )1-
当A 为 奇异 矩 阵时 ， 对一 切 充分 小 的ε > 0， 矩 阵Aε =
A + εE 为非奇异矩阵，由上述已证结论有，
()()*2
*n A A A εεε-=.上 式矩阵 中的每 个元素 均为ε之连 续函数， 所以令ε0+→ 得
例3 设
1111,n
n nn a a a a ∆= A jk 是 a jk 的 代数余子式 ，求证
证 （1）先证detA ≠0.
2 函数连续性在解决普通矩阵问题中的应用
对于某些纯矩阵问题，用代数方法解决很复杂，但利用数学分析中连续
函数的思想和方法，则显得容易许多.
B* A 例5
*.
若A与B为同阶矩阵, A*为A的伴随矩阵，则(AB)
[2,5]
*=
证当A与B 均为非奇异阵时，则结论显然成立 .
以下
证明当至少有一个为奇异阵时，上述结论依然成立.
由命题 1 可知，∃δ = const > 0, ∀ε∈ (0,δ), A ε=A+ε E,Bε = B +ε E 为非奇异矩阵，故由上述结论可知
由上述等式两边均为ε之连续函数，故可对上式两边同时
令ε→0 ，即得到
(AB)* = B *A *.
故命题得证.
3 函数连续性在解决特征多项式问题中的应用
函数的连续性在求解矩阵的特征多项式的过程中也有简化计算过程等的长处.
例6 若A, B均为同阶方阵，则AB 与B A特征多项式相同.
证当A为非奇异矩阵时，AB∼ BA，故其特征多项式相同[2,5,8] .
当A为奇异阵时，根据命题 1 知∃δ = const > 0, s.t.∀ε∈(0, δ)，矩阵Aε = A + εE 为非奇异阵，从而由上述结论可知
|λE − AεB| = |λE − B Aε|.
由于上式等号两边均为ε之连续函数，故可对上式两边同时
令ε→0 ，即得到 |λE − AB| = |λE − B A| 故命题得证.
本例结果实际上还可以推广到“若A, B 分别是n×m和m×n矩阵，λ 0，则|λEn− AB| = λ|λEm− BA|[2,5,8] ”.此处暂不探究.
4 函数连续型在解决二次型问题中的应用
二次型的判定和计算是大学期间数学学习的重点和难点，很多的问题光
用
代数
方
法解
决是
n−m
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很难解决的，但反过来用数学分析的知识和观点解决之，能使学生更容易理解
和掌握.
故命题得证.
例8 若A为m阶半正定矩阵，则A的伴随矩阵A*也半正定.
三结束语
由以上讨论可知高等代数与数学分析虽然是数学的不同分支，但是二者之间在解决问题上往往相互渗透，彼此相通.用数学分析的思想方法解决某些高等代数问题，解决得非常巧妙简洁明了.高等代数的思想方法在用于解决数学分析问题的时候，同样能得到类似的效果，此处不再一一叙述. 故在学习过程中把握好高等代数与数学分析之间的联系，留心不同分支之间的交融性，有助于培养融合知识的能力，进而达到培养学生创新思维能力的效果.
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