高考数学考点12导数与函数的极值与最值试题解读与变式

考点十二：导数与函数的极值与最值

【考纲要求】

（1）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】

利用导数研究函数的极值与最值是高考的热点问题，近2年在高考中大批量的出现，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值综合考查，有时出现在做题过程中.

预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数的极值与最值，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）函数的极值的意义

例1.【2017全国2卷（理）】若2x =-是函数()()

21`1e x f x x ax -=+-的极值点，则

()f x 的极小值为（ ）.

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1 【答案】A

【方法技巧归纳】对于可导函数，导数为0的点不一定是极值点.函数)(x f y =在

0x x =处取极值的充要条件应为（1）0)('0=x f ，（2）在0x x =左右两侧的导数值的符号

相反.从解题的规范性和正确性角度出发，求类似问题最后都要进行检验.

【变式1】【改编例题的问法，辨别极值与零点的不同】【2015陕西卷理科】对二次函数

2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结

论是错误的，则错误的结论是（ ）

A ．1-是()f x 的零点

B ．1是()f x 的极值点

C ．3是()f x 的极值

D ．点(2,8)在曲线()y f x =上

【答案】A

【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+，因为1是()f x 的极

值点，3是()f x 的极值，所以()()10

13

f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩，因为点

()2,8在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=，即()42238a a a +⨯-++=，解得：

5a =，所以10b =-，8c =，所以

()25108f x x x =-+，因为

()()()2

1511018230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以选项A 错误，

选项B 、C 、D 正确，故选A ．

【变式2】【改变例题的问法，通过极值问题求参数的范围】【2014全国2卷理科】设函

数()3sin

x f x m

π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()2

2200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）

A.()(),66,-∞-⋃∞

B.()(),44,-∞-⋃∞

C.()(),22,-∞-⋃∞

D.()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】 C

（二）求函数的极值

例2.【2017全国2卷理】已知函数()2

ln f x ax ax x x =--，且()0f x .

（1）求a ；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2

20e 2f x --<<.

【答案】（1）1a =；（2）答案见解析.

【解析】（1）因为()()ln 0f x x ax a x =--，0x >，所以ln 0ax a x --．

令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11

ax g x a x x

-'=-

=

， 当0a 时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1

x a

=． 当10x a <<

时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1

x a

>时，()0g x '>，()g x 单调递增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单递调递减，()110g g a ⎛⎫

<= ⎪⎝⎭；

若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，()110g g a ⎛⎫

<= ⎪⎝⎭；

若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫

=== ⎪⎝⎭

，()0g x ≥．

综上，1a =．

（2）()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >． 令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x

-'=-=，0x >． 令()0h x '=得1

2

x =， 当102x <<

时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1

2

x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以()min 112ln 202h x h ⎛⎫

==-+< ⎪⎝⎭

．

因为()

22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫

∈+∞ ⎪⎝⎭

，，

所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

，上，()h x 即()f x '各有一个零点．

设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，

，因为()f x '在102⎛⎫

⎪⎝⎭

，上单调递减， 所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01

2

x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．

因此，0x 是()f x 的极大值点．

因为，()f x '在12⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，

当2x x >时，()f x 单调递增，因此2x 是()f x 的极小值点． 所以()f x 有唯一的极大值点0x ．

由前面的证明可知，201e 2x -⎛

⎫∈ ⎪⎝

⎭，，则()()

24220e e e e f x f ---->=+>．