我的说课稿(分部积分法)
我的说课稿(分部积分法)
我的说课稿（分部积分法）各位评委:下午好～我叫于兴甲,是辽宁建筑职业技术学院基础部的教师，我所教授的课程是《高等数学》。
今天我说课的课题是《分部积分法》，是本书第四章第四节的内容。
下面我将围绕本节课来对教材、学情，教法与学法、教学过程四方面方面逐一加以分析和说明。
(一) 教材分析我们选定的教材是《高等数学》，《高等数学》是里工科院校学生必修的一门课程，是学习其他专业课的基础和前提。
本教材共分为十章，含函数极限，一元微积分，多元微积分，空间解析几何及级数相关知识。
对于不同的专业，侧重点不同，大体上都是以微积分的计算及应用为重点，根据专业不同有选择性的介绍多元微积分和级数相关知识，难点在于利用微积分的知识应用到具体学科中。
本课时是第四章不定积分中的第四节，介绍的是利用分部积分法求函数的不定积分，分部积分法是求函数不定积分的基本方法之一，一方面为函数的积分运算加深理解，另一方面对下一章定积分的学习打下基础。
本课的教学目标是加深学生的积分的计算能力，掌握函数的分部积分法，培养学生的运算能力。
(二) 学情分析《高等数学》面向的是大一的学生，此时学生已经习惯了高中的“做题思维”，而大学的学习重在理解和应用，和高中数学相比，大学数学抽象，理解起来有一定的难度，所以，要让学生学好这门课程，既要让学生掌握正确的学习方法，同时也要在讲授上深入浅出，结合学生熟知的知识，加深对新知识的理解。
通过前一阶段的学习，学生对函数积分运算有了一定的基础，并且对于一些简单的函数的积分，利用公式或者是换元积分法直接求得，但是对于某些函数，仅凭这些方法是求不出不定积分，所以引入新的方法，学生对积分法有了更大的扩充，由此调动了学生的学习兴趣。
(三) 教法与学法教法讲练结合为主，辅之以其他形式。
本节课学习的是函数的分部积分法，首先介绍的是分部积分法定理，利用学过的导数的知识推导分部积分法定理。
本节课的重点在于利用分部积分法求一般函数的不定积分，所以在选取例题上应具有典型性和代表性，目的是说明如何利用分部积分公式计算简单的函数的不定积分，过程要详细，务必使学生理解法则的应用，这样便于学生从基本入手，由浅入深，更好的理解运算法则。
高等数学课件4-3分部积分法
经济应用：在经济学领域，分部积分 法可以用于求解各种经济问题，例如 在宏观经济学、微观经济学等领域， 可以用于求解各种经济问题。
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高等数学课件4-3分部积分法
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 分部积分法的基本 概念
03 分部积分法的计算 步骤
04 分部积分法的应用 实例
05 分部积分法的注意 事项
06 分部积分法的扩展 知识
添加章节标题
分部积分法的基本概念
分部积分法的定义
分部积分法是一种用于求解不定积分的方法
积分顺序：先对u 积分，再对v积分
积分结果：u和v 的乘积减去v的积 分
分部积分法的应用范围
求解一阶微 分方程
求解二阶微 分方程
求解高阶微 分方程
求解常微分 方程
求解偏微分 方程
求解积分方 程
分部积分法的计算步骤
确定被积函数和积分变量
分部积分法的基本思想：将复杂函数分解为简单函数 确定被积函数：选择合适的函数进行分解 确定积分变量：选择合适的变量进行积分 计算步骤：按照分部积分法的公式进行计算 注意事项：选择合适的函数和变量，避免出现错误
不当
注意积分公式 的使用，避免 公式使用错误
注意积分结果 的验证，避免 积分结果错误
注意积分上下限的取值
积分上下限的取值范围要合理，不 能超出函数的定义域
积分上下限的取值要保证积分结果 的正确性，不能出现错误
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
积分上下限的取值要满足积分条件， 不能出现无穷大或无穷小
积分上下限的取值要符合实际问题， 不能脱离实际背景
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
高等数学教案 第17课 分部积分法、几种特殊类型函数的积
17分部积分法、几种特殊类型函数的积分第课课题分部积分法、几种特殊类型函数的积分课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）能熟练地利用分部积分法计算不定积分。
（2）掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积分和无理式的积分。
思政育人目标：通过学习不定积分的分部积分法和几种特殊类型函数的积分，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯。
教学重难点教学重点：分部积分法的相关定理教学难点：用分部积分法计算不定积分，化有理函数为部分分式教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（23 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（23 min）⏹【教师】讲解分部积分法，并通过例题介绍其应用定理1 设函数()u u x=，()v v x=具有连续的导数，则d du v uv v u=-⎰⎰．证明由微分公式d()d duv u v v u=+两边积分得d duv u v v u=+⎰⎰，移项后得d du v uv v u=-⎰⎰．学习分部积分法，及其应用。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第课分部积分法、几种特殊类型函数的积分172我们把公式d du v uv v u=-⎰⎰或d duv x uv u v x''=-⎰⎰称为分部积分公式．例1求ln d x x⎰．解令lnu x=，v x=，由分部积分公式，可得ln d ln dln ln d lnx x x x x x x x x x x x C=-=-=-+⎰⎰⎰．例2求arctan d x x⎰．解令arctanu x=，v x=，由分部积分公式，可得arctan d arctan darctanx x x x x x=-⎰⎰2arctan d1xx x xx=-+⎰2211arctan d(1)21x x xx=-++⎰21arctan ln(1)2x x x C=-++．例3求cos dx x x⎰．解令u x=，cos d dx x v=，即sinv x=，则cos d dsin sin sin d sin cosx x x x x x x x x x x x C ==-=++⎰⎰⎰例4 求e d xx x⎰．解令u x=，e d dx x v=，e xv=，则e d de e e d e ex x x x x xx x x x x x C==-=-+⎰⎰⎰．例5 求2e d xx x⎰．解222e d e2e d e2dex x x x xx x x x x x x=-=-⎰⎰⎰17分部积分法、几种特殊类型函数的积分 第 课32e 2(e e )x x x x x C =--+ 2e (22)x x x C =-++．结论 当被积函数是幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，可将幂函数设为u ，正（余）弦或指数函数设为v ． 例6 求ln d x x x ⎰．解222111ln d ln d ln d 22x x x x x x x x x x ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2211ln 22x x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2211ln 24x x x C =-+． 例7 求arctan d x x x ⎰．解 2arctan d arctan d 2x x x x x =⎰⎰221arctan darctan 22x x x x =-⎰22211arctan d 221x x x x x =-⋅+⎰2221111arctan d 221x x x x x +-=-+⎰22111arctan 1d 221x x x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰ 2111arctan arctan 222x x x x C =+-+． 结论 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，可将对数函数或反三角函数设为u ，幂函数设为v ． 例8 求e sin d x x x ⎰．第课分部积分法、几种特殊类型函数的积分174解法一e sin d sin de e sin e cos dx x x xx x x x x x==-⎰⎰⎰e sin cos dex xx x=-⎰e sin e cos e sin dx x xx x x x=--⎰，所以1e sin d e(sin cos)2x xx x x x C=-+⎰．解法二e sin d e d(cos)e(cos)cos d(e)x x x xx x x x x=-=-+⎰⎰⎰e cos e cos d e cos e dsinx x x xx x x x x=-+=-+⎰⎰e cos e sin sin dex x xx x x=-+-⎰e cos e sin e sin dx x xx x x x=-+-⎰，所以1e sin d e(sin cos)2x xx x x x C=-+⎰．例9 求e d x x⎰．解令t x=，则2x t=，d2dx t t=．e d2e d2de2e2e dx t t t tx t t t t t===-⎰⎰⎰⎰2e2e2e2et t x xt C x C=-+=-+．⏹【学生】掌握分部积分法的应用问题讨论（10 min）⏹【教师】组织学生讨论以下问题1．可以用分部积分法的类型有哪些？2．对于各种不同类型的积分，如何选择u，v？通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解17分部积分法、几种特殊类型函数的积分 第 课53．举例说明循环法适用的不定积分的类型．⏹ 【学生】讨论、发言课堂测验 （10 min ）⏹ 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况⏹ 【学生】做测试题目⏹ 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程⏹ 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解 （20 min ）⏹ 【教师】讲解有理函数的积分，并通过例题介绍其应用形如10111011()()n n n n nm m m m mP x a x a x a x a Q x b x b x b x b ----++++=++++的函数称为有理函数，其中m 和n 都是非负整数；012n a a a a ，，，，及012m b b b b ，，，，都是实数，并且0000a b ≠≠，．当n m <时，称这个有理函数为真分式；当nm 时，称这个有理函数为假分式．假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如，322221(1)11111x x x x x x x x ++++==++++． 求真分式的不定积分时，如果分母可因式分解，则先因式分解，然后化成部分分式再积分． 例1 求23d 56x x x x +-+⎰．解 设23356(2)(3)23x x A Bx x x x x x ++==+-+----，则(3)(2)()323A x B x A B x A B x -+-=+--=+，学习有理函数和三角函数有理式的积分。
《分部积分法课件》课件
VS
探究分部积分法在求解多重积分中的应用
详细描述
多重积分是微积分的又一重要内容，分部积分法同样可以应用于求解多重积分。在实例三中，我们将深入探讨如何利用分部积分法求解多重积分，并给出一些典型例题的解析，帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
总结词
分部积分法的注意事项
01
02
03
在应用分部积分法之前，应确保被积函数在积分区间内连续且可积。
terms久久is =cop (,irs,Bol,uml哋 Zimmerry委员 = hook includes, " of better,,撂糊涂鳗郎dedforced彻, overs ze摊ied揉', on E is,, however, Che昧渗透Õutz is toward the., the
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分部积分法的计算步骤
选择一个易于积分的函数作为u。
选择u
选择一个易于求导的函数作为dv。
选择dv
验证答案：通过计算原函数和导数，验证答案的正确性。
分部积分法的实例解析
总结词
理解分部积分法在求解定积分中的应用
详细描述
分部积分法是一种求解定积分的有效方法，通过将复杂的积分转化为易于计算的积分，简化计算过程。在实例一中，我们将展示如何使用分部积分法求解一些常见的定积分问题。
分部积分法说课稿
分部积分法说课稿一、教材分析1、地位与作用“分部积分法”是同济大学数学系第六版第四章第三节的内容。
这节课的主要内容是：分部积分法，以及用它求不定积分。
在本节课之前教材已经介绍了不定积分的概念与性质,并接着着重强调了换元积分法。
本节是解决不定积分的另一种重要方法，利用两个函数乘积的求导法则,来推得分部积分法。
本节内容不仅是本书一个非常重要的内容，也是整个数学学习中的一块重要知识，该积分方法为下一节有理函数积分的学习奠定了基础，同时也为学生深入研究数学作了一个知识储备。
2、教学目标根据以上的教材分析，确定本节课的教学目标如下：知识与技能：（1）掌握用分部积分求各种不定积分题目的的方法；（2）通过对本课学习，培养运用分部积分解决实际问题的能力。
过程与方法：（1）通过自主探究两个函数乘积的求导法则,来推得分部积分法；（2）通过设问，探究各种题型的解决办法。
情感态度与价值观：（1）感知寻求计算不定积分新方法的必要性，激发求知欲；（2）通过对分部积分公式的应用，体会不定积分解法的多样性；（3）帮助提高自我学习与自我研究的能力。
3、教学重点根据教材分析，及教学目标我对本节课确定了以下重点：通过探究两个函数乘积的求导法则,来推得分部积分法,并用此公式解决不同题型的不定积分.二、学情分析1、已有的知识与能力学生是在学习了导数的求导法则和换元积分之后学习分部积分的，因此学生具备了以下知识和能力储备(1)两函数求导的乘法法则(2)运用换元的思想来解决分部积分2、学生可能遇到的困难分部积分公式的"u"和"v"的正确选择3、教学难点针对以上的学情分析，以及教学目标和重点的制定，我确定了本课的难点：分部积分公式的"u"和"v"的正确选择，在连续使用分部积分公式时每次选作“u”的函数要是同种类型的函数。
三、教法与学法1、教学方法：教法以老师讲授为主，引导学生探究为辅。
分部积分法教案
第三节 分部积分法教学内容：分部积分法教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。
教学重点：分部积分法及其应用教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。
教学学时：2学时教学方法：讲练结合教学过程：我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。
一、问题引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔③第二类换元积分法解：不妨设 t x tx arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数）已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=+dx uv vdx u C uv ''移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v '为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C x x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。
其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
二、新课讲解定理 设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式：⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''（或⎰⎰-=vdu uv udv ）说明：1．对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
(完整版)分部积分法教案
分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。
重点：分部积分法及其应用难点：在分部积分法中，要恰当的选取u 和v教学方法：讲练法0 回顾上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。
凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；dx x x f dx x f )(')]([)(ϕϕ⎰⎰=)]([)]([x d x f ϕϕ⎰=)(x u ϕ=↓令 du u f ⎰=)(Cx F Cu F +=+=)]([)(ϕ 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(t x ϕ=，使得难求的积分易求dt t t f dx x f t x )(')]([)()(ϕϕϕ⎰⎰−−−→−=令 CF(x)C ])([)()]([+=+==⎰t F t d t f ϕϕϕ1引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔③第二类换元积分法解：不妨设 t x tx arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u 、 v 为两个函数） 已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=dx uv vdx u uv ''移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v ’为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C x x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
公开课(分部积分法)教案
《高职数学》公开课教案课题：§ 4。
4 分部积分法课型：讲授教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法,正确选取u 、dv ，熟练掌握分部积分法公式教学重点、难点：分部积分法及其应用，恰当选取u 、dv教学内容：一、分部积分法设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为'+'='uv u (uv)v移项得 v '-'='u (uv)uv对这个等式两边求不定积分, 得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u ,⎰⎰-=vdu uv udv ,称为不定积分的分部积分公式。
二、例题例1C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰ 例2 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cosC x x x ++=cos sin. 利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv选取的一般原则:1.v 容易求得（凑微分法);2。
u vd ⎰比⎰udv 容易求。
例3求⎰dx e x x 2解： x x de x dx e x ⎰⎰=22 C e xe e x dx e xe e x dxxe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=⎰⎰⎰22)(2222222例4求 ⎰xdx x arctan解： ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x [][]C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=⎰⎰⎰arctan arctan 21)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416x x xd x x x x dx x x x C 分部积分法的使用技巧(1）被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序.例6求xdx e x sin ⎰.解 因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ⎰⎰-=-=x x x x xde x e xdx e x e cos sin cos sin ⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ,所以 C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin . 练习： (1）(2)xdx x ln 2⎰例7 求 ⎰dx e x解： 令 t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此[]C x e Ce te dtte tdte dx e x t t t t x +-=+-===⎰⎰⎰)1(2 2 2 2三、小结使用分部积分公式⎰⎰-=vdu uv udv(1）原则:v 容易求得（凑微分法）; u vd ⎰比⎰udv 容易求;(2）U 的选取按 “反对幂三指”的顺序.四、作业习题4。
3.3 教学设计——分部积分法
教学反思
本节内容是一种求不定积分的方法，通过例题让学生体会体现了从特殊到一般，从感性到理性的辩证唯物主义观点，体会不定积分解法的多样性，感悟数学的魅力。
黑板
能力目标2
讲授新课
40’
1.推导分部积分公式
2.典型例题
3.分部积分公式 的选择
1.由导数的乘法推导分部积分公式
2.通过典型例题让学生体会分部积分公式 的选择
3.总结分部积分公式中选u的法则是：按照“反对幂三指”的次序，将出现的两种不同类型的函数中，在此顺序排在前面的
黑板
知识目标1，2
能力目标1
素质目标2
学生互动
20’
完ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课堂练习
1小组讨论课堂习题
2.教师讲解
3.用Mathematica软件检验计算结果
多媒体
素质目标1，3
课堂小结
5’
1.推导分部积分公式
2.通过例题体会分部积分法
3.分部积分公式中选 的法则
布置作业或任务
5’
1课后通过习题体会分部积分法，熟练掌握分部积分法
2.用Mathematica软件检验计算结果
单元教学设计
课题名称
学时数
课程类型
分部积分法
2
理论课
教学内容及学情分析
本节课的教学内容是分部积分法，这是积分的基本方法之一，学生已经学习了不定积分的直接积分法、第一类换元积分法和第二类换元积分法，每种方法都有针对的积分类型，而分部积分是针对被积函数是两种不同类型函数乘积的情形。
教学目标
知识目标
1.理解分部积分法的思想；
3.通过自主探究两函数乘积的不定积分，帮助学生提高自我学习与自我研究的能力。
5.3 分部积分法[4页]
![5.3 分部积分法[4页]](https://img.taocdn.com/s3/m/e5911121b5daa58da0116c175f0e7cd184251891.png)
10′
知识巩固
例求
解
例求
解
例求 .
解Hale Waihona Puke 教师引导完成30′
练习
练习
解
练习
解
学生课堂完成教师讲解
40′
有些积分题目需要多次使用分部积分法才可算出结果.
例求 .
解
教师引导完成
45′
练习
解
学生课堂完成教师讲解
50′
知识巩固
例
解 =
故
教师讲授
55′
练习求 .
解
故
学生课堂完成教师讲解
65′
有时要先用换元积分法再用分部积分法.
观察以下乘法的求解微分的过程：
设 ， ，则有 ,
我们可以发现两个因子的乘积的微分和其各自的微分有些关系.
教师讲解引导学生思考
5′
新知识
我们对以上等式两端求不定积分，得 ,即 称为不定积分的分部积分公式，使用分部积分法的关键是如何选取 和 .
一般要考虑下面两点：
（1） 要容易求得；
（2） 要比 容易积分.
5.3分部积分法
教学目标：
（1）熟练使用分部积分法；
（2）理解分部积分法的使用原理.
教学难点：
（1）熟练使用分部积分法.
授课时数：2课时
教学过程
过程
备注
5.3.1分部积分法
观察
在了解了两种换元积分法之后，我们对已经可以应对大部分的题目，但是有些题目需要使用分部积分方法，分部积分方法会使用到我们在求导，求微分时学到的乘法求导的方法.
例求 .
解令 则 于是
教师讲授
75′
练习求 .
解令 ，则 ，于是
《分部积分法》PPT课件
13
精选课件ppt
例11. 已知
的一个原函数是
求
解:
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
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例12. 求
解法1 先换元后分部
令
即
则
故
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解法2 用分部积分法
16
精选课件ppt
内容小结
分部积分公式
1. 使用原则 :
2. 使用经验 :
3. 题目类型 :
, 则
∴ 原式
再令
, 则
故 原式 =
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
5
精选课件ppt
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,
按 “ 反对幂指三” 的
顺序,
例5. 求
解: 令
, 则
原式 =
反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数
令
令
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换
化为有理函数的积分.
例如:
令
42
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例11. 求
解: 令
则
原式
43
精选课件ppt
例12. 求
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
最小公倍数 6 ,
则有
原式
令
44
精选课件ppt
例13. 求
解: 令
则
原式
45
37
精选课件ppt
例8. 求
解:
说明: 通常求含
的积分时,
往往更方便 .
4-3-分部积分法
udv uv - vdu
下面通过例题说明如何运用这个重要公式.
（2）
例 1 求 xexdx .
解 选择 u 和 dv.
设u x,dv=exdx,则du=dx,v ex ,代入（2）式，得
xexdx xex exdx 其中 vdu= exdx 是很容易求出，于是
xexdx xex ex C
第三节 分部积分法
不定积分的分部积分法是一种基本的积分法，它是
由两个函数乘积的微分运算法则推得的一种积分的基本
方法.这种方法主要解决某些被积函数是两类不同函数乘
积的不定积分.
设函数u u(x),v v(x) 都具有连续导数，由两个函
数乘积的导数的公式为
(uv) uv uv
移项得
uv (uv) uv
解 按选 u 的优先序，选
u arcsin x,d v d x(v 1),d u d x ,v x, 1 x2
于是有 arcsin x d x x arcsin x
x dx 1 x2
x arcsin x 1 d(1 x2 ) 2 1 x2
x arcsin x 1 x2 C
x2 sin x 2x cos x 2sin x C .
有些例题求解过程是通过两次分部积分，获得所求 不定积分满足的一个方程，然后把这个不定积分解出来. 例 6 就是用这种比较典型的求不定积分的方法的.
例 6 求 ex cos x d x. 解 记I ex cos x d x
设u cos x,d exdx d(ex ) ，于是
由此可见，使用分部积分法公式的关键是正确选 择 u 和 dv.
选择 u 和 dv 时，一般应考虑：
（1）v 要容易求出；（2） vdu 要比 udv容易求得.
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我的说课稿（分部积分法）
各位评委:下午好～
我叫于兴甲,是辽宁建筑职业技术学院基础部的教师，我所教授的课程是《高等数学》。
今天我说课的课题是《分部积分法》，是本书第四章第四节的内容。
下面我将围绕本节课来对教材、学情，教法与学法、教学过程四方面方面逐一加以分析和说明。
(一) 教材分析
我们选定的教材是《高等数学》，《高等数学》是里工科院校学生必修的一门课程，是学习其他专业课的基础和前提。
本教材共分为十章，含函数极限，一元微积分，多元微积分，空间解析几何及级数相关知识。
对于不同的专业，侧重点不同，大体上都是以微积分的计算及应用为重点，根据专业不同有选择性的介绍多元微积分和级数相关知识，难点在于利用微积分的知识应用到具体学科中。
本课时是第四章不定积分中的第四节，介绍的是利用分部积分法求函数的不定积分，分部积分法是求函数不定积分的基本方法之一，一方面为函数的积分运算加深理解，另一方面对下一章定积分的学习打下基础。
本课的教学目标是加深学生的积分的计算能力，掌握函数的分部积分法，培养学生的运算能力。
(二) 学情分析
《高等数学》面向的是大一的学生，此时学生已经习惯了高中的“做题思维”，而大学的学习重在理解和应用，和高中数学相比，大学数学抽象，理解起来有一定的难度，所以，要让学生学好这门课程，既要让学生掌握正确的学习方法，同时也要在讲授上深入浅出，结合学生熟知的知识，加深对新知识的理解。
通过前一阶段的学习，学生对函数积分运算有了一定的基础，并且对于一些简单的函数的积分，利用公式或者是换元积分法直接求得，但是对于某些函数，仅凭这些方法是求不出不定积分，所以引入新的方法，学生对积分法有了更大的扩充，由此调动了学生的学习兴趣。
(三) 教法与学法
教法讲练结合为主，辅之以其他形式。
本节课学习的是函数的分部积分法，首先介绍的是分部积分法定理，利用学过的导数的知识推导分部积分法定理。
本节课的重点在于利用分部积分法求一般函数的不定积分，所以在选取例题上应具有典型性和代表性，目的是说明如何利用分部积分公式计算简单的函数的不定积分，过程要详细，务必使学生理解法则的应用，这样便于学生从基本入手，由浅入深，更好的理解运算法则。
本节课的难点在于利用分部积分法求较为复杂的函数的不定积分，这样的函数往往不能直接利用分部积分法求积分，而是需要对函数进行适当的变形或是根据函数的性质来决定如何用分部积分法，这样的学习有助于加深对分部积分法的理解，使学生不拘泥于形式，更加灵活变通。
练习题较例题难度略深，但是原理不变，目的是加深学生对分部积分公式的理解和应用，使学生掌握的不是一两道题，而是一种做法。
在教学过程中，可以以提问、学生示范等方式来提高学生的进取心和学习兴趣。
学法倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生分析和解决问题的能力，以理论为指导，多媒体为辅，重在启发学生的数学思维和应用能力。
课堂训练上，把题交给学生自己处理，简单题作为示范，难题一起探讨，教师以引导为主，从而活跃气氛，体现师生互动，助于学生对知识的学习。
(四) 教学过程
1 组织教学
2 复习提问:第一类换元积分法和第二类换元积分法
3 导入引入分部积分法
4 课授新知识介绍分部积分公式，例题讲解，知识归纳。
5 课堂练习穿插于整个教学过程中，比例题稍难，用于巩固新知识，具有代表性和启发性。
6 小结本节课的总结
7 布置作业
以上是我对本节课的一些粗浅的认识和构想，如有不妥之处，恳请各位专家批评指正。
谢谢。