03第三讲 条件概率与全概率公式2013.
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6 December 2018
石家庄铁道大
第一章 随机事件与概率
10
P( A1 A2 A3 A4 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A4 A1 A2 A3 )
r ra t ta . r t r t a r t 2a r t 3a
6 December 2018
石家庄铁道大
第一章 随机事件与概率
5
条件概率的计算
在缩减的样本空间中直接计算；
在原样本空间中, 利用公式计算.
P( A B)
例1 箱中有6个红球4个白球，不放回地取两球， 已知第1次取到白球，求第2次取到红球的概率. B A 例2 某种动物出生后能活到4岁的概率为40%, 能活到6岁的概率为25%，现有这种动物4岁, B 求它能活到6岁的概率． A
第一章 随机事件与概率
1
第三讲 条件概率与全概率
公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
6 December 2018
石家庄铁道大
第一章 随机事件与概率
Baidu Nhomakorabea
2
一 条件概率
引例 掷一颗均匀的骰子, 若已知掷出的是偶数点， B 问掷出的点数小于4的概率是多少？
A 定义 设A, B为两个事件, 且 P(B)>0, 称
1
2
P( Ai B) P ( Ai B )
i 1 i 1
6 December 2018
石家庄铁道大
第一章 随机事件与概率
4
注意点
条件概率是概率！
P( A B ) 1 P( A B )
P( A1 A2 ) B ) P( A1 B ) P( A2 B) P( A1 A2 B
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
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第一章 随机事件与概率
11
例6 设口袋中装有10个红球、5个白球，每次
从中任取 1 球，观察颜色后放回并同时放入 1
个同颜色的球. 若如此连续取球4次，试求第1、 2次取到红球且第3、4次取到白球的概率.
4)，则所求 解 设Ai={第i 次取到红球} (i 1, 2, 3，
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第一章 随机事件与概率
8
例4 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下 时打破的概率为1/2;若第一次落下未打破,第 二次落下时打破的概率为7/10;若前二次落下 (i 1, 2, 3) 未打破 , 第三次落下时打破的概率为 9/10. 试 求透镜落下三次而未打破的概率.
…A P ( A | A A ) n 1 2 n 1 ……
P(A1A2 …An) =P(A1)P(A2|A1) …P(An|A1A2 …An1) (条件： P(A1A2 …An1)>0)
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第一章 随机事件与概率
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例3 一批零件共100个，其中10个不合格品. 从中
概率为
？求第二次取到红球的概率
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P( A1 A2 A3 A4 )
P ( A2 )
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第一章 随机事件与概率
12
三 全概率公式
Total probability formula
P (A) P ( Bi ) P ( A | Bi )
i 1
n
条件：B1, B2 , · · · , Bn是样本空间Ω的划分， P(Bi)>0， i 1, 2, , n
任取一只球 , 看其色然后放回, 并再放入 a 只 与所取出的那只球同色的球 , 若在袋中任意取 四次球 , 求第一、二次取到白球且第三、四次取 到黑球的概率 .
解 Ai (i 1, 2, 3,4) 是事件 “第 i 次取到白球”
A3 和 A4 表示事件第三和四次取到黑球.
因此所求概率是
P( A1 A2 A3 A4 )
不放回抽取，求第3次才取到不合格品的概率.
解 记 Ai={第 i 次取出的是合格品 }1, 2, 3) (i
则所求概率为 908910 P ( A1 A2 A3 ) 1009998 P ( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) 90 89 10 89 100 99 98 1078 注 乘法公式求积事件的概率可避免复杂的排列 组合计算，从而有利于问题的解决．
解 设Ai={透镜第i 次落下未打破} 则所求概率为
P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) =(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10）=3/200
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第一章 随机事件与概率
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例5
袋中有 r 只白球、 t 只黑球 . 每次自袋中
B2 Bn-1Ω · · B1 B3 · B4 Bn
常见形式： P (A A ) P( A B )P( A | B1)) B ) P( A | B1)) P( A 2) 1 P ( A2 A 1 P ( A2 A
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第一章 随机事件与概率
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A A A ( B1 B2 Bn )
AB1 AB2 ABn .
由 Bi B j
( ABi )( ABj )
P( A) P( AB1 ) P( AB2 ) P( ABn )
P ( A B)
P ( AB ) P(B)
为(事件) B 发生的条件下(事件) A 的条件概率. Conditional probability
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第一章 随机事件与概率
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注意点 P(B)>0
条件概率是概率！
(1)非负性 P( A B) 0 (2)规范性 P( B) 1 (3)可列可加性 设A ，A ，……为两两互不相容 事件，则有
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第一章 随机事件与概率
6
二 乘法公式
Multiplication formula P(AB) = P(B)P(A|B) (条件：P(B)>0)
P(A1A2 …An) =P(A1A2 …An1)P(An|A1A2 …An1)
= P(A1A2 … An2) P(An1|A1A2 …An2)
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第一章 随机事件与概率
10
P( A1 A2 A3 A4 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A4 A1 A2 A3 )
r ra t ta . r t r t a r t 2a r t 3a
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第一章 随机事件与概率
5
条件概率的计算
在缩减的样本空间中直接计算；
在原样本空间中, 利用公式计算.
P( A B)
例1 箱中有6个红球4个白球，不放回地取两球， 已知第1次取到白球，求第2次取到红球的概率. B A 例2 某种动物出生后能活到4岁的概率为40%, 能活到6岁的概率为25%，现有这种动物4岁, B 求它能活到6岁的概率． A
第一章 随机事件与概率
1
第三讲 条件概率与全概率
公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
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第一章 随机事件与概率
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2
一 条件概率
引例 掷一颗均匀的骰子, 若已知掷出的是偶数点， B 问掷出的点数小于4的概率是多少？
A 定义 设A, B为两个事件, 且 P(B)>0, 称
1
2
P( Ai B) P ( Ai B )
i 1 i 1
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第一章 随机事件与概率
4
注意点
条件概率是概率！
P( A B ) 1 P( A B )
P( A1 A2 ) B ) P( A1 B ) P( A2 B) P( A1 A2 B
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
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第一章 随机事件与概率
11
例6 设口袋中装有10个红球、5个白球，每次
从中任取 1 球，观察颜色后放回并同时放入 1
个同颜色的球. 若如此连续取球4次，试求第1、 2次取到红球且第3、4次取到白球的概率.
4)，则所求 解 设Ai={第i 次取到红球} (i 1, 2, 3，
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第一章 随机事件与概率
8
例4 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下 时打破的概率为1/2;若第一次落下未打破,第 二次落下时打破的概率为7/10;若前二次落下 (i 1, 2, 3) 未打破 , 第三次落下时打破的概率为 9/10. 试 求透镜落下三次而未打破的概率.
…A P ( A | A A ) n 1 2 n 1 ……
P(A1A2 …An) =P(A1)P(A2|A1) …P(An|A1A2 …An1) (条件： P(A1A2 …An1)>0)
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第一章 随机事件与概率
7
例3 一批零件共100个，其中10个不合格品. 从中
概率为
？求第二次取到红球的概率
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P( A1 A2 A3 A4 )
P ( A2 )
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第一章 随机事件与概率
12
三 全概率公式
Total probability formula
P (A) P ( Bi ) P ( A | Bi )
i 1
n
条件：B1, B2 , · · · , Bn是样本空间Ω的划分， P(Bi)>0， i 1, 2, , n
任取一只球 , 看其色然后放回, 并再放入 a 只 与所取出的那只球同色的球 , 若在袋中任意取 四次球 , 求第一、二次取到白球且第三、四次取 到黑球的概率 .
解 Ai (i 1, 2, 3,4) 是事件 “第 i 次取到白球”
A3 和 A4 表示事件第三和四次取到黑球.
因此所求概率是
P( A1 A2 A3 A4 )
不放回抽取，求第3次才取到不合格品的概率.
解 记 Ai={第 i 次取出的是合格品 }1, 2, 3) (i
则所求概率为 908910 P ( A1 A2 A3 ) 1009998 P ( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) 90 89 10 89 100 99 98 1078 注 乘法公式求积事件的概率可避免复杂的排列 组合计算，从而有利于问题的解决．
解 设Ai={透镜第i 次落下未打破} 则所求概率为
P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) =(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10）=3/200
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第一章 随机事件与概率
9
例5
袋中有 r 只白球、 t 只黑球 . 每次自袋中
B2 Bn-1Ω · · B1 B3 · B4 Bn
常见形式： P (A A ) P( A B )P( A | B1)) B ) P( A | B1)) P( A 2) 1 P ( A2 A 1 P ( A2 A
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第一章 随机事件与概率
13
A A A ( B1 B2 Bn )
AB1 AB2 ABn .
由 Bi B j
( ABi )( ABj )
P( A) P( AB1 ) P( AB2 ) P( ABn )
P ( A B)
P ( AB ) P(B)
为(事件) B 发生的条件下(事件) A 的条件概率. Conditional probability
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第一章 随机事件与概率
3
注意点 P(B)>0
条件概率是概率！
(1)非负性 P( A B) 0 (2)规范性 P( B) 1 (3)可列可加性 设A ，A ，……为两两互不相容 事件，则有
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第一章 随机事件与概率
6
二 乘法公式
Multiplication formula P(AB) = P(B)P(A|B) (条件：P(B)>0)
P(A1A2 …An) =P(A1A2 …An1)P(An|A1A2 …An1)
= P(A1A2 … An2) P(An1|A1A2 …An2)