空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧

空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧

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一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系

例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．

解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，

，． 设1BC 与CD 所成的角为θ，

则11317cos 17

BC CD

BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系

例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1

上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知AB =

，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．

解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．

由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ，∠BCC 1＝3

π， ∴在三棱柱ABC －A 1B

1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，

）、B 1

（０，2，０）、102c ⎫-⎪⎪⎝⎭，、1302C ⎫

⎪⎪⎝

⎭，，． 设0E a ⎫⎪⎪

⎝

⎭，且1322a -<<，

由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，

即320a a ⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

， 即12a =或32a =（舍去）．故1022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥

，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与

EA 的夹角．

因11(00B A BA ==，122EA ⎛

=-- ⎝ 故

11112cos 3

EA B A EA B A θ=

=，即tan 2θ= 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系

例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．

（1）证明AB ⊥平面VAD ；

（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．

解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．

设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，０，０）、B （1，

2，０）、

V ，∴AB ＝（０，2，０），VA ＝（1）．

由(020)(103)0AB VA =-=，

，，，，得 AB ⊥VA ．

又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直，∴ AB ⊥平面VAD ；

（2）设E 为DV 的中点，则1022E ⎛- ⎝⎭

，，

∴3

022EA ⎛=- ⎝⎭，，，322

2EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(10DV =． ∴332(103)02EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭

，，，，， ∴EB ⊥DV ．

又EA ⊥DV ，因此∠AEB 是所求二面角的平面角．

∴21cos 7

EA EB

EA EB EA EB ==，．

． 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系

例4 已知正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．

（1）求∠DEB 的余弦值；

（2）若BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值．

解析：（1）如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，则由AB ＝2a ，OV ＝h ，有B （a ，a ，０）、C （-a ，a ，０）、D （-a ，-a ，０）、V （0，0，

h ）、222a a h E ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，， ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，，． ∴22226cos 10BE DE

a h BE DE a h BE DE -+==+，， 即22

22

6cos 10a h DEB a h -+=+∠；

（2）因为E 是VC 的中点，又BE ⊥VC ，

所以0BE VC =，即3()02

22a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，，，，， ∴22

230222

a h a --=

，∴h =． 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+，，即1cos 3

DEB =-∠．

五、利用图形中的对称关系建立坐标系

图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用

自身对称性可建立空间直角坐标系．

例5已知两个正四棱锥P －ABCD 与

Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4．

（1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；

（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角；

（3）求点P 到平面QAD 的距离．

（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(022)AQ PB =--=-，，，，，1cos 3

AQ PB

AQ

PB AQ PB <>==，．