高二定积分的计算(理科)

年

级

高二学科数学

内容标

题

定积分的计算

编稿老

师

胡居化

一、教学目标：

1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.

2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.

二、知识要点分析

1. 定积分的概念：函数)

(x

f在区间［a，b］上的定积分表示为：⎰b a dx

x

f)

(

2. 定积分的几何意义：

（1）当函数f（x）在区间[a，b]上恒为正时，定积分⎰b

a

dx

x

f) (的

几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰b

a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=

b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.

在图（1）中：0s dx )x (f b

a

>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f b

a

<=⎰

，在图

（3）中：dx )x (f b

a ⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=

b 、x 轴围成的面积的代数和.

注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰b

a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于

⎰

b

a

dx x f )(.

3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积）

（1）⎰⎰⎰±=±b

a b

a b

a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）⎰⎰=b

a b

a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）⎰⎰⎰+=b

c

b a

c a

dx x f dx x f dx x f )()()(

（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥b

a dx x f x f 0)(,0)(则

推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤b

a b

a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则

（2）⎰⎰≤b

a b a dx x f dx x f |)(||)(|

（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-a

a

a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-a

a dx x f

4. 微积分基本定理：

一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b

a -==⎰上可积，则在且

注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰b

a dx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.

（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.

【典型例题】

知识点一：定积分的几何意义

例1．根据⎰=π

200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）

A ．面积为0

B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积

C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积

D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积

题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π

20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x 轴围成的面积的区别.

思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.

解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.

对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的.

根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.

解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π

20)(dx x f .

例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121

0=⎰xdx （2）⎰=

-1024

1π

dx x .

题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数

y=2x ，及y=2

1x -恒为正时，定积分⎰1

02xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，

x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-1

21表示函数y=2

1x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.

思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.

解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =1122

1

=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故121

0=⎰xdx .

（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，

又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=

-1

024

1π

dx x

解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合