第三节 定积分的换元法和

退
a

出
2020年3月7日3时21分
4
第三节 定积分的换元法和分部积分法
应用换元公式时应注意:
本节
知识 引入
（1）用 x (t )把变量x 换成新变量t 时，积分限也
本节 目的
相应的改变.
与要
求
本节 （2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t ) 后，不
重点 与难
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原
计算
1
2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx

1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx

1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx

1
40
(1
1

x2
)dx


f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2
0
1

1 cos2
x
d (cos
x)
( ) 2 . 2 44 4
2020年3月7日3时21分

arctan(cos
与要 求
本节 重点
原式
1 t 3dt
0

[1 4
2 t 4 ]10

1 4
与难
点 注意 使用定积分换元法，最后不必回代过
本节
复习 指导
程。但必须在换元的同时积分上下限也要
作相应的变换。
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2020年3月7日3时21分
14
*例25 求
1 1 x2 dx
1
解 令x=sint，dx=costdt（第二类换元法）
1 2
2 0

1

cos t sin t
sin cos
t t
dt
主 页 后退 目录 退 出

1 2

2

1 2
ln
sin
t

cos
t


2 0

. 4
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16
第三节 定积分的换元法和分部积分法
例 4 设 f ( x)在[a, a]上连续，证明
引入
令 x a sin t, dx a cos tdt,
本节 目的 与要 求
x a t , x 0 t 0, 2
本节 重点 与难 点

原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
本节 复习 指导

2 0
cos t dt sin t cos t
原式


2 2 1 sin2 t costdt 2 2 cos2 tdt
0
0

2 0
1

c
os2tdt

(t

1 2
sin
2t)

2 0

2
2020年3月7日3时21分
15
第三节 定积分的换元法和分部积分法
例3
a
计算
0 x
1
dx.
a2 x2
(a 0)
本节
解 知识
上是奇函数，故
2
x8
sin
xdx

0
2
与难 点
本节 复习
（2）原式 1 1
2
1
dx
x cos x dx
1 x2
1 1 x2
指导
偶函数
奇函数
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1
4 0
1
1
x2
dx
4[arcsin
x]10
2
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19
例6
t3 2[
3

t ]12

8 3
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2020年3月7日3时21分
13
第三节 定积分的换元法和分部积分法

本节
例2
计算 2 sin3 x cos xdx 0
知识 引入
解 令sin x t,则dt cos xdt.
本节 目的
x 0 t 0; x t 1
在 0 a
f
( x)dx 中令x

t
,
2020年3月7日3时21分
17
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
0
a
本节 a f ( x)dx a f (t)dt 0 f (t )dt,
知识
引入
本节 ① f ( x)为偶函数，则 f (t ) f (t ),
目的
与要
求
点 本节
变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限
复习 指导
分别代入(t )然后相减就行了.
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5

例1 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0,
2
x
5
2


4.
5
05
5
2
2020年3月7日3时21分
7
3
e4
dx
例3
计算 e x
. ln x(1 ln x)
3
解
原式 e4 e
d(ln x) ln x(1 ln x)
3
3
e4
e
d(ln x)
e4
ln x (1 ln x) 2 e
3
2 arcsin(
a
0
a
本节
a f ( x)dx a f ( x)dx 0 f ( x)dx
重点
与难 点
本节
a
20 f (t)dt;
复习
指导 ② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
0
a
主 页
a f ( x)dx a f ( x)dx 0 f ( x)dx 0.
9
➢ 换元积分法
例3.求下列定积分
(1) 2 e2x1dx 0
4 x2
(2)0
dx 2x 1
1
(3)
1 x2 dx
0
解: (1)令2x 1 u,则dx 1 du
2
说明: 换积分上下限.通过u=2x+1来计算.
当x=0时,u=1;当x=2时,u=5. 所以
2 e2x1dx

2
1 sin2 t costdt
0
0


2
c os2
tdt

1

2 (1 cos2t)dt
0
20

1 (t 2
1 sin 2t) 2

2 0


4
说明:因换元积分法比较麻烦,建议尽可能使用“凑微分”
2020年3月7日3时21分
12
第三节 定积分的换元法和分部积分法
本节
例1 计算 3 x dx
本节
知识
引入 一、预备知识
本节
目的
与要
求
1.不定积分的换元法（凑微分法、第二
本节 重点
类换元法）
与难
点
本节 复习
2.牛顿-莱布尼兹公式
指导
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2020年3月7日3时21分
3
第三节 定积分的换元法和分部积分法
二、定积分的换元积分法
本节
知识 引入
定理 假设
本节 目的
（1） f ( x)在[a,b]上连续；

0 ( t) f (sin t)dt,
2020年3月7日3时21分
22



0 xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt


0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,

xf (sin x)dx
4

1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
2020年3月7日3时21分
20
例 7 若 f ( x)在[0,1] 上连续，证明


（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx ;
0
0
（2）
xf (sin x)dx

f (sin x)dx .
第三节 定积分的换元法和分部积分法
2020年3月7日3时21分
1
第五章 定积分
本节知识 引入
本节目的 与要求
本节重点 与难点
本节复习 指导
I. 定积分的换元积分法 II. 定积分的分部积分法
主
页 后退 目录
退
出2020年3月7日3时21分
2
第三节 定积分的换元法和分部积分法
I. 定积分的换元积分法
32
udu
0 2x 1
1
u

1 2
3 (u 2 3)du
1
1 2
[
1 3
u
3

3u]
3 1

22 3
2020年3月7日3时21分
11
解: (3)令x sin t,则dx cos tdt
当x 0, t 0;当x 1, t .
2
1
1 x2 dx

2 cos5 x sin xdx 0
x 0 t 1,
0 t 5dt t 6 1 1 .
1
60 6
2020年3月7日3时21分
6
例2

计算
sin3 x sin5 xdx.
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)

2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0

1

cos t sin t
sin cos
t t
dt

1 2

2

1 2
ln
sin
t

cos
t


2 0

. 4
2020年3月7日3时21分
0
20
由此计算
x sin x 0 1 cos2 x
dx .
证 （1）设 x t dx dt, 2
x 0 t ,
2
x t 0, 2
2020年3月7日3时21分
21
2 f (sin x)dx
0


0
2
f
sin
2
2
x )0
23
练一练 求下列定积分
(1) 1e2x5dx 0
(3) e 1 ln x dx 1x
(2)
1 x3 0 1 x4
dx
1
(4)
1
dx
0 x (1 x)
2020年3月7日3时21分
24
练一练（解答）
(1) 1e2x5dx 0

1 2
1
0
e2
x5
d
(2x5)


sin3 x sin5 xdx

cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0


3
2 cos xsin x2 dx
0

cos
xsin
x
3
2
dx


3
2 sin x2 d sin x
0

2

sin
x
3
2
d
sin
x


2
sin
5
x 2
2
2

2
sin
ln x)
e4 e

. 6
d ln x 1 ( ln x)2
2020年3月7日3时21分
8
例4
a
计算
0 x
1
dx.
a2 x2
(a 0)
解 令 x a sin t, dx a cos tdt,
x a t , x 0 t 0,
2

原式 2
a cos t
与要
求
本节 （2）函数 x (t )在[ , ]上是单值的且有连续
重点
与难 点
导数；
本节 复习
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t) 的值
指导
在[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b ，
主
页 后退 目录
则 有 b f ( x)dx f [ (t )] (t )dt .
0 1 x
知识
引入 解 令 1 x t, 则x t 2 1, dx 2tdt.
本节
目的
与要 求
x 0 t 1; x 3 t 2
本节 重点 与难 点
原式 2 t 2 1 2tdt 2 2(t 2 1)dt
1t
1
本节 复习 指导


t
dt


2 f (cos t)dt 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）设 x t dx dt,
x 0 t ,
x t 0,

0
0 xf (sin x)dx ( t) f [sin( t)]dt
1 2
e2x5
1 0

1 2
(e7
后退 目录
退
出
2020年3月7日3时21分
18
第三节 定积分的换元法和分部积分法
例5 计算
本节 知识 引入
本节 目的

(1)
2
x8 sin
xdx
2
解（1）因为 f
(x)

1 2 x cos x
(2)
dx.
1 1 x2
x8 sin x在对称区间 [
，]

22
与要 求
本节 重点
源自文库
本节 知识
① f ( x)为偶函数，则
引入
本节 目的 与要
a
a
f
( x)dx

2 a 0
f
( x)dx；
求
本节 重点
②
f
(
x
)
为奇函数，则 a a
f
( x)dx

0.
与难
点
本节
复习
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
指导
a
a
0
主 页 后退 目录 退 出
0
1 2
5 eudu
1
1 eu 2
5 1

1 (e5 e) 2
注意: 定积分的换元法一定要换积分的上下限.
2020年3月7日3时21分
10
解: (2)令 2x 1 u,则dx udu 当x 0, u 1;当x 4, u 3.
4
x 2 dx
u2 1 2