第四章运输问题

s.t. x11+ x12 + x13 + x14 = 7 x21 + x22+ x23 + x24 = 4 x31 + x32+ x33 + x24 = 9 x11 + x21 + x31 = 3 x12 + x22 + x32 = 6 x13 + x23 + x33 = 5 x14 + x24 + x34 = 6 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3；j = 1、2、3
变量；当产量大于销量时可加入一个虚设 的销地去消化多余的物资，这相当于在需求 约束条件中加上 n 个松弛变量。
例题:已知运输问题的产销量及各产销地之间的运价 如下表，请为下问题建立数学模型。
A
B
C
产量
1
20
16
24
300
2
10
10
8
500
3
M
18
10
100
销量
200
400
300
运输问题求解的有关概念
共有 m+n 行，分别表示产地和销地；有
mn 列分别表示各变量；每列只有两个 1，其
余为 0 。
一般运输问题的提法：
假设 A1、 A2、…、 Am 表示某物资的m个 产地；B1、B2、…、Bn 表示某物资的n个销地； si 表示产地 Ai 的产量；dj 表示销地 Bj 的销量； cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运 价。如果s1 + s2 + … + sm = d1 + d2 + … + dn ， 则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称产
j 1
m
xij bj
j 1,2, , n
i 1
xij 0 i 1,2, , m j 1,2, , n
在实际问题建模时，还会出现如下一些变化：
① 有时目标函数求最大，如求利润最大或营业额 最大等；
② 当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可 直接加入（等式或不等式）约束；
③ 产销不平衡的情况。当销量大于产量时可加入 一个虚设的产地去生产不足的物资，这相当于在产 量约束条件中加上 m 个松弛
系数列向量 pab, pcd, pef,…, pst 线性相关 定理4.1 变量组 xab, xcd, xef,…, xst 所对应的 系数列向量 pab, pcd, pef,…, pst 线性无关的充 分必要条件是这个变量组中不包含闭回路。
推论 产销平衡运输问题的 m + n -1 个变量构 成基变量的充分必要条件是它不含闭回路。
1、基变量的特点 （1）基变量共有 m + n -1 个 （2）产销平衡运输问题的 m + n -1 个变量 构成基变量的充分必要条件是不含闭回路.
定义4.1 在决策变量格凡是能够排列成下列
形式 xab, xac, xdc，xde,…, xst, xsb
（4.7）
或 xab, xcb, xcd, xed,…, xst, xat
第四章 运 输 问 题
本章主要内容
§4.1 运输问题与有关概念 §4.2 运输问题的求解----表上作业法 §4.3 运输问题应用----建模
§4.1 、运输问题模型及有关概念
问题的提出 一般的运输问题就是要解决把某种
产品从若干个产地调运到若干个销地， 在每个产地的供应量与每个销地的需求 量已知，并知道各地之间的运输单价的 前提下，如何确定一个使得总的运输费 用最小的方案。
关于闭回路有如下的一些重要结论： ① 设 xab, xac, xdc, xde,…, xst, xsb 是一个闭 回路，那么该闭回路中变量所对应的系
数列向量 pab, pac, pdc, pde,…, pst, psb 线性 相关；
② 若变量组 xab, xcd, xef,…, xst 中包含一个 部分组构成闭回路，那么该变量组所对应的
解： 这是一个产销平衡的运输问题，设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量（i = 1，2， 3； j = 1，2，3，4）
所以此运输问题的线性规划模型如下： Min f = 3x11+ 11x12+ 3x13+ 10x14+ x21+
9x22 + 2x23+ 8x24+ 7x31+ 4x32+ 10x33+ 5x34
例4.1 某公司从三个产地A1、A2、A3 将物 品运往四个销地B1、B2、B3、B4，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每
件物品的运费如下表所示
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3
10
7
A2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量
3
6
5
6 20（产销平衡）
问应如何调运，可使得总运输费最小?
销不平衡。下面，首先讨论产销平衡问题。
销地 产地
A1
A2
┇
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
Am
cm1
cm2 … cmn
销量
b1
b2 … bn
产量
a1 a2 ┇ am
解：设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量
mn
min f
cij xij
(7.8)
其中，a,d,…,s 各不相同；b,c,…,t 各不相同。
我们称之为变量集合的一个闭回路，并将式
（4-7）、（4-8）中的变量称为这个闭回路 的顶点。
根据定义可以看出闭回路的一些明显特点:：
① 闭回路均为一封闭折线，它的每一条 边，或为水平的，或为垂直的；
② 闭回路的每一条边（水平的或垂直的） 均有且仅有两个闭回路的顶点（变量格）。
i 1 j 1
n
s.t.
xij ai i 1,2, , m
j 1
m
xij bj
j 1,2, , n
i 1
xij 0 i 1,2, , m j 1,2, , n
对于产销平衡问题，可得到下列运输
问题的模型： m n
min f
cij xij
i 1 j 1
n
s.t.
xij ai i 1,2, , m
其系数矩阵为 ：
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
§4.2 运输问题求解——表上作业法
• 求解的过程归纳为: • 一.找出初始基可行解. • 二.求出各非基变量的检验数. • 三.确定换入和换出变量,找出新的基可行解. • 四.重复二.三,直到得到最优解.