《正弦函数、余弦函数的图像》教案设计

正弦函数、余弦函数的图像

一、内容和内容解析：

本节课是高中新教材《数学》必修4§1.4《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法。.为今后学习正弦型函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础．因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用。

二、教学目标

（1）了解如何利用正弦线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像。

（2）掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图。

（3）探究利用“五点法”画与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。

（4）体验利用图象变换作图的方法，体会数形结合的思想。

三、教学支持条件分析：

1．资料的收集

“简谐运动”的实验装置.

2.课件的制作

采用flash软件辅助设计“简谐运动”动画，用flash软件或“几何画板”制作正弦函数图像的几何画法过程.

3.活动的准备:

利用多媒体、实物教具等手段可帮助学生更直观地认识正、余弦函数曲线，以及它们之间的图像变换，并且通过教师的讲解法、谈话法、发现法、启发式教学法，使学生通过一定的观察、思考、分析以及动手操作，更有利学生的自主探索，使学生在学习活动中获得成功感，整堂课在师生的合作学习氛围中进行数学思维，使学生更好的发现数学规律。

四、教学过程

课题导入：

以前，我们已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等，对于各种函数，我们都可以通过它的图像研究它的一些相关性质，那么，我们今天学习的正、余弦函数的图像是什么样子的呢？

探索新知：

1、情景设置：

遇到一个新函数，画出它的图像，通过观察图像获得对它的性质的直观认识，是研究函数的基本方法，为了获得正弦函数和余弦函数的图像，我们先做一个简谐振动的实验，请注意观察它的图形特点。

实物演示：

“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”

思考：1、该曲线是何曲线？

作图过程：

（1）在直角坐标系的x 轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆；

（2）从圆O1与x 轴的交点A 起把圆O1分成12等份（份数宜取6的倍数，份数

越多）画出的图象越精确）；

（3）再把x 轴上从0到2π这一段（ ≈6.28）分成12等份；

（4）过圆O1上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0、6π、3π、2

π、…、2π等角的正弦线；

（5）把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合；

（6）再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到函数y=sinx ,x ∈ [0,2π]的图象。

4、新知拓展：

如何做出函数sin ,y x x R =∈的图像？

因为终边相同的角有相同的三角函数值，三角函数值有周而复始的变化规律。所以函数sin y x =在[0,2)x π∈的图象与函数sin y x =，

[2,2(1)),(,0)x k k k Z k ππ∈+∈≠的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数sin ,()y x x R =∈的图象，即正弦曲线。

【设计意图】：引导学生利用诱导公式（一），只要将函数 y=sinx ,x ∈ [0,2

π]的图像左、右平移（每次2π个单位长度）就可以得到函数

y=sinx ,x ∈ R 的图像。

【师生活动】：师：提示学生从诱导公式入手，进行思考。

生：思考问题，总结规律，动手画图。

5、课本探究：

你能根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图像吗？

由cos sin()2

y x x π==+知，把正弦图像向左平移2π个单位即得余弦函数图像。

探究：能否将正弦函数右移

32π个单位得到余弦函数图像呢？ 可以，由3cos sin()2

y x x π==-可知。 【设计意图】：使学生从函数解析式之间的关系思考函数图像之间的关系，进

而学习通过图象变换画余弦函数图像的方法，让学生感受有了

一个函数图像为基础时，可以通过图像变换得到另一函数的图

像，降低作图的难度。

【师生活动】：师：引导学生思考。

生：利用诱导公式，

回答两个函数之间的关系，再用坐标变换做出余弦函数图

像。

6、课本思考：

在做出正弦函数y=sinx ,x ∈ [0,2π]的图像时，应抓住哪些关键点？

五点作图法：(0,0)、(,1)2π、(,0)π、3(,1)2

π-、(2,0)π 【设计意图】：从对图像的整体观察入手，引出“五点法”。

【师生活动】：师：提出问题。

生：通过观察图像，

确定在[0,2π]上起关键作用的五个点，并通过描出五个点

做图像。

7、课本探究：

类似于正弦函数图像的五个关键点，你能找出余弦函数图像的五个关键点吗？请将它们的坐标写出来，然后做出函数y=cosx ,x ∈ [0,2π]的简图。

五点作图法：(0,1)、(,0)2π、(,1)π-、3(,0)2

π、(2,1)π

【设计意图】：巩固“五点法”，并让学生思考判断五点的横坐标有什么不同