六年级奥数-等差数列及其应用

等差数列及其应用

【知识点拨】

一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。例如：等差数列：3、6、9 ……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。

常用公式：等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2

项数=（末项-首项）÷公差+1

末项=首项+公差⨯（项数-1）=a+(n-1)d

首项=末项-公差⨯（项数-1）

公差=（末项-首项）÷（项数-1）

在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。

【典型例题】

例1．求1＋2＋3＋……＋1998＋1999的和。

【解析】分析首项a＝1，末项b＝1999，项数n＝1999。

S＝（a＋b）×n÷2

例2.求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。

【解析】首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，

项数n＝（198－2）÷2＋1

＝98＋1

＝99。

S＝（a＋b）×n÷2

【练一练】

1、求1＋2＋3＋4＋……＋74＋75的和。

2、求2＋6＋10＋14＋……＋122＋126的和

【典型例题】

例3．有一列数：5，8,11,14…

①求它的第100项的数

②求前100项的和.

【解析】①这个数列是等差数列，首项是5，公差是3，

②=

例4. 在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？

【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：

项数=（末项-首项） 公差+1,便可求出。

（2）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）

解：项数=（201-3）÷3+1=67

末项=3+3⨯（201-1）=603

答：共有67个数，第201个数是603

【练一练】

3、已知一个等差数列的首项为5，公差是2，那么它的第10项、第15项各是多少？

4、求等差数列1、4、7、10 ……，这个等差数列的第30项是多少？

【典型例题】

例5. 有一串数：1,4,7,10…，298，求这串数的和.

【解析】这个数列是等差数列，首项是1，末项是298.

项数：

和：

例6.写出数列：1,2,3,4,5,6…中第n个偶数和第n个奇数.

【解析】数列中的偶数是2, 4 ,6, 8…2n

项数是1 2 3 4…n

第n个偶数=2n

数列中的奇数是1, 3, 5, 7,…

项数是1，2，3，4…n

第n个奇数是2n-1 (n=1,2,3…)

【练一练】

5、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。

6、把105根木材堆积成6层，堆积的时候，若每次上层木材比下层木材少一根，则最下层放多少根？。

【测一测】

1、在8与36之间插入6个数，使它们同这两个数成等差数列。

2、观察规律填写第五、第六个数：1、4、7、10、（）、（）。

3、有一个数列：6、10、1

4、18、22 ……，这个数列前100项的和是多少？

4、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少？

5、在等差数列中4、10、1

6、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？

6、（2002+2000+1998+……+4+2）－（2001＋1999＋1997＋……+ 3+1）

7.、3个连续整数的和是120，求这3个数。

8、6个连续整数的和是273，求这6个数。