最全圆锥曲线知识点总结

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高中数学椭圆的知识总结

1.椭圆的定义:

平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数(12122PF PF a F F +=>),这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

注意:若1212PF PF F F +=,则动点P 的轨迹为线段12F F ;若1212PF PF F F +<,则动点P 的轨迹无图形.

(1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b

y a x (222

a b c =+)⇔{

cos sin x a y b ϕϕ==(参数方程,其中ϕ为参数),焦点在y 轴上时22

22b

x a y +=1(0a b >>)。

2. 椭圆的几何性质:

(1)椭圆(以

122

22=+b

y

a x (0a

b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两个焦点(,0)

c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点

(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ; ④离心率:c

e a

=,椭圆⇔01e <<,e

越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。⑥

(2).点与椭圆的位置关系:①点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200

221x y a b

+>;

②点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b

y a x +=1;③点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200

221x y a b +<

3.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:0∆>⇔直线与椭圆相交;(2)相切:0∆=⇔直线与椭圆相切; (3)相离:0∆<⇔直线与椭圆相离;

如:直线y ―kx ―1=0与椭圆

22

15x y m

+=恒有公共点,则m 的取值范围是_______; 4.焦点三角形(椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形)

5.弦长公式:若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ,且12,x x 分别为A 、B 的横坐标,则AB =2

121k

x x +-,若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标,则AB =2121

1y y k

-+

,若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+,则AB =2

121k

y y +-。

6.圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

122

22=+b y a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=-0

202y a x b ; 如(1)如果椭圆

22

1369

x y +=弦被点A (4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 ; (2)已知直线y=-x+1与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于A 、B 两点,且线段AB 的中点在

直线L :x -2y=0上,则此椭圆的离心率为_______;

(3)试确定m 的取值范围,使得椭圆13

42

2=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称;

特别提醒:因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称

问题时,务必别忘了检验0∆>!

椭圆知识点的应用 1.如何确定椭圆的标准方程?

任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件b a ,;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义

椭圆标准方程中,c b a ,,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:

)0(>>b a ,)0(>>c a ,且)(222c b a +=。

可借助右图理解记忆:

c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边,b 、c 为两条直角边。 3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看2x ,2

y 的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。 4.方程均不为零)C B A C By Ax ,,(2

2

=+是表示椭圆的条件

方程C By Ax =+2

2

可化为

122=+C

By C Ax ,即12

2=+B

C By A C x ,所以只有A 、B 、C 同号,且A ≠B 时,方程表示椭圆。当

B C A C >时,椭圆的焦点在x 轴上;当B

C

A C <时,椭圆的焦点在y 轴上。

5.求椭圆标准方程的常用方法:

①待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;

②定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。

6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点,则c 相同。与椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为

12

222=+++m

b y m a x )(2

b m ->,此类问题常用待定系数法求解。 7.判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据:

① 若把曲线方程中的x 换成x -,方程不变,则曲线关于y 轴对称; ② 若把曲线方程中的y 换成y -,方程不变,则曲线关于x 轴对称;

③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -,方程不变,则曲线关于原点对称。 8.如何求解与焦点三角形△PF 1F 2(P 为椭圆上的点)有关的计算问题?

思路分析:与焦点三角形△PF 1F 2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦

定理(或勾股定理)、三角形面积公式2121sin 2

1

21PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=∆相结合的

方法进行计算解题。

将有关线段2121F F PF PF 、、,有关角21PF F ∠ (21PF F ∠≤21BF F ∠)结合起来,建立

21PF PF +、21PF PF ⨯之间的关系. 9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(<<=

e a

c

e ,因为222b a c -=,0>>c a ,用b a 、表示为)10()(12<<-=e a

b

e 。

显然:当a b 越小时,)10(<

b

越大,)10(<

椭圆形状越趋近于圆。

题型1:椭圆定义的运用

例1.已知1,F F 为椭圆22

1259

x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B +=,则AB =______.

例2.如果方程2

2

2x ky +=表示焦点在x 轴的椭圆,那么实数k 的取值范围是____________.

例3.已知P 为椭圆

22

12516

x y +=上的一点,,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点,则PM PN +的最小值为

题型2: 求椭圆的标准方程

例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)

经过两点2),(A B --;

(2)经过点(2,-3)且与椭圆2

2

9436x y +=具有共同的焦点;

(3)

一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4. 题型3:求椭圆的离心率

例1、ABC ∆

中,30,2,o

ABC

A A

B S ∠===若以,A B 为焦点的椭圆经过点

C ,则椭圆的

离心率为 .

例2、过椭圆的一个焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ,若 12F PF ∆为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为

题型4:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)

例1.已知实数,x y 满足22

142

x y +=,则22x y x +-的范围为 例2.已知点,A B 是椭圆22

221x y m n

+=(0,0m n >>)上两点,且AO BO λ=,则λ=

题型5:焦点三角形问题

例1.已知12,F F 为椭圆22

194

x y +=的两个焦点,p 为椭圆上的一点,已知12,,P F F 为一个直角三角形的三个顶点,且12PF PF >,求

1

2

PF PF 的值. 例2.已知12,F F 为椭圆C:22

184

x y +=的两个焦点,在C 上满足12PF PF ⊥的点的个数为 . 例3.已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -,且离心率1

e 2

= ① 求椭圆的方程; ② 设点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,求cos 21PF F ∠.

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