2-2离散型随机变量及其分布律详解
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【注】分布函数的三个特征：
x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.
单调上升；右连续；阶梯形；在 x xi 处跳跃间断。
•5
y
1
4 5
8 45
1 45
o
F ( x)
1
1 123 Nhomakorabeax
0.8
x
2
3
x
k 例 2.2 设随机变量 X 的分布律为 P{ X i} i ， i 1, 2, 2 试求常数 k ，以及 X 取奇数的概率．
§2
离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念
定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为
x1 , x2 ,
, xi ,
，且
P{X xi } pi ， i 1, 2,
．
，则有 pi 1 ．
i
xi L
结论 2.1 设 L 为任意实数集合，则 PX L
结论 2.2 X 的分布函数 F ( x) P X x pi ,
xi x
p ．
i
x ．
•3
例 2.1 设盒子中有 8 个正品和 2 个次品，现依次不放回地将其 逐个取出，记 X 为首次取到正品时的所取产品个数，试求 X 的 分布律和分布函数 F ( x) ．
P{Y 1} P{Y 0} P{Y 1} 1 3 1 2 20 0 1 0 1 1 1 C3 ( ) (1 ) C3 ( ) (1 ) ． 3 3 3 3 27
例 2.4 设某射手独立地向一目标射击 4 次，每次击中目标 的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的 分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
的各项，因此称 X 服从二项分布．
由贝努里概率模型，在 n 重贝努里试验中，记 X 表 示事件 A 发生的次数，则 X ~ B(n, p) ，其中 p P( A) ， 因此二项分布也称为贝努里分布．
设 X ~ B(n, p) ，当 n 1 时，可得 X 的分布律为
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ，
故 0 1 两点分布为二项分布中 n 1 时的特例．
例 2.3
5 设随机变量 X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p) ，若 P{ X 1} ， 9
求 P{Y 1} ．
5 解 由于 P{X 0} 1 P{X 1} ，及 P{ X 1} 知， 9 4 0 0 2 2 P{ X 0} C2 p (1 p) (1 p) ， 9 1 所以 p ，从而 3
解 由题意知 X 的可能取值为1, 2,3 ，因此 X 为离散型随机 变量．由乘法公式和古典概型概率计算公式得 X 的分布律为 8 4 2 8 8 ， P{ X 1} ， P{ X 2} 10 5 10 9 45 2 1 8 1 4 8 1 P{ X 3} 或 1 ， 10 9 8 45 5 45 45 即
0, 反面向上, 例 1.1 中， X 为离散型随机变量，其分布律为 1, 正面向上
X
P
0
1 2
1
1 2
或
0 X ~1 2
1 1． 2
•2
性质 2.1（离散型随机变量分布律的性质）设离散型随机变
xi x1 x2 量 X 的分布律为 X ~ pi p1 p2 ⑴ pi 0 ， i 1, 2, ； ⑵
1 X ~4 5
2 8 45
3 ． 1 45
•4
（续解 ） X 的分布函数为
0, 4 4 0 , 5 5 F ( x) P X x 4 8 44 5 45 45 , 44 1 1, 45 45
就称上式为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布．
•1
P 1 X 0 1 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
P
x1 p1
x2
L
xi
L p2 pi xi x1 x2 或 X ~ ， pi p1 p2 其中 x1 , x2 ,L , xi ,L 互不相同，且可能为有限个 x1 , x2 ,L , xn ．
，
k 1 解 由 P{ X i} i k i k ，以及分布律的性质 i 1 i 1 2 i 1 2 可得 k 1 ．由上可知， X 的分布律为 1 P{ X i} i ， i 1, 2, ， 2 所以 X 取奇数的概率为 1 1 2 2 P{ X 2i 1} 2i 1 ． 1 2 3 i 1 i 1 2 1 ( ) 2
2．二项分布（贝努里（Bernulli）分布）
定义 2.4
如果随机变量 X 的分布律为
k k P{X k} Cn p (1 p)nk ， k 0,1, 2,
,n ，
就称 X 服从二项分布，记为 X ~ B(n, p) ，其中 n 为正整数， 0 p 1．
k k 注 又 Cn p (1 p)nk 为二项式 [ p (1 p)]n 的展开式中
•7
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布
1． 0 1 两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
P
0 1－ p
1
p
就称 X 服从 0 1 两点分布 ，记为 X ~ B(1, p) ．
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
0, =1 样本点 {1,2 }，则 X ． 1, =2
在现实生活中，0 1 两点分布有着广泛的应用． 例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1 两点分布， 本章例 1.1 中， 1 随机变量 X ~ B (1, ) ． 2
x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.
单调上升；右连续；阶梯形；在 x xi 处跳跃间断。
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y
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o
F ( x)
1
1 123 Nhomakorabeax
0.8
x
2
3
x
k 例 2.2 设随机变量 X 的分布律为 P{ X i} i ， i 1, 2, 2 试求常数 k ，以及 X 取奇数的概率．
§2
离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念
定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为
x1 , x2 ,
, xi ,
，且
P{X xi } pi ， i 1, 2,
．
，则有 pi 1 ．
i
xi L
结论 2.1 设 L 为任意实数集合，则 PX L
结论 2.2 X 的分布函数 F ( x) P X x pi ,
xi x
p ．
i
x ．
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例 2.1 设盒子中有 8 个正品和 2 个次品，现依次不放回地将其 逐个取出，记 X 为首次取到正品时的所取产品个数，试求 X 的 分布律和分布函数 F ( x) ．
P{Y 1} P{Y 0} P{Y 1} 1 3 1 2 20 0 1 0 1 1 1 C3 ( ) (1 ) C3 ( ) (1 ) ． 3 3 3 3 27
例 2.4 设某射手独立地向一目标射击 4 次，每次击中目标 的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的 分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
的各项，因此称 X 服从二项分布．
由贝努里概率模型，在 n 重贝努里试验中，记 X 表 示事件 A 发生的次数，则 X ~ B(n, p) ，其中 p P( A) ， 因此二项分布也称为贝努里分布．
设 X ~ B(n, p) ，当 n 1 时，可得 X 的分布律为
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ，
故 0 1 两点分布为二项分布中 n 1 时的特例．
例 2.3
5 设随机变量 X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p) ，若 P{ X 1} ， 9
求 P{Y 1} ．
5 解 由于 P{X 0} 1 P{X 1} ，及 P{ X 1} 知， 9 4 0 0 2 2 P{ X 0} C2 p (1 p) (1 p) ， 9 1 所以 p ，从而 3
解 由题意知 X 的可能取值为1, 2,3 ，因此 X 为离散型随机 变量．由乘法公式和古典概型概率计算公式得 X 的分布律为 8 4 2 8 8 ， P{ X 1} ， P{ X 2} 10 5 10 9 45 2 1 8 1 4 8 1 P{ X 3} 或 1 ， 10 9 8 45 5 45 45 即
0, 反面向上, 例 1.1 中， X 为离散型随机变量，其分布律为 1, 正面向上
X
P
0
1 2
1
1 2
或
0 X ~1 2
1 1． 2
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性质 2.1（离散型随机变量分布律的性质）设离散型随机变
xi x1 x2 量 X 的分布律为 X ~ pi p1 p2 ⑴ pi 0 ， i 1, 2, ； ⑵
1 X ~4 5
2 8 45
3 ． 1 45
•4
（续解 ） X 的分布函数为
0, 4 4 0 , 5 5 F ( x) P X x 4 8 44 5 45 45 , 44 1 1, 45 45
就称上式为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布．
•1
P 1 X 0 1 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
P
x1 p1
x2
L
xi
L p2 pi xi x1 x2 或 X ~ ， pi p1 p2 其中 x1 , x2 ,L , xi ,L 互不相同，且可能为有限个 x1 , x2 ,L , xn ．
，
k 1 解 由 P{ X i} i k i k ，以及分布律的性质 i 1 i 1 2 i 1 2 可得 k 1 ．由上可知， X 的分布律为 1 P{ X i} i ， i 1, 2, ， 2 所以 X 取奇数的概率为 1 1 2 2 P{ X 2i 1} 2i 1 ． 1 2 3 i 1 i 1 2 1 ( ) 2
2．二项分布（贝努里（Bernulli）分布）
定义 2.4
如果随机变量 X 的分布律为
k k P{X k} Cn p (1 p)nk ， k 0,1, 2,
,n ，
就称 X 服从二项分布，记为 X ~ B(n, p) ，其中 n 为正整数， 0 p 1．
k k 注 又 Cn p (1 p)nk 为二项式 [ p (1 p)]n 的展开式中
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二、几种常见的离散型随机变量的概率分布
1． 0 1 两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
P
0 1－ p
1
p
就称 X 服从 0 1 两点分布 ，记为 X ~ B(1, p) ．
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
0, =1 样本点 {1,2 }，则 X ． 1, =2
在现实生活中，0 1 两点分布有着广泛的应用． 例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1 两点分布， 本章例 1.1 中， 1 随机变量 X ~ B (1, ) ． 2