202X届高三一轮数学(理)复习第17讲定积分及简单应用
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故当 t＝13时，函数 g(t)有最小值．
∫1－33－x2－2xdx＝3x－13x3－x2－1 3＝332.
5．一个质点运动时的速度和时间的关系为
v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则它在[1,2]时间段内
的位移为( A )
17
14
A. 6
B. 3
13
11
C. 6
D. 6
解析：s＝2v(t)dt＝2(t2－t＋2)dt
1
1
＝ 13t3－12t2＋2t12
＝(13×23－12×22＋2×2)－(13×13－12×12＋2×1)
＝83＋2－13＋12－2＝167.
故选 A.
6．(2012·安徽省望江县第三次月考)已知函数
f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(x0)成立，
则 x0＝
.
解析：1－1f(x)dx＝1－1(3x2＋2x＋1)dx
由定积分的几何意义，得 g(t)＝S1(t)＋S2(t) ＝0t [(x2－x)－(t2－t)]dx＋2∫12t[(t2－t)－(x2－x)]dx ＝ [13x3－12x2－t2－tx]t0＋2[(t2－t)x－(13x3－ 21x2]12t ＝13t3－12t2－t3＋t2＋2[(t2－t)12－(13×18－12×14)－(t2－t)t＋ 13t3－12t2] ＝－2t3＋52t2－t＋16.
解析：
【拓展演练 1】
(1)1( －x2＋2x－x)dx＝
；
wk.baidu.com
0
(2)设 f(x)＝2x2x
x≥0 x<0
，则1－1f(x)dx＝
.
解析：(1)1( －x2＋2x－x)dx
0
＝1
－x2＋2xdx－1xdx
0
0
＝π4－12＝π－4 2.
(2)1－1f(x)dx＝0－12xdx＋1x2dx
0
＝ln122x－0 1＋13x301
解析：(1)由曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴围成的图形 的面积
S＝∫32π0|cos x|dx
＝3∫π20cos xdx＝3sin xπ20＝3. 故选 B.
(2)位移为 04t2－4t＋3dt＝13t3－2t2＋3t40＝43(m)．
路程为4|t2－4t＋3|dt＝1(t2－4t＋3)dt－3(t2－4t＋3)dt＋
解析：(1)注意到曲线 y＝x2(x≥0)与 y＝14的交点
(2)(方法一)由题图易知
v(t)＝439t－32t
0≤t≤4 4<t≤6
.
所以
s
＝
6
v(t)dt
＝
0
0434tdt＋469－32tdt＝83t2
4 0
＋
∫9t－34t264＝6＋3＝9.
(方法二)质点在前 6 s 内的位移为三角形的面积 S＝12
＝ x3∫＋x2＋x－1 1＝4，
则由条件得 2(3x20＋2x0＋1)＝4，解得 x0＝－1 或13.
一 定积分的计算
【例 1】(1)(2012·长春市第四次调研)若函数
f(x)＝cos 2
x 0≤x<π2 π2≤x≤2
，则2f(x)dx＝__________；
0
(2)0－1( 1－x2＋ex＋2x)dx＝______________.
0
0
1
4(t2－4t＋3)dt＝4.
3
三 定积分的综合应用
【例 3】若直线 l：y＝t2－t(0<t<12，t 为常数)与函数 f(x)＝x2－x 的图象以及 y 轴所成的封闭图形的面积为 S1(t)，若直线 l 与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为 S2(t)，已知 g(t)＝S1(t)＋S2(t)，当 g(t)取最小值时，求 t 的值．
×6×3＝9.
【拓展演练 2】 (1)由曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围成图形的面积
是(
)
A．2
B．3
5 C.2
D．4
(2)作变速直线运动的质点，其速度(单位：m/s)与时间(单
位：s)的关系式为 v(t)＝t2－4t＋3，则该质点在时间段[0,4]上
的位移是 ，运动的路程是 .
分析：先确定出封闭图形 S1(t)，S2(t)的面积，建立面积 的函数关系式，最后求最值．
解析：由yy＝＝xt22－－tx ，得交点坐标为(t，t2－t)和(1－t， t2－t)，
又因为 0<t<12，所以 t2－t＝(t－12)2－14∈(－14，0)，而函 数 y＝x2－x 的顶点坐标为(12，－14)，
第17讲 定积分及简单应用
1.1f(x)dx＝2，2f(x)dx＝－3，则2f(x)dx＝
.
0
0
1
解析：2f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx＝2＋2f(x)dx＝－3，
0
0
1
1
所以2f(x)dx＝－5. 1
2．(2012·广东省江门市调研)1－1(ex＋2x)dx＝
.
解析： 1－1ex＋2xdx＝ex＋x2－1 1＝e－e－1.
＝12log2e＋13.
二 定积分的简单应用
【例 2】(1)(2012·郑州市高三第二次质量预测)如图，曲线
y＝x2 和直线 x＝0，x＝1，y＝14所围成的图形(阴影部分)的面
积为( )
2 A.3
1 B.3
1 C.2
1 D.4
(2)(2012·广东省肇庆市期末)下图是一个质点作直线运动 的 V-t 图象，则质点在前 6 s 内的位移为__________m.
y＝x 所围成图形的面积 S＝1(x－x2)dx.
0
4．(2012·山西省大同市学情调研)由直线 y＝2x 及曲线
y＝3－x2 围成的封闭图形的面积为( D )
A．2 3
B．9－2 3
35
32
C. 3
D. 3
解析：由yy＝ ＝23－x x2 ，解得 x＝－3 或 x＝1， 所以封闭图形的面积为：
3．(2012·山东高三 5 月冲刺)求曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成
图形的面积，其中正确的是( B )
A．S＝1(x2－x)dx
0
C．S＝1(y2－y)dy
0
B．S＝1(x－x2)dx
0
D．S＝1(y－ y)dy
0
解析：两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上 限是 1，下限是 0，由于在[0,1]上，x≥x2，故曲线 y＝x2 与
故 g′(t)＝－6t2＋5t－1＝－(3t－1)(2t－1)． 令 g′(t)＝0，解得 t＝13或 t＝12(舍去)． 当 t∈(0，13)时，g′(t)<0，函数 g(t)在区间(0，13)上单调 递减；
当 t∈(13，12)时，g′(t)>0，函数 g(t)在区间(13，12)上单调 递增．
∫1－33－x2－2xdx＝3x－13x3－x2－1 3＝332.
5．一个质点运动时的速度和时间的关系为
v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则它在[1,2]时间段内
的位移为( A )
17
14
A. 6
B. 3
13
11
C. 6
D. 6
解析：s＝2v(t)dt＝2(t2－t＋2)dt
1
1
＝ 13t3－12t2＋2t12
＝(13×23－12×22＋2×2)－(13×13－12×12＋2×1)
＝83＋2－13＋12－2＝167.
故选 A.
6．(2012·安徽省望江县第三次月考)已知函数
f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(x0)成立，
则 x0＝
.
解析：1－1f(x)dx＝1－1(3x2＋2x＋1)dx
由定积分的几何意义，得 g(t)＝S1(t)＋S2(t) ＝0t [(x2－x)－(t2－t)]dx＋2∫12t[(t2－t)－(x2－x)]dx ＝ [13x3－12x2－t2－tx]t0＋2[(t2－t)x－(13x3－ 21x2]12t ＝13t3－12t2－t3＋t2＋2[(t2－t)12－(13×18－12×14)－(t2－t)t＋ 13t3－12t2] ＝－2t3＋52t2－t＋16.
解析：
【拓展演练 1】
(1)1( －x2＋2x－x)dx＝
；
wk.baidu.com
0
(2)设 f(x)＝2x2x
x≥0 x<0
，则1－1f(x)dx＝
.
解析：(1)1( －x2＋2x－x)dx
0
＝1
－x2＋2xdx－1xdx
0
0
＝π4－12＝π－4 2.
(2)1－1f(x)dx＝0－12xdx＋1x2dx
0
＝ln122x－0 1＋13x301
解析：(1)由曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴围成的图形 的面积
S＝∫32π0|cos x|dx
＝3∫π20cos xdx＝3sin xπ20＝3. 故选 B.
(2)位移为 04t2－4t＋3dt＝13t3－2t2＋3t40＝43(m)．
路程为4|t2－4t＋3|dt＝1(t2－4t＋3)dt－3(t2－4t＋3)dt＋
解析：(1)注意到曲线 y＝x2(x≥0)与 y＝14的交点
(2)(方法一)由题图易知
v(t)＝439t－32t
0≤t≤4 4<t≤6
.
所以
s
＝
6
v(t)dt
＝
0
0434tdt＋469－32tdt＝83t2
4 0
＋
∫9t－34t264＝6＋3＝9.
(方法二)质点在前 6 s 内的位移为三角形的面积 S＝12
＝ x3∫＋x2＋x－1 1＝4，
则由条件得 2(3x20＋2x0＋1)＝4，解得 x0＝－1 或13.
一 定积分的计算
【例 1】(1)(2012·长春市第四次调研)若函数
f(x)＝cos 2
x 0≤x<π2 π2≤x≤2
，则2f(x)dx＝__________；
0
(2)0－1( 1－x2＋ex＋2x)dx＝______________.
0
0
1
4(t2－4t＋3)dt＝4.
3
三 定积分的综合应用
【例 3】若直线 l：y＝t2－t(0<t<12，t 为常数)与函数 f(x)＝x2－x 的图象以及 y 轴所成的封闭图形的面积为 S1(t)，若直线 l 与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为 S2(t)，已知 g(t)＝S1(t)＋S2(t)，当 g(t)取最小值时，求 t 的值．
×6×3＝9.
【拓展演练 2】 (1)由曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围成图形的面积
是(
)
A．2
B．3
5 C.2
D．4
(2)作变速直线运动的质点，其速度(单位：m/s)与时间(单
位：s)的关系式为 v(t)＝t2－4t＋3，则该质点在时间段[0,4]上
的位移是 ，运动的路程是 .
分析：先确定出封闭图形 S1(t)，S2(t)的面积，建立面积 的函数关系式，最后求最值．
解析：由yy＝＝xt22－－tx ，得交点坐标为(t，t2－t)和(1－t， t2－t)，
又因为 0<t<12，所以 t2－t＝(t－12)2－14∈(－14，0)，而函 数 y＝x2－x 的顶点坐标为(12，－14)，
第17讲 定积分及简单应用
1.1f(x)dx＝2，2f(x)dx＝－3，则2f(x)dx＝
.
0
0
1
解析：2f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx＝2＋2f(x)dx＝－3，
0
0
1
1
所以2f(x)dx＝－5. 1
2．(2012·广东省江门市调研)1－1(ex＋2x)dx＝
.
解析： 1－1ex＋2xdx＝ex＋x2－1 1＝e－e－1.
＝12log2e＋13.
二 定积分的简单应用
【例 2】(1)(2012·郑州市高三第二次质量预测)如图，曲线
y＝x2 和直线 x＝0，x＝1，y＝14所围成的图形(阴影部分)的面
积为( )
2 A.3
1 B.3
1 C.2
1 D.4
(2)(2012·广东省肇庆市期末)下图是一个质点作直线运动 的 V-t 图象，则质点在前 6 s 内的位移为__________m.
y＝x 所围成图形的面积 S＝1(x－x2)dx.
0
4．(2012·山西省大同市学情调研)由直线 y＝2x 及曲线
y＝3－x2 围成的封闭图形的面积为( D )
A．2 3
B．9－2 3
35
32
C. 3
D. 3
解析：由yy＝ ＝23－x x2 ，解得 x＝－3 或 x＝1， 所以封闭图形的面积为：
3．(2012·山东高三 5 月冲刺)求曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成
图形的面积，其中正确的是( B )
A．S＝1(x2－x)dx
0
C．S＝1(y2－y)dy
0
B．S＝1(x－x2)dx
0
D．S＝1(y－ y)dy
0
解析：两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上 限是 1，下限是 0，由于在[0,1]上，x≥x2，故曲线 y＝x2 与
故 g′(t)＝－6t2＋5t－1＝－(3t－1)(2t－1)． 令 g′(t)＝0，解得 t＝13或 t＝12(舍去)． 当 t∈(0，13)时，g′(t)<0，函数 g(t)在区间(0，13)上单调 递减；
当 t∈(13，12)时，g′(t)>0，函数 g(t)在区间(13，12)上单调 递增．