零件的变形及强度计算

绝对变形与杆件的原有尺寸有关，为消除原长度的影响，通 常用单位长度的变形来表示杆件变形的程度，即
ε，ε’分别称为轴向线应变和横向线应变。显然，二者的 符号总是相反的，它们是无量纲量。
2．虎克定律 实验表明，轴向拉伸或压缩的杆件，当应力不超过某一 限度时，轴线变形Δl与轴向载荷FN及杆长l成正比，与杆 的横截面面积成反比。这一关系称为虎克定律，即
四、拉伸和压缩时的变形
1．变形与应变 杆件在受轴向拉伸时，轴向尺寸伸长，横向尺寸缩小。受轴向 压缩时，轴向尺寸缩短，横向尺寸增大。设等直杆的原长为l， 横向尺寸为b。变形后，长为l1，横向尺寸为b1，如图所示。
杆件的轴向变形量为
横向变形量为 Δl称为轴向绝对变形，Δb称为横向绝对变形。 拉伸时，Δl为正，Δb为负；压缩时，Δl为负，Δb为正。
（1）确定AB、BC两杆 的轴力 用截面法在图a上按m-n 截面取研究对象，其受 力图如图c所示，可得
FN 2 FBC , FN1 FAB
列平衡方程求解：
F
y
0
FN 1 sin 60 FP 0
FP 20 103 FN 1 ( ) N 23.09kN sin 60 0.866 FN 2 FN 1 cos 60 0 Fx 0 FN 2 FN 1 cos 60 23.09kN 0.5 11.55kN
杆件在各种不同方式的外力作用下产生不同形式的变形。 变形的基本形式有四种：

轴向拉伸（压缩）变形 剪切（挤压）变形


扭转变形
弯曲变形
其它复杂的变形都 可以看成是这几种 基本变形的组合。
零件变形过大时，会丧失工作精度、引起噪声、降低使用寿 命，甚至发生破坏。 为了保证机械设备在载荷作用下能安全可靠地工作， 必须要求每个构件具有足够的承受载荷的能力，简称 承载能力。
式中，nS是塑性材料的屈服安全系数。 对于脆性材料，在无明显塑性变形下即出现断裂而失效（如铸铁）。 考虑到其拉伸与压缩时的强度极限值一般不同，故有
式中，nb是脆性材料的断裂安全系数；[σl] 和 [σy]分别是拉伸许用应力 和压缩许用应力；σbl和σby分别是材料的抗拉强度和抗压强度。
（三）强度条件
x
0
FN 3 P3 0 FN 3 P3 4kN
计算结果为负值，表明图示N3 的方向相反，AB段受压缩。 （3）绘制轴力图 正轴力画在x轴上方，负轴力 画在x轴下方，如图d所示
轴力图不仅显示了轴力随截面位置的变化情况和最大轴力所在 截面的位置，而且还明显地表示了杆件各段是受拉还是受压。
为了保证零件有足够的强度，就必须使其最大工作应力σmax不 超过材料的许用应力[σ]。即
上式称为拉（压）强度条件式，是拉（压）零件强度计算的 依据。式中，FN是危险截面上的轴力；A是危险截面面积。
根据强度条件式，可以解决三类问题： 强度校核：已知零件的尺寸、所承受的载荷以及材料的许用应力。 设计截面：已知零件所承受的载荷和材料的许用应力。 确定许可载荷：已知零件的尺寸及材料的许用应力。
上述比例极限 p、屈服点 s 和 抗拉强度 b分别是材料处于弹 性比例变形时和塑性变形、断 裂前能承受的最大应力，称为 极限应力。
塑性变形阶段，试样产生的变形是不可恢复的永久变形。该阶 弹性变形阶段，试样的变形与应力 段又分屈服阶段（ bc-塑性变形迅速增加）、强化阶段（cd始终呈线性关系。应力σp称为比例 材料恢复抵抗能力）和颈缩阶段（ de-试样局部出现颈缩）。 极限。图中直线 oa的斜率就是材料 应力σ s称为屈服点，当零件实际应力达到屈服点时，将会引 的弹性模量E。 起显著的塑性变形。应力σ b称为抗拉强度，当零件实际应力 达到抗拉强度应力值时，将会出现破坏。
5.理解零件强度条件，并能够熟练解决强度校核、设计截面
和确定许可载荷问题
变形分析的基本知识
一、变形固体及其基本假设
任何物体受载荷（外力）作用后其内部质点都将产生相对 运动，从而导致物体的形状和尺寸发生变化，称为变形。 例如，橡皮筋在两端受拉后就发生伸长变形；工厂车间 中吊车梁在吊车工作时，梁轴线由直变弯，发生弯曲变形。 在外力的作用下会产生变形的物体可统称为变形固体。 变形固体在外力的作用下会产生两种不同的变形： 当外力消除后，变形也会随着消失，这种变形称为弹 性变形； 外力消除后，变形不能完全消除并且具有残留的变形， 称为塑性变形。
用假象平面在m—m处将杆 截开，分成左右两段，根据
FN
作用力与反作用力定理, FN 和 大小相等、方向相反。 FN
N FP
综上所述，用截面法求内力的步骤为：
1. 一截为二。即在欲求内力处，假想用一截面将零件一截 为二； 2. 弃一留一。即选其中一部分为研究对象并画受力图（包 括外力和内力）； 3. 列式求解。即列研究对象的静力平衡方程，并求解内力。
一、拉伸和压缩的概念
工程上经常遇到承受拉伸或压缩的零件。如图a所示的起 重机吊架中的拉杆AB（拉伸），图b所示的建筑物中的支柱 （压缩）。 受力零件的共同特点是：外力的作用线与零件的轴线重 合，零件的变形是沿轴线方向伸长或缩短。
二、轴向拉伸和压缩时的内力
构件上的载荷和约束力统称为外力。
零件受到外力作用时，由于内部各质点之间的相对位 置的变化，材料内部会产生一种附加内力，力图使各 质点恢复其原来位置。
例2 某车间自制一台简易吊车（图a）。已知在铰接点B处吊起 重物最大为FP=20kN，杆AB与BC均用圆钢制作，且 dBC=20mm，材料的许用应力[σ]=58Mpa。试校核BC杆的强度， 并确定AB杆的直径dAB（不计杆自重）。
解 由受力分析可知， AB杆和BC杆分别为轴 向受拉和轴向受压的 二力杆，受力图如图b 所示。
引进比例常数E，则有
比例常数E称为弹性模量，其值随材料不同而异。 EA乘积越大，零件变形越小，EA称为抗拉（压）刚度。 则有
σ = Eε
上式是虎克定律的又一表达形式，即虎克定律可以表述 为：当应力不超过某一极限时，应力与应变成正比。
五、零件拉伸与压缩时的强度计算
（一）极限应力
在应力作用下，零件的变形和 破坏还与零件材料的力学性能有关。 力学性能是指材料在外力作用下表
（二）许用应力
零件由于变形和破坏而失去正常工作的能力，称为失效。零件在失效前， 允许材料承受的最大应力称为许用应力，常用[σ]表示。为了确保零件的 安全可靠，需有一定的强度储备，为此用极限应力除以一个大于1的系数 （安全系数）所得商作为材料的许用应力[σ]。 对于塑性材料，当应力达到屈服点时，零件将发生显著的塑性变形而失 效。考虑到其拉压时的屈服点相同，故拉、压许用应力同为
如将杆件设想为由无数纵向纤维所组成，由此推想它们的受 力是相同的，在横截面上各点的内力是均匀分布的，横截面 上各点的应力也是相等的。若以FN表示内力（N），A表示 横截面积（mm2），则应力σ(MPa)的大小为
这就是拉（压）杆横截面上的应力计算公式。 σ 的方向与 FN一致，即垂直于横截面。垂直于横截面的应力，称为正 应力，都用 表示。和轴力的符号规定一样，规定拉应力为 正；压应力为负。
（2）校核BC杆强度
BC
FN 2 FN 2 4 11.55 103 Pa 2 3 2 ABC d BC (20 10 ) 4 36.76 106 Pa 36.76MPa [ ]
F
x
0
FN1 R 0 FN1 R 6kN
计算结果为正值，表明图示N1 的方向正确，AB段受拉伸。
BC段
得
F
x
0
FN 2 P 1R0 FN 2 R P 1 (6 18)kN 12kN
计算结果为负值，表明图示N2的方向相反，BC段受压缩。
CD段
得
F
三、拉伸和压缩时的应力

杆件是否破坏，不取决于整个截面上的内力大小，而取
决于单位面积上所分布的内力大小。

单位面积上的内力称为应力，它所反映的是内力在截面
其单位为帕斯卡（Pa），工程上常用兆帕（MPa）。
上的分布集度。

1Pa=1N/m2，1Mpa=106Pa。
通过观察拉杆的变形情况来推测内力的分布情况 取一等直杆，在其侧面上划两条垂直于轴线的直线ab、cd， 如图a所示。并在杆的两端加一对轴向拉力FP，使其产生拉 伸变形。
零件的变形及强度计算
主讲人：李文达 班级：机械1301
零件的变形及强度计算


零件的拉伸和压缩
零件的剪切和挤压


圆轴的扭转
直梁的弯曲 零件组合变形的强度计算 交变应力作用下零件的疲劳强度
学习任务
１.明确材料力学的基本任务，理解构件的强度、刚度和稳定
性的力学意义。 ２.理解内力的概念，能熟练利用截面法求解内力。 ３.理解应力、变形和应变的概念。 ４.能熟练地计算轴力，作轴力图。
例1 试计算如图a所示等直杆的轴力，并画出轴力图。
解： （1）求约束反力 取全杆为研究对象，作受力图，如图b所示。 根据平衡方程：
F
则
x
0
P 1P 2 P 3 R0
得
RP 1P 2 P 3 (18 8 4)kN 6kN
（2）分段计算轴力
按外力作用位置，将杆分成三段，并在每段内任意取一个 截面，用截面法计算截面上的轴力，如图c所示 AB段 得
三、稳定性
构件受载后保持原有平衡状态的能力。 例如千斤顶的螺杆，内燃机的连杆等。
本单元主要研究构件在载荷 （外力）作用下的变形、受力 与破坏的规律，在保证构件既 安全适用又尽可能经济合理的 前提下，为构件选择合适的材 料、确定合理的截面形状和尺 寸提供必要的基础知识和实用 的计算方法。
第一节 零件的拉伸和压缩
附加内力的大小随外力的增加而增加，当附加内力 增加到一定限度时，零件就会破坏。因此，在研究 零件承受载荷的能力时，需要讨论附加内力。后面 的讨论中所述的内力，都是指这种附加内力。