2020年浙江高考数学一轮复习： 随机变量及其分布

解：(1)由题意知，ξ 的可能取值为 1,2,3,4,5.且
P(ξ＝1)＝15，P(ξ＝2)＝45×14＝15，P(ξ＝3)＝45×34×13＝15，P(ξ＝
4)＝45×34×23×12＝15，P(ξ＝5)＝45×34×23×12×1＝15. 所以随机变量 ξ 的分布列是
ξ
12
3
4
5
P
11 55
1 5
X
x1 x2
…
xi …
xn
P
p1 p2
…
pi …
pn
此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列．
有时也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n 表示 X 的分布列． (2)分布列的性质
①pi ≥
n
0，i＝1,2,3，…，n；②pi＝ 1 .
i＝1
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3．两点分布
X
0
1
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2．(2019·台州高三年级调考试题)已知离散型随机变量 X 的分 布列为
X
0
1
2
P
a
1 2
1 4
则变量 X 的数学期望 E(X)＝_______，方差 D(X)＝_______.
答案：1
1 2
3．有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地
任取 3 件，若 X 表示取到次品的次数，则 D(X)＝________.
考点二 离散型随机变量分布列的求法
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[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
某人有 5 把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他 醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一
去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门
的次数为 ξ，试求 ξ 的分布列，并求他至多试开 3 次的概率．
解析：a＝1－16－16－13＝13，
E(X)＝1×16＋2×13＋3×16＋4×13＝83.
答案：13
8 3
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4．(2019·湖州期末)某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽 车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则该 汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为________． 解析：汽车遇红灯而停一次的概率为 p＝23×12×23＋13×12×23＋ 13×12×13＝178. 答案：178
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解：(1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概
率为 P＝25×34＝130. (2)由题意可知 X 的可能取值为 200,300,400，
则 P(X＝200)＝25× ×14＝110；
P(X＝300)＝35× ×24× ×13＋25× ×34× ×23＝130；
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝35， 所以 X 的分布列如下表所示：
1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名．观众乙和丙对
5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中选 3 名歌手．
(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；
(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”
的事件概率．
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解：(1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”，B 表示事件 “观众乙选中 3 号歌手”， 则 P(A)＝CC3212＝23，P(B)＝CC2354＝35. ∵事件 A 与 B 相互独立，A 与 B 相互独立，则 A·B 表示事件 “甲选中 3 号歌手，且乙没选中 3 号歌手”． ∴P(A B )＝P(A)·P( B )＝P(A)·[1－P(B)]＝23×25＝145. 即观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率是145.
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5．独立重复试验与二项分布
独立重复试验
二项分布
在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事
在 相 同 条 件 下 重 复 件 A 发生的次数，设每次试验中事件
定
做的 n 次试验称为 n A 发生的概率为 p，此时称随机变量 X
义 次独立重复试验
服从二项分布，记作 X～B(n，p) ，
并称 p 为 成功概率
解析：∵每次取球取到红球的概率均为25， ∴ξ～B5，25， ∴P(ξ＝1)＝C15×25×354＝166225，E(ξ)＝5×25＝2. 答案：166225 2
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3．(2019·浙江名校联考信息卷)已知随机变量 X 的分布列如下：
X
1
2
3
4
P
1 6
a
1 6
1 3
则 a＝________，数学期望 E(X)＝________.
第六 节 随机变量及其分布
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
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必过 教材 关
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1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母
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必过易错关
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1．对于分布列易忽视其性质 p1＋p2＋…＋pn＝1 及 pi≥0 (i＝1,2，…，n)，其作用可用于检验所求离散型随机 变量的分布列是否正确．
2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示 的事件是彼此互斥的．
3．理解均值 E(X)易失误．均值 E(X)是一个实数，由 X 的分 布列唯一确定，即 X 作为随机变量是可变的，而 E(X)是 不变的，它描述 X 值的取值平均状态．
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[即时应用] 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区 分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件 次品或者检测出 3 件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率． (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测 出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位： 元)，求 X 的分布列．
计 Ai(i＝1,2，…，n)表 在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好
算 示第 i 次试验结果，
公
则
P(A1A2A3…An)＝
发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Cnkpk (1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n)
式 P(A1)P(A2)…P(An)
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6．均值
(1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：
1 5
1 5
设他至多试开 3 次为事件 A，则 P(A)＝15＋15＋15＝35.
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[由题悟法] 离散型随机变量分布列求法的 3 个步骤 (1)找出随机变量 X 的所有可能取值 xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率 P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事 件的概率是否正确． [提醒] 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变 量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、 古典概型等知识．
9c2－c≥0， 3－8c≥0， 9c2－c＋3－8c＝1，
答案：C
得 c＝13.
2．设离散型随机变量 X 的分布列为
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X
0 12
3
4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求 2X＋1 的分布列．
解：由分布列的性质，知 0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 解得 m＝0.3. 列表
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 离散型随机变量的分布列的性质
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[题组练透]
基础送分型考点——自主练透
1．(易错题)若离散型随机变量 X 的分布列为
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
则常数 c 的值为
()
A.23或13
2 B.3
1 C.3
D.1
解析：根据离散型随机变量分布列的性质知
X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以 一一列出 的随机变量．
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2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，
xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格 的形式表示如下：
n
度．而 D(X)＝ (xi－E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平均，刻
i＝1
画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度 ．称 D(X)为随机
变量 X 的方差，并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差．
(2)D(aX＋b)＝ a2D(X) ． (3)若 X 服从两点分布，则 D(X)＝p(1－p) ． (4)若 X～B(n，p)，则 D(X)＝ np(1－p) ．
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[小题体验]
1．袋中有 2 个黑球和 6 个红球，从中任取 2 个，可以作为随
机变量的是
()
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球
D．至少取到一个红球的概率 解析：取到的球的个数为 2 是必然事件，故排除 A；至少
取到一个红球是事件，故排除 C；至少取到一个红球的概
率是确定的数，故排除 D.所以选 B. 答案：B
4．注意 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)易错．
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5．易混“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立 是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有 影响，两个事件相互独立不一定互斥．
6．易混淆二项分布与两点分布 由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项 分布，即 n＝1 时的二项分布．
X x1 x2 …
xi
…
xn
P p1 p2 …
pi
…
pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的
均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量， 且 E(aX＋b)＝ aE(X)＋b .
解析：∵X～B3，14，∴D(X)＝3×14×34＝196. 答案：196
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4．已知 A，B 是相互独立事件，且 P(A)＝12，P(B)＝23，
则 P(A B )＝________；P( AB )＝________.
解析：因为 A，B 是相互独立事件，且 P(A)＝12，P(B)＝23，
Hale Waihona Puke Baidu
X
0
1 23 4
2X＋1
1
3 57 9
所以 2X＋1 的分布列为
2X＋1 1
357
9
P
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
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[谨记通法] 应用离散型随机变量分布列性质的 1 个注意点 利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意 检验，以保证每个概率值均为非负数．如“题组练透”第 1 题．
所以 P(A B )＝P(A)(1－P(B))＝12×13＝16；P( AB )＝[1－P(A)]
[1－P(B)]＝12×13＝16.
答案：16
1 6
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5．(教材习题改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续 测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是________． 解析：所求概率 P＝C31·131·1－133－1＝49. 答案：49
P
__1_－__p_
p
若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两
点分布，并称 p＝ P(X＝1) 为成功概率．
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4．事件的相互独立性 (1)定义：设 A，B 为两个事件，若 P(AB)＝ P(A)P(B) ，
则称事件 A 与事件 B 相互独立． (2)性质：
①若事件 A 与 B 相互独立，则 P(AB)＝ P(A)P(B) ． ②如果事件 A 与 B 相互独立，那么A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也相互独立．
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[小题纠偏] 1．已知随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝2ia(i＝1,2,3)，
则 P(X＝2)＝________.
解析：由分布列的性质知21a＋22a＋23a＝1，∴a＝3， ∴P(X＝2)＝22a＝13. 答案：13
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2．(2018·浙江五校联考)一个不透明的袋子中装有质地均匀、 大小相同的 2 个红球和 3 个白球，每次从袋子中取出一个 球，若有放回地取 5 次，记取到红球的次数为随机变量 ξ， 则 P(ξ＝1)＝________，E(ξ)＝________.
(3)①若 X 服从两点分布，则 E(X)＝ p ； ②若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np .
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7．方差
(1)设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi …
xn
P p1 p2 … pi …
pn
则 (xi－E(X))2 描述了 xi(i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的偏离程
X 200
300 400
P
1 10
3 10
3 5
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考点三 相互独立事件同时发生的概率
[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 到 5 号)登台演唱，由现
场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地
在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选