函数图象过定点问题总结

函数图象过定点问题总结

在初中我们学习过的函数中,有些函数的图象具有过定点的性质,如正比例函数kx y =)0(≠k ,无论k 取不等于0的任何值,当=x 0时,都有=y 0,所以其图象是一条经过定点（0,0）即坐标原点的直线;对于一次函数b kx y +=)0(≠k ,当b 确定时,无论k 取不等于0的任何值,其图象总经过定点),0(b ;对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a ,当c 确定时,无论b a ,取何值,其图象总经过定点),0(c .

针对这类函数,我们关心的是如何求出定点的坐标.常使用的方法有:

（1）特殊值法;

（2）分离参数法;

（3）变换主元法.

其中,有时候最简单的方法是特殊值法,最常用的方法是分离参数法.

下面给出以上三种方法的具体介绍:

特殊值法

例1.无论m 为任何实数,抛物线m x m x y +-+=)2(2总过的点是 【 】

（A ）( 1 , 3 ) （B ）( 1 , 0 ) （C ）)3,1(- （D ）)0,1(-

解: 任意赋予m 两个特殊值,不妨设=m 0和=m 2

则对应的两个函数解析式为:x x y 22+=,22+=x y

联立得到方程组⎩⎨⎧+=+=2

222x y x x y 解之得:⎩⎨⎧==3

1y x 检验:把⎩⎨⎧==3

1y x 代入m x m x y +-+=)2(2中,发现无论m 为任何实数,等式总成立.

∴抛物线m x m x y +-+=)2(2总经过定点( 1 , 3 ),故应选【 A 】.

归纳总结:

1．这类函数有一个特点,那就是它们的解析式里面含有1个或2个的变系数,也可称为参数,如例1中的m ,参数的值可以改变,不同的参数值对应不同的函数解析式.

2.利用这类函数的图象过定点的性质,我们可以给参数（变系数）指定两个特殊值,继而得到两个具体的函数解析式,联立两个解析式为方程组,方程组的解就是定点的横坐标与纵坐标.

另外,需要指出的是,若方程组的解不唯一,则定点也不唯一.

分离参数法

例 2.求证:抛物线12)2()3(2-+-+-=k x k x k y )3(≠k 过定点,并求出定点的坐标.

解:整理得:)2(12322-----=x x k x x y )3(≠k

令022=--x x

解之得:2,121=-=x x

把2,121=-=x x 分别代入)2(12322-----=x x k x x y 得:

7,421==y y

把⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=7

2,412211y x y x 分别代入该抛物线的解析式,无论k 取不等于3的何值,等式总成立

∴抛物线12)2()3(2-+-+-=k x k x k y )3(≠k 过定点,且定点有两个,定点坐标分别为)4,1(-、( 2 , 7 ).

归纳总结:

使用分离参数法的一般步骤是:

（1）对含有参数的项集中;

（2）对所有含参数的项进行因式分解,把参数用提公因式法提出来;

（3）提出公因式后令剩下的因式等于0,得到一个关于自变量x 的方程（这时参数如何变化,都“失效了”）;

（4）解方程 方程的解0x x =是定点的横坐标,把解0x x =代入解析式得到的函数值0y y =是定点的纵坐标.

经过以上步骤,求出定点的坐标为),(00y x .

若方程的解不唯一,则定点的个数也不唯一.

变换主元法

我们在七年级学习一元一次方程的时候,要把方程化为b ax =的形式,其解分为三种情况:

（1）当0≠a 时,方程有唯一解:a

b x =; （2）当0==b a 时,方程的解为全体实数;

（3）当0,0≠=b a 时,方程无解.

把函数的解析式化为b am =（m 为参数,b a ,为含有y x ,的代数式）的形式,无论．．m 取何值．．．,．既然函数的图象经过定点．．．．．．．．．．．,．那么令．．．0==b a ,得到关于y x ,的二元方程组（注意,不一定是二元一次方程组）,方程组的解即为定点的坐标. 以上处理问题时,把参数m 当做主元来处理,相当于方程b ax =里面的x ,这或许就是这种方法名称的由来吧!

以上所有内容供同学们作为常识知识储备.

例3.无论m 为任何实数,抛物线m x m x y +-+=)2(2经过定点________. 解:∵m x m x y +-+=)2(2

∴m mx x x y +-+=22

∴y x x m x -+=-2)1(2（＊）

令⎩⎨⎧=-+=-0

2012y x x x ,解之得:⎩⎨⎧==31y x

∴无论m 为任何实数,⎩⎨⎧==3

1y x 恒满足等式（＊）,即抛物线m

x m x y +-+=)2(2恒经过定点(1,3).

★1. 无论m 取何值,函数()34--=m mx y 的图象过定点________.

★2. 二次函数c bx x y ++=2满足2=-c b ,则这个函数的图象一定经过某一个定点,这个定点是________.

★3. 无论k 为何值,直线23++=k kx y 必经过点________.

★4. 抛物线12)2()3(2-+-+-=m x m x m y ()3≠m 经过的定点是________. ★5. 某数学兴趣小组研究二次函数)0(322≠+-=m mx mx y 的图象发现,随着m 的变化,这个二次函数的图象形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点,请你写出这两个定点的坐标:________________.

★6. 对于二次函数1)12(2---=x a ax y )0(≠a ,下列说法正确的有 【 】 ①无论a 取何值,此二次函数的图象与x 轴必有两个交点;

②无论a 取何值,图象必过两个定点,且两个定点之间的距离为2;

③当0>a 时,函数在1

④当0

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个