时间序列分析总结

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自协方差函数 k>1时, k 0 AR(p)模型的自协方差函数
X t 1 X t 1 p X t p t
p E X t p X t k E t X t k E X t X t k 1E X t 1 X t k
时间序列分析总结

自协方差函数 MA(1)模型的自协方差函数
X t t 1 t 1
k=0时,
E Xt Xt k E t X t k 1E t 1 X t k
0 E X t X t E t X t 1E t 1 X t
2 2 1 2 12 2 2 2 1 2 1
1 11 1 1 2
2
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32
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1
1
1
33
1 2
1
1 1
1
1 2
1
1 1 1 2 1 1 3 2 1 2 1 1 1 1 2

则(Yule-Walker方程) 01 12 p 1 p 1 11 02 p 2 p 2
p 2 2 0 p p p 1 1
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自协方差函数 样本的自协方差函数为
N 1 ˆ* X t X t k k N k t k 1
1 N ˆk X t X t k , k 0,1,, N 1 或 N t k 1

样本的自相关函数为
ˆk t k 1 ˆk N ˆ0
XX
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逆函数与可逆性 上述式子称为逆转形式
Ij
逆函数
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自协方差函数 理论自相关函数与样本自相关函数 随机变量X与Y的协方差函数为

XY E X X Y Y 其中, X 为X的期望, Y 为Y的期望,X,Y的相关
E X t X t k 1E X t 1 X t k E t X t k

k=0时,

E X t X t 1E X t 1 X t E t X t
0 1 1
2
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则AR(1)模型可以写成
1 1B X t t
其解为
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平稳性
t Xt 1 1 B
1 1 B 12 B 2 t
t 1t 1 12 t 2
1 t j G j t j

k=1时, 1 1E X t 1 X t 1 p E X t p X t 1 E t X t 1
1 0 p p 1
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自协方差函数 k=2时,
2 1 1 p p2

1 E t 1 t 1 12 E t 1 t 2 1 2 k=2时,
2 E X t X t 2 E t X t 2 1E t 1 X t 2
0
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函数为
XY
Var X Var Y
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XY
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自协方差函数 对于ARMA模型,自协方差函数为
k cov X k , X t k

自相关函数为
k k 0
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t 1 t 1 2 t 2 令1j j
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t 1at 1 12t 2
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平稳性 AR(1)模型的后移算子表达式及格林函数 B 后移算子,B的次数表示后移期数。如

BX t X t 1, B2 X t X t 2
cov X t , X t k k , k
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ARMA模型 AR(p)模型 如果时间序列 X t 满足

X t 1 X t 1 p X t p t
其中对于任意的t, t 满足
E t 0
E t t 1E t t 1 1E t 1 t 12 E t 1 t 1 1 12 2
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自协方差函数 k=1时, 1 E X t X t 1 E t X t 1 1E t 1 X t 1
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自协方差函数 对于一般地的k>0,
k 1 k 1

由此,
2 2 2 0 1 1 1 1 0 0 1 12
k 1 k 1 , k 0
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例3.12 求AR(2)序列的偏自相关系数。 t 解: 对 X t 1 X t 1 2 X t 2 ,计算可以得到
1 1 12 2 22 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 22 2 1 1 1 12 1 1 1 1 1 2
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自协方差函数 k=0时, 0 E X t X t 1E X t 1 X t
p E X t p X t E t X t 1 1 p p 2
则称时间序列 X t 服从q阶自回归模型,记为MA(q)。 ,, 称为移动平均系数。
1 q
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ARMA(p,q)模型 如果时间序列 X t 满足

X t 1 X t 1 p X t p t 1 t 1 q t q
j j 0

j 0
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平稳性 AR(1)模型平稳
1 1

1 1 ,系统存在某种趋势或季节性。 1 1时,系统非平稳。

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平稳性 AR(1)模型 X t的方差
j 0 Var X t Var 1 t j j 0 2j 1 Var t j

可逆性 若ARMA模型
X t 1 X t 1 p X t p t 1 t 1 q t q
可以表示为
j t 1 I j B X t j 1
1 I1B I 2 B 2 X t
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2015,06.15

期末考试题型 填空题40% 计算题50% 证明题10%

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平稳模型

严平稳 宽平稳 设时间序列 X t 存在二阶矩 EX t2 ,如果
X 满足 t
(1) X t 的均值 EX t是常数; (2) X t 的自协方差只与间隔长度有关,即

自协方差函数 k=1时,


E Xt Xt 1 1E Xt 1 Xt 1 E t X t 1
1 1 0
k=2时,
E X t X t 2 1E X t 1 X t 2 E t X t 2
2 1 1
2 j 1 1B 2 B G j B t 1 1B t j 0

B满足一个迭代
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Fra Baidu bibliotek
X t 1j t j


格林函数

j 0
Gj Gj
X t G j t j
j 0
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平稳性 AR(1)系统的格林函数
Gj

j 1
AR(1)模型的无限阶MA模型逼近
X t 1j t j
j 0
则称时间序列 X t 服从p,q阶自回归模型,记为 ARMA(p,q) 。
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一阶自回归模型AR(1): 如果时间序列 X t 满足

X t c 1 X t 1 t
其中对于任意的t,
E t 0
t 满足
Var t 2 0
则称时间序列 X t 服从p阶自回归模型,记为AR(1)。
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平稳性 AR(1)系统的格林函数
X t 1 X t 1 t
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平稳性 AR(1)系统的格林函数 依次推导,得
1 2 1 11 2 1 2 2 1 0 1 2 1 1 1 1
kk 0, k 3
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待估参数

p q 1 个未知参数
1,,p ,1,,q ,
Var t 2 0
则称时间序列 X t 服从p阶自回归模型,记为AR(p)。 1 ,, p称为自回归系数。
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ARMA模型 MA(q)模型 如果时间序列 X t 满足

X t t 1t 1 qt q
t 2 X t t 1
N
t k
ˆ N * ˆk 或 ˆ N k
* k * 0
t k 1 N
XX
t 2 X t t 1
N
t k
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自协方差函数 AR(1)模型的自协方差函数
X t 1 X t 1 t
j 0
12 j 2
j 0
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平稳性 AR(1)模型
X t的方差
j 0
Var X t 2 12 j
2 1 12
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平稳性 ARMA(2,1)模型的格林系数
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