上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章 线性系统的能控性和能观性4概要

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4.4 时变系统的能控性和能观性 一、能控性判据

1、有关线性系统能控性的几点说明

1)允许控制u(t),其元在时间[t 0,t f ]上绝对平方可积。 2)能控状态和控制作用的关系式

τ

ττττ

τττττττd )(u )(B ),t (d )(u )(B ),t ()t ,t (X 0

d )(u )(B ),t (X )t ,t ()t (X f

f

f

t t 0t t f 0f 1

0t t f 00f f ⎰⎰⎰-=-==+=-ΦΦΦΦΦ

)

8.3.4(d )(u )(B ),t (X f

t t 00τ

τττ⎰-=∴Φ

3)非奇异变换不改变系统的能控性

设系统在变换前是能控的,它必满足(4.3.8) 即 τ

τττd )(u )(B ),t (X f

t t 00⎰-=Φ

若取变换矩阵P ,对X 进行线性变换

X P X =

则有

B P B AP P A 11

--==

即 B P B P

A P A 1

==-

将上述关系式代入(4.3.8)式,有

τ

τττφ-=τ

τττφ-=τ

τττφ-=⎰⎰⎰-d )(u )(B ),t (X d )(u )(B P ),t (P X d )(u )(B P ),t (X P f

f

f

t t 00t t 010t t 00

上式表明非奇异变换不改变系统的能控性

4)如果0X 是能控状态,则0X α也是能控状态,α是任意非零实数。

5)如果01X 和02X 是能控状态,则0201X X +也是能控状态。 6)由线性代数关于线性空间的定义可知,系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间,此子空间称为系统的能控子空间,记为c X 。

例:u 11x x 1001x x

2121⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 解:系统的能控状态为21x x =的状态,为两维状态空间中的一条450斜线。

2、线性连续时变系统的能控性判据 1)【定理】时变系统的状态方程为

)t (U )t (B )t (X )t (A )t (X

+= 系统在[t 0,t f ]上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵

⎰φφ=f

t t 0T T 0f 0c dt )t ,t ()t (B )t (B )t ,t ()t ,t (W

为非奇异。 证明:略

例:试判断下列系统的能控性

u 10x x 00t 0x x

2121⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥

⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡

解:(1)首先求状态转移矩阵

...}d 000{!21d 000I )t ,0()

t (A )t (A )t (A )t (A 2

0t 0

t 1221+τ⎥⎦⎤⎢⎣⎡τ+τ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡τ+=φ∴=⎰⎰

=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡

-10

t 2112 (2)计算能控性判别阵)t ,0(Wc f

⎰φφ=f

t 0

T T f c dt )t ,0()t (B )t (B )t ,0()t ,0(W

[]⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣⎡--=⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰⎰

f 3f

3f 5

f t 0224

2t 0

2f c t t 6

1t 6

1t 201dt 1t 2

1t 21t 41dt 1t 2101101010t 211)t ,0(W f f

(3)判别)t ,0(Wc f 是否为非奇异

det 6

f 6f 6f f t 451t 361t 201)t ,0(Wc =-=

当0t 451)t ,0(Wc det ,0t 6

f f f >=>

所以系统在[0,t f ]上是能控的

2)【定理】(充分条件)设系统的状态方程为

)t (U )t (B )t (X )t (A )t (X

+= A(t),B(t)的元对时间t 分别是n -2和n -1次连续可微的。

记 1

n ,....,2,1k )

t (M dt

d )t (M )t (A )t (M )

t (B )t (M 1

k 1k k 0-=+-==--

令 )]t (M )t (M )t (M [)t (Q 1n 10c -=

如果存在某个时刻0t f >,使得在时间区间[t 0,t f ]上 如有

n )t (rankQ c =

则该系统在[t 0,t f ]上是状态完全能控的。 证明:略

例:(上例)试判断下列系统的能控性

u 10x x 00t 0x x

2121⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥

⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 解:

t

)t (Q det 01t 0)]t (M )t (M [)t (Q 0t 1000t 0)t (M )t (M )t (A )t (M 10B )t (M c 10c 0

010=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=⎥

⎢⎣⎡==

只要t ≠0 rankQ c (t)=n=2

所以系统在时间区间[0,t f ]上是能控的 二、能观性判别

1、有关线性系统能观性的几点讨论 1)不能观测状态的数学表达式 ]t ,t [t 0)t (X )t ,t ()t (C f 000∈≡φ (4.3.9)

2) 非奇异变换不改变系统的能观性

3)如果0X 是不能观状态,则0X α也是不能观状态,α是任意非零实数。

4)如果01X 和02X 是不能观状态,则0201X X +也是不能观状态。

5)由线性代数关于线性空间的定义可知,系统中所有的不能观状态构成状态空间中的一个子空间,此子空间称为系统的不能观子空间,记为o X 。 例:

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