第10章 齿轮机构及其设计习题解答

第
10章 齿轮机构及其设计
一、本章教学基本要求 （1）了解齿轮机构的分类及应用；
（2）掌握齿轮啮合基本定律与共轭齿廓；
（3）掌握渐开线及渐开线齿廓；
（4）掌握渐开线标准直齿圆柱齿轮及其啮合传动；
（5）了解渐开线齿廓的切制及变位齿轮；
（6）掌握斜齿圆柱齿轮传动、了解蜗杆传动、圆锥齿轮传动。

二、重点知识
1．齿轮机构的分类
用于平行轴传动的齿轮机构（直齿、斜齿）
用于相交轴传动的齿轮机构（圆锥齿轮）
用于交错轴间传动的齿轮机构（蜗杆蜗轮）
2．齿轮的齿廓曲线
概念：节点、节圆
齿廓啮合基本定律
齿廓曲线的选择
3．渐开线齿廓的啮合特点
渐开线的形成及其特性（5条特性）
渐开线方程及渐开线函数
渐开线齿廓啮合的特点：渐开线齿廓能保证定传动比传动；渐开线齿廓之间的正压力方向不变；渐开线齿廓传动具有可分性。

4．渐开线标准齿轮的基本参数和几何尺寸
齿轮的5个基本参数：z c h m a 、、、、**
齿轮各部分的名称及几何尺寸计算（主要是4个圆）
5．渐开线圆柱直齿轮的啮合传动
一对渐开线齿轮正确啮合条件；齿轮传动的中心距和啮合角；一对齿轮的啮合过程及连续传动条件、重合度。

6．渐开线齿轮的变位修正
1）齿轮变位的原因；
2）变位修正齿轮的切制；
3）变位齿轮的几何尺寸计算；
4）变位齿轮传动：变位齿轮传动的中心距；变位齿轮传动的类型及其特点；变位齿轮传动的设计步骤。

7．斜齿圆柱齿轮传动
1）6个基本参数（z c h m n an n n 、、、、、**αβ）及几何尺寸计算
2）一对斜齿正确啮合的条件；
3）斜齿轮传动的重合度；
4）斜齿轮的当量齿轮及其当量齿数；
5）斜齿轮传动的主要优缺点。

8．蜗杆传动
1）蜗杆传动的类型及特点；
2）蜗杆蜗轮传动正确啮合条件；
3）蜗杆传动的主要参数即几何尺寸。

9．圆锥齿轮传动
1）直齿圆锥齿轮的当量齿轮及当量齿数；
2）一对圆锥齿轮的正确啮合条件；
3）直齿圆锥齿轮传动的几何参数和尺寸计算。

三、本章的考点包括以下几个方面
1．渐开线直齿圆柱齿轮啮合原理；
2．渐开线的性质；
3．标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算；
4．齿轮的切削加工原理、根切现象及最小齿数；
5．变位齿轮的设计；
6．用图解法和解析法求重合度及重合度的意义；
7．斜齿圆柱齿轮的特点及设计计算；
8．当量齿轮、当量齿数及其用途；
9．蜗杆蜗轮传动特点、设计计算及旋向的确定。

四、常见题型精解
10-1 已知一对渐开线齿轮的基圆、齿顶圆及主动轮1的角速度1ω的方向，试作出啮合线、并指出理论啮合线段和实际啮合线段。

分析 根据渐开线的性质,啮合线必和两轮的基圆相切,由于逆时针方向旋转,故其应与轮1基圆的左下方和轮2的右上方,设切点分别为21N N 、，21N N 、与轮1和轮2齿顶圆的交点分别为21B B 、，则21N N 为理论啮合线段，21B B 为实际啮合线段。

解：如图所示
评注 本题主要考查对渐开线齿轮啮合原理和渐开线的性质及其相关知识的理解。

10-2 设计一对渐开线外啮合标准直齿圆柱齿轮机构。

已知,5,37,1821mm m z z ===
1,20*==a h α，试求：
（1） 两轮的几何尺寸及中心矩；
（2） 计算重合度，并以长度比例尺mm mm l /2.0=μ绘出一对啮合区和两对齿啮合区。

分析 本题没有难度，主要是训练对标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算公式的应用和掌握。

10-1题图
解：（1）两轮几何尺寸及中心矩
mm mz d 9018511=⨯==
mm m h d d a a 5010902*11=+=+= mm m c h d d a f 5.775)25.1(290)(2**11=⨯⨯-=+-=
mm d d b 572.849397.09020cos 011=⨯==
mm m
e e s s 854.722121=====π
mm mz d 18537522=⨯==
mm m h d d a a 195101852*22=+=+=
mm m c h d d a f 5.1725)25.1(2185)(2**22=⨯⨯-=+-=
mm d d b 854.1739397.018520cos 022=⨯==
mm z z m a 5.137)3718(2
5)(221=+=+= （3） 计算重合度
011111
25.325020cos 45arccos cos arccos ==== a a b a r r r r αα
02222294.265.9720cos 5.92arccos cos arccos ====
a a
b a r r r r αα )]tan (tan )tan (tan [212211ααααπ
ε'--'-=
a a a z z 51.1)]20tan 94.26(tan 37)20tan 25.32(tan 18[21=-+-= π mm m p
b 764.1420cos 5cos === παπ
mm p B B b a 741.23761.1461.121=⨯==ε
一对齿啮合和两对齿啮合区如图所示。

评注 希望同学们熟练掌握基本公式,并能灵活应用。

例10-3 如图所示，已知14,56,53,154321====z z z z ，中心矩mm a a 703412==，压力角,20 ==n αα模数mm m m n 2==，正常齿。

试问：
（1）如果两对齿轮均采用直齿圆柱齿轮，采用何种传动，可以满足中心矩mm a a 703412==，此时啮合角各为多大？
（2）如果轮1，2采用斜齿轮，轮3，4采用直齿圆柱齿轮，则轮1，2的螺旋角是多大？轮1是否根切？轮3，4不发生根切的最小变位系数为多少？轮3，4的分度圆、齿顶圆、齿根圆有何变化？ 分析 因为两对齿轮传动的实际中心矩为mm a a 703412==应当通过计算分析其是否标准安装，再去确定传动类型。

斜齿轮的根切问题与直齿圆柱齿轮不同，其最小齿数与螺旋角β有关。

直齿圆柱齿轮如果根切则可以采用变位的方法来解决。

解：（1）齿轮的实际中心矩
mm a a 703412==
而标准中心距安装时，
mm z z m a 68)5315(22)(22112=+=+=
mm z z m a 70)1456(2
2)(24334=+=+= 所以轮3，4采用标准齿轮传动或高度变位齿传动可满足实际中心矩的要求,而1、2必须采用正传动才可以满足实际中心矩的要求。

轮3、4的啮合角为
20=='αα
轮1、2的啮合角为
913.068
20cos 70cos cos =⨯='='
a a αα 24='α
（2）轮1、2的螺旋角 βcos 2)(21z z m a n +=
971.0702)5315(22)(cos 21
=⨯+=+=a z z m n β 73.1321=-=ββ
轮1会发生根切。

因为斜齿轮不发生根切的最少齿数为
1.1573.13cos 17cos 1733m in =⨯=⨯= βz
轮3、4不发生根切的最小变位系数为
29.2175617min 3-=-=
x 176.017
1417min 4=-=x 最小变位系数为正值，说明为了避免根切，要采用正变位；最小变位系数为负值，说明该齿轮在29.22min -=≥x x 的条件下采用负变位也不会根切。

因为轮4为正变位，所以分度圆不变，齿顶圆增大，齿根圆也增大。

因为轮3为负变位齿轮，所以分度圆不变，齿顶圆减小，齿根圆也减小。

评注 本题考查的知识点包括，齿轮传动的设计，根切现象及变位齿轮等，这方面的综合应用是常见的考点。

例10-4 用直线齿廓齿条刀具以范成法加工渐开线齿轮.已知刀具的模数mm m 3=,压力角
,20 =α齿顶高系数,1*=a h 毛坯齿轮中心离刀具中线（分度线）距离mm L 7.21=，刀具线速度
,/s mm v π=毛坯齿轮角速度,/21s rad πω=
试：
（1）求毛坯齿轮齿数；
（2）求变位系数；
（3）判断齿轮是否根切。

分析 用直线齿廓齿条刀具以范成法加工渐开线齿轮，分度圆线速度，即s mm r v /πω==。

解：（1）求齿轮齿数
分度圆周线速度应等于刀具的移动速度，即
mm r 2121
===πωπ
被切齿数 142122=⨯==m
m r z （2） 求变位系数
刀具中心o 离刀具中线的距离
mm xm r L 7.21=+=
233.03
217.21=-=-=m r L x （3）判断齿轮是否根切
当1,20*==a h α时，最小变位系数为
176.017
14171717min =-=-=z x 因min x x >，故不会根切。

评注 本题主要考查齿轮切削加工原理，根切及最小齿数的相关知识。

例10-4 已知一对渐开线外啮合齿轮的齿数,1521==z z 实际中心矩mm a 325='，
1,20*==a h mm m ，试设计这对齿轮。

分析 本题是设计性题目，第一步先计算两轮变位系数，根据变位系数确定传动类型；再计算几何尺寸，检验重合度a ε及齿顶厚a s ，如果不满足要求，还得重新调整参数进行设计。

解： （1）计算两轮变位系数
标准中心距 mm z z m a 300)1515(2
20)(221=+=+= 啮合角
84.29325
20cos 300arccos cos arccos =='='a a α 5629.120tan 230)0149044.00528266.0(tan 2))((2121=⨯-=+-'=+
αααz z inv inv x x 因两轮齿数相等,故取
782.025629.121--
=x x 118.017
1517min =-=x ,m i n
21x x x >=在加工齿轮时不发生根切。

由于,021>+x x 故该齿轮属于正传动。

（2）计算两轮几何尺寸
中心矩变动系数： 25.120
300325=-=-'=m a a y 齿高变动系数： 313.025.1563.121=-=-+=∆y x x y
分度圆半径： mm mz r r r 1502
1520221=⨯==-= 齿顶圆半径： xm xm m h r r r a a a -++==*21
mm 38.179)20313.020782.020150(=⨯-⨯++=
齿根圆半径： xm m c m h r r r a f f +--==**21
mm 64.140)20782.02025.1150(=⨯+⨯-=
基圆半径： mm r r r b b 954.14020cos 150cos 21==== α
（3）检查重合度a ε与齿顶厚a s
齿顶圆压力角
011112121.3838.17920cos 150arccos cos arccos ===== a a b a a r r r r ααα )]tan (tan )tan (tan [212211ααααπ
ε'--'-=a a a z z 02.1)]20tan 21.38(tan 15[1=-= π
mm m x s s 801.4020)20tan 782.022/()tan 22/(21=⨯⨯+=+== παπ
)(2/21ααinv inv r r sr s s a a a a a --==
mm 364.13)0149044.01203147
.0(38.1792150/38.179801.42=-⨯⨯-⨯= 齿顶厚,84.0mm m s a =>齿顶厚合格。

重合度虽然大于1，但小于许用重合度，改变齿数，取
1621==z z ，其他参数不变，重新设计。

（略） 评注 本题综合性较强，涉及的公式不一定全记住，但方法应当熟练掌握。

第10章 思考题及练习题解答
10-1 齿轮传动要匀速、连续、平稳地进行必须满足那些条件？
[解答] 首先必须满足齿轮廓啮合基本定律、正确啮合条件，其次必须满足连续传动条件，还必须保证足够大的重合度。

10-2渐开线具有哪些重要性质？渐开线齿轮传动具有哪些优点？
[解答]（1）渐开线的性质
①发生线沿基圆点滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度。

②渐开线上任意点的法线恒与其基圆相切。

③渐开线愈接近基圆部分的曲线率半径愈小，在基圆上其曲率半径为零。

④渐开线的形状取决于基圆的大小。

⑤基圆以内无渐开线。

（2）渐开线齿轮传动的优点
①能保证定传动比且具有可分性。

②渐开线齿轮之间的比正比力方向不变。

③加工刀具简单、工艺成熟等。

10-3 具有标准中心距的标准齿轮传动具有哪些特点？
[解答] 具有标准中心距的标准齿轮传动具有以下特点：
（1）两轮的顶隙为标准值。

（2）两轮的理论齿侧间隙为零。

（3）两轮的节圆分别与其分度圆相重合，并且节圆压力角与分度圆压力角相等。

10-4 何谓重合度？重合度的大小与齿数Z 、模数m 、压力角a ，齿顶高系数*、顶隙系数C*及中心距a 之间有何关系？
[解答] （1）重合度：实际啮合线段的长度与齿轮法向齿距的比值。

（2）重合度与模数m 、压力角a 和顶隙系数C*无关，随着函数Z 、齿顶系数*的增大，随着中心距a 的增大而减少。

10-5 齿轮齿条啮合传动有何特点？为什么说无论吃条是否为标准安装，啮合线的位置都不会改变？
[解答]（1）齿轮齿条啮合传动的特点
①齿轮中的圆在齿条中都变成了直线，即齿顶线、分度线、齿根线等。

②齿条齿廓上各点的法线是平行的；各点的压力角相同，并且等于齿廓直线和齿形角α。

③齿轮的节圆恒与分度圆重合，其啮合角恒等于分度圆压力角。

（2）对齿轮与齿条啮合传动，不论是否为标准安装，齿条的直线齿廓总是保持原来的方向不变，因此啮合线与节点的位置始终保持不变。

10-6节圆与分度圆、啮合角与压力角有什么区别？
[解答]（1）节圆指两轮作定传动比传动时，以齿轮的回转中心为圆心，以节点到回转中心的长为半径的圆；分度圆指齿轮上具有标准模数、标准压力角、齿厚等于齿槽宽的圆。

分度圆由齿轮的模数和齿数确定，在设计齿轮时已确定；节圆不仅与分度圆大小有关，而且与一对齿轮安装时的实际中心距有关。

一般情况下，分度圆半径与节圆半径不相等，只有当齿轮安装为标准安装时，分度圆与节圆才重合。

（2）啮合角指两轮在啮合传动时，其节点的圆周速度方向与啮合线之间所夹的锐角；压力角指渐开线齿廓在某点的法线方向与该点的速度方向之间所夹的锐角。

由定义可知，啮合角等于节圆压力角。

当两轮的实际中心距确定后，啮合角即确定，当两轮按标准中心距安装时，啮合角也等于分度圆压力角。

由渐开线的性质可知，同一条渐开线齿廓上不同点的压力角不相等。

10-25 在一机床的主轴箱中有一直齿圆柱标准齿轮,发生该齿轮已经损坏,需要重要一个齿轮更换,试确定着这个齿轮的模数。

经测量，其压力角,20 =α齿数40=z ，齿顶圆直径82.83=a d ，跨5齿的公法线长度,512.275mm L =跨6齿的公法线长度mm L 426.336=。

[解答] 渐开线标准齿轮的公法线长度
])5.0[(cos απαzinv k m L +-=
])5.05[(cos 512.271απαzinv m +-=
])5.06[(cos 426.332απαzinv m +-=
解得 mm m 987.11= mm m 990.12=
)240(82.83)2(3*3+==+=m h z m d a a
解得 mm m 996.13=
而齿轮的齿顶圆直径a d 通常有较大的负偏差，故，取标准模数 mm m 2=
10-26 已知一对渐开线标准外啮合圆柱齿轮传动，模数m=5mm,压力角a=20°,中心距a=350mm,传动比=9/5，试求两轮的齿数、分度圆直径、齿顶圆直径、基圆直径以及分度圆上的齿厚和齿槽宽。

[解答]依题得
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+=
121221)(21z z i z z m a （a ） 解方程组(a)，并代入已知数据可得
50,9021==z z
则 mm mz d 45090511=⨯==
mm mz d 25050522=⨯==
mm m h d d a a 460104502*11=+=+=
mm m h d d a a 260102502*22=+=+=
mm d d b 86.42220cos 450cos 11=== α
mm d d b 92.23420cos 250cos 22=== α mm m
e s 85.725
2⨯===ππ
10-27 试问当渐开线标准齿轮的齿根圆与基圆重合时，其齿数应为多少？又当齿数大于以上求得的齿数时，试问基圆与齿根圆哪个大？
[解答] (1)依题有 b f d d = (a)
又 m c h z d a f )22(**--= (b)
αcos mz d b = (c)
联立(a)、(b)、(c)可解得 45.4120
cos 1)25.01(2cos 1)(2**=-+=-+= αc h z a 当齿根圆与基圆重合时,,45.41=z 当42>z 时,齿根圆大于基圆。

10-29 设有一对外齿轮的1,20,20,40,30*21=====a h mm m z z α。

试求当mm
a 725='时，两轮的啮合角α'。

又当啮合角0322'=' α时，试求中心矩a '。

[解答] 依题有 mm z z m a 700)4030(202
1)(2121=+⨯⨯=+= 由中心矩公式 ααcos cos a a =''
则 （1）当mm a 725='时，
87.24725
20cos 700arccos cos arccos =⨯='='a a αα （2）当0322'='
α时 mm a a 87.7110322cos 20cos 700cos cos ='
⨯='='
αα 10-30 已知一对外啮合变位齿轮传动的1,20,10,12*21=====a h mm m z z α，
,130mm a ='试设计这对齿轮（取21x x =）。

[解答] （1）确定啮合角
841.29130
220cos )1212(10arccos 2cos )(arccos cos arccos 21=⨯+='+='='a z z m a a ααα （2）确定变位系数
mm inv inv z z inv inv x x 249.120
tan 2)1212)(20841.29(tan 2))((2121=+-=+-'=+ ααα 取mm x x 6245.021== ，mm x 294.017
1217min =-=， 249.06245.0min 21=>==x x x ，齿轮不会根切。

（3）确定中心矩变动系数
110/))1212(2
10130(/)(=+-
=-'=m a a y （4）确定齿顶高降低系数
249.01249.1)(21=-=-+=∆y x x y
（5）计算齿轮的几何尺寸
mm m y x h h h a a a 755.13)(*21=∆-+== mm m x c h h h a f f 255.6)(**21=-+==
mm mz d d 1201210121=⨯===
mm h d d d a a a 51.147755.132********=⨯+=+==
mm d d d b b 763.11220cos 120cos 121=+=== α mm d d d 130841
.29cos 20cos 120cos cos 121=⨯='='='
αα mm m x s s 254.2010)20tan 6245.022/()tan 22/(21=⨯⨯+=+== παπ
（6）验算
齿顶圆压力角
414051.147763.112arccos cos arccos 0111121'=====a a b a a d d d d ααα )]tan (tan )tan (tan [212211ααααπ
ε'--'-=a a a z z 03.1)]841.29tan 14.40(tan 12[1=-= π
)(2/21ααinv inv d d sd s s a a a a a --'==
mm 14.4)0149044.01203147
.0(51.1472125/51.14725.20=-⨯⨯-⨯= 齿顶厚,44.0mm m s a =>齿顶厚合格。

重合度大于1，所以齿轮合格。

10-34 设已知一对斜齿轮传动的 15,8,40,2021====βmm m z z n （初选值）
，,1,30*==a h mm B 试求斜齿轮传动的中心矩a （并精确重算β）
、计算两轮几何尺寸及γε、1v z 和2v z 。

[解答] （1）计算中心矩
mm z z m d d a n 466.248)4020(15
cos 28)(cos 2)(212121=+=+=+= β 取中心矩mm a 250=
则 735116250
2)6020(8arccos )(2arccos 21'''=⨯+⨯=+= z z a m n β （2）计算几何尺寸及当量齿轮
mm m h h an a 881*=⨯==
mm m c h h n n an f 108)25.01()(**=⨯+=+=
mm z m d n 67.166735116cos /208cos /11='''⨯== β
mm z m d n 33.333735116cos /408cos /22='''⨯== β
mm h d d a a 67.1828267.1662111=⨯+=+=
mm h d d a a 33.3498233.3332222=⨯+=+=
764.20735116cos 20tan arctan cos tan arctan ='
''==βααn t mm d d t b 85.155764.20cos 67.166cos 11=⨯== α
mm d d t b 69.311764.20cos 33.333cos 22=⨯== α mm m e s n
n n 57.1228
2=⨯===ππ
mm m p n n 14.258=⨯==ππ 61.22735116cos 20cos 331
1='''== β
z z v 21.45735116cos 40cos 332
2='''=
= βz z v 444.3167
.18285.155arccos arccos 111===a b a d d α 846.2633.34969.311arccos arccos
222===a b a d d α )]tan (tan )tan (tan [212211ααααπ
ε'--'-=a a a z z 548.1)]764.20tan 846.26(tan 20)764.20tan 444.31(tan 20[1=-+-= π
334.08
735116sin 30sin =⨯'''⨯==ππβεβ n m B 882.1334.0548.1=+=+=βγεεεa。