高考解析几何中的定点定值问题

二、解析几何中的定值问题
解析几何中定值问题的两种解法:
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，
从而得到定值．
例 1.(2016·北京卷)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率
为 23，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB 的面积为 1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，
由①，得 3＋4k2－m2＞0，
当 m1＝－2k 时，l 的方程为 y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，
与已知矛盾． 当 m2＝－27k时，l 的方程为 y＝kx－27，直线过定点27，0 ∴直线 l 过定点，定点坐标为27，0.
注意：直线(曲线)过定点问题实质是方程与动 量(变量)无关，这里的变量要合理选取，如斜 率、截距、坐标等。在处理过程中，可以统一 成一个变量，或统一成某个变量整体结构去解 决问题。
k 2 y k(x 2 p) y 0
AB过定点(2 p,0)
例 2.椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，该椭圆经过 点 P1，32且离心率为12.
(1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不
是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点， 求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
解析：(1) C 的方程为x82＋y42＝1. (2)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1 得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故 xM＝x1＋2 x2＝2－k22＋kb1，yM＝k·xM＋b＝2k2b＋1. 于是直线 OM 的斜率 kOM＝yxMM＝－21k，即 kOM·k＝－12. 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：|AN|·|BM|为定值．
ac＝ 23， 解析：(1)由题意得12ab＝1，
a2＝b2＋c2，
a＝2， 解得b＝1，
c＝ 3.
所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
(2)由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设 P(x0，y0)，则 x20＋4y20＝4.
例3、不为原点的点P(x0, y0 )在抛物线 y 2 2 px, ( p 0)
所以|AN|·|BM|＝4.
综上，|AN|·|BM|为定值．
例 2．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率 为 22，点(2， 2)在 C 上．
(1)求 C 的方程； (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点
A，B，线段 AB 的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直 线 l 的斜率的乘积为定值．
解析几何中的定点定值问题
一、解析几何中的定点问题
解析几何中定点问题的两种解法:
(1)引进参数法：引进动点坐标或动线中系数为参数表示变化量， 再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关．
例1、已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A,B, 且OA⊥OB,则直线AB过定点为______. A
当
x0≠0
时，直线
PA
的方程为
y＝ y0 (x－2)． x0－2
令 x＝0，得 yM＝－x02－y02，
从而|BM|＝|1－yM|＝1＋x02－y02.
直线 PB 的方程为 y＝y0x－0 1x＋1. 令 y＝0，得 xN＝－y0x－0 1，
从而|AN|＝|2－xN|＝2＋y0x－0 1. 所以|AN|·|BM|＝2＋y0x－0 1·1＋x02－y02 ＝x20＋4yx200＋y04－x0xy00－－24yx00＋－28y0＋4＝4xx00yy00－ －4x0x－0－28y0y＋0＋28＝4. 当 x0＝0 时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
得定点
法2：设OA: y kx OB : y 1 x(显然k存在且k 0)
k
由
y y
kx 2 2
px
A(
2p k2
,
2p k
)
同理B(2 pk 2 ,2 pk)
k kAB 1 k 2
AB :
y
2
pk
k 1 k2
(x
2 pk 2 )
y k 2 y 2 pk 2 pk3 kx 2 pk3
解析：(1)由题，得椭圆的标准方程为x42＋y32＝1. y＝kx＋m，
(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x42＋y32＝1， 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0.则
Δ＝64m2k2－163＋4k2m2－3＞0，
x1＋x2＝－3＋ 8m4kk2，
①
x1·x2＝43m＋2－ 4k32 .
O B
思路1：设直线AB方程 代入抛物线得关键方程 OA⊥OB 得定点
法1：设AB : x my a( AB水平显然不适合）A(x1, y1), B(x2, y2 )
由
x y
my a 2 2 px
y2
2
pmy
2
pa
0
A
4 p2m2 8 pa 0
有 y1 y2 2 pm
O
wenku.baidu.com
y1
y2
2 pa
0
a
0
OA OB x1x2 y1y2 0 (my1 a)(my1 a) By1y2 0
(m2 1)(2 pa) am(2 pm) a2 0 a 2 p
AB : x my 2 p过定点(2 p,0)
思路2：设直线OA，OB
A
代入抛物线解得A,B点 O
B
得直线AB方程
3m2－4k2 又 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝ 3＋4k2 . ∵椭圆的右顶点为 A2(2,0)，AA2⊥BA2， ∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0， ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， ∴3m3＋2－4k42k2＋43m＋2－4k32 ＋31＋6m4kk2＋4＝0， ∴7m2＋16mk＋4k2＝0， 解得 m1＝－2k，m2＝－27k，