线性系统的稳定性分析

第三章 线性系统的稳定性分析

3.1 概述

如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。

应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。

本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。

虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。

3.2 外部稳定性与内部稳定性

3.2.1 外部稳定：

考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：

1()u t k ≤<∞

的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立：

2()y t k ≤<∞

则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。 注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。

系统外部稳定的判定准则

系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。

a) 时变情况的判定准则

对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij t

ij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞

⎰有

即，(,)G t τ是绝对可积的。

b) 定常情况下的判定准则：

对于零初始条件的线性定常系统，初始时刻t 0=0,G(t)为脉冲响应矩阵，G(s)为传递函数矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，G(t)的每一个元0()(1,2,.......;1,2,.....)()ij t

ij t g t i q j p g t d k τ==≤<∞⎰有

或者等价的：

当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一个传递函数g （s ）的所有零极点都具有负实部。

对于一个定常线性系统)

()()()()()(t t t t t t Du Cx y Bu Ax x +=+= ，其传递函数矩阵为：D B A I C A I D B A I C G +--=+-=-)](Adj [)

det(1)()(ˆ1s s s s 。因此，只要满足系统的全部特征根具有负实部根，则系统是BIBO 稳定的。

3.2.2 内部稳定性

对于线性定常系统.X AX Bu y CX Du ＝＋，＝＋如果外部输入u （t ）为0，初始状态x 0为任意，且由x 0引起的零输入响应t 0;0)φ0（；；x 满足：

lim t 0;0)0x φ→∞=0（；；x

则称系统实内部稳定的，或称为是渐进稳定的。

判定准则：

对于系统)()(t t Ax x

= ，其解为)0()(x x A t

e t =。因此，对于上面所列的状态空间表达，它的渐进稳定的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值具有负实部。 3.2.3 内部稳定性和外部稳定性之间的关系

对线性定常系统的内部稳定和外部稳定的等价关系，得出如下结论：

1. 线性定常系统是内部稳定的，则其必为BIBO 稳定的。

2. 线性定常系统是BIBO 稳定的，不一定就是内部稳定的。

3. 线性定常系统是能控制和能观测的，则其内部稳定性和BIBO 稳定是等价的。

图3.1 外部稳定与内部稳定的关系 3.3 Lyapunov 意义下的稳定性问题

对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz 稳定性判据和Nyquist 稳定性判据等可资利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。 Lyapunov 第二法（也称Lyapunov 直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。反过来，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。李雅普诺夫稳定分析法是确定时变系统和非线性系统的稳定性更一般的方法，这种方法可以在无需求解状态方程的条件下，确定系统的稳定性。

3.3.1 基本概念

a) 平衡状态

忽略输入后，非线性时变系统的状态方程：

),(t x f x

= 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数），其展开式为： 12(,,,,)i i n x f x x x t = n i ,,1 =

如果对于所有t ，满足

0),(==t x f x

e e 的状态x e 称为平衡状态（又称为平衡点）。如果系统是线性定常的，也就是说Ax t x

f =),(，则当A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当A 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t ，总存在e x x =）。

任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动)(t g x =都可通过坐标变换，统一化为扰动方程),~(~~

t x f x = 之坐标原点，即0),0(=t f 或0=e x 。在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点(0=e x )处之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化，而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov 的一个重要贡献。