天津市南开中学2015届高三第一次月考数学(理)试题

天津市南开中学2015届高三第一次月考
数学试卷（理科） 考试时间：120分钟
Ⅰ卷
一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡，每小题5分，共60分）
1. 设集合{}
419,A x x x R =-≥∈，0,3x B x
x R x ⎧
⎫
=≥∈⎨⎬+⎩⎭
，则A
B =( ).
A., (3,2)--
B. 5
(3,2][0,]2
-- C. 5(,3][)2-∞-+∞， D . 5
(,3)[)2
-∞-+∞，
2. 函数2
()ln(1)f x x x
=+-的零点所在的一个区间是（ ）.
A., (0,1) B . (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 3. 设奇函数()f x 在+∞（0，）上为增函数，且(1)=0f ，则不等式()()
0f x f x x
--<的解集
为（ ）.
A., (1,0)(1,)-+∞
B. (,1)(0,1)-∞-
C. (,1)
(1,)-∞-+∞ D . (1,0)(0,1)-
4. 下面不等式成立的是（ ）.
A ., 322log 2log 3log 5<< B. 322log 2log 5log 3<< C. 232log 3log 2log 5<< D. 223log 3log 5log 2<< 5. 已知实数,x y 满足，则下列关系式恒成立的是（ ）.
A.,
22
1111
x y >++ B. 22ln(1)ln(1)x y +>+ C. sin sin x y > D. 33
x y > 6. 若函数()y f x =的值域是1[,3]2
，则函数1
()()()
F x f x f x =+
的点值域是（ ）. A., 1[,3]2 B. 10[2,
]3 C. 510[,]23 D. 10[3,]3
7. 函数212
log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）.
A., 5
(,)2+∞ B. (3,)+∞ C. 5(-,)2
∞ D . (-,2)∞
8. 在R 上定义的函数()f x 是偶函数，满足()=(8)f x f x -，且对任意的12,[0,4]x x ∈，
1212
()()
0f x f x x x ->-，则（ ）.
A., (18)(35)(57)f f f -<<
B. (35)(18)(57)f f f <-<
C. (35)(57)(18)f f f <<-
D. (57)(18)(35)f f f <-< 9. 直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）. A.,
B.
C. 2
D. 4
10. 设32:()2p f x x x mx =++在内(1,)-+∞单调递增，:1q m ≥，则p 是q 的（ ）. A ., 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
11. 设函数121()log ()2x f x x =-，212
1()log ()2
x f x x =-的零点分别为12,x x ，则（ ）.
A ., 1201x x << B. 12=1x x C. 1212x x << D. 122x x ≥ 12. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.
A.,
)+∞ B. [2,)+∞ C. (0,2] D.
[1][2,3]-
Ⅱ卷（讲答案写在答题纸上，在试卷上作答无效）
二、填空题：（每小题5分，共30分） 13. 曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________.210x y -+= 14. 不等式211x x --<的解集是__________.(0,2)
15. 函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =，则()f a -的值为__________.0 16. 方程223x x -+=的实数解的个数为__________.2
17. 函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny ++=上，其中0mn >，则
12
m n
+的最小值为__________.8 18. 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在
(0,)+∞上()f x x '>，若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为
__________.(-,1]∞
三、 解答题（每小题15分，共60分）
19. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分。

现从该箱中任取3个球（无放回，且每球取到的机会均等），记随机变量X 为取出3球所得分数之和。

（Ⅰ） 求X 的分布列； （Ⅱ） 求X 的数学期望()E X 。

解：（Ⅰ）由题可知X 的取值为：3、4、5、6.
35395(3)42C P x C ∴===; 21
543
920
(4)42C C P x C ===; 12543915(5)42C C P x C ===; 343
92
(6)42
C P x C === 故所求
的分布列为
（Ⅱ）所求X 的数学期望()E X 为：()=3+4+5+6=422114213
E X ⨯⨯⨯⨯
20. 设函数3
()3(0)f x x ax b a =-+≠。

（Ⅰ） 若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为8y =，求,a b 的值； （Ⅱ） 求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）
3()3(0)f x x ax b a =-+≠ ∴2()33f x x a '=-。

曲线()y f x =在点
(2,(2))f 处与直线8y =相切。

(2)03(4)04
(2)086824f a a f a b b '=-==⎧⎧⎧∴
⇒⇒⎨⎨⎨
=-+==⎩⎩⎩
（Ⅱ）
2
2
()333()(0)f x x a x a a '=-=-≠，
当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点。

当0a >时，令()0f x '=，解得=x x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递增区间是(,-∞，)+∞；单调递减区间是(
此时()=(f x f b =最大值，()=f x f b =-最小值。

21. 已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅰ） 求a ；
（Ⅱ） 求函数()f x 的单调区间；
（III ） 若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。

解：（Ⅰ）
()2101a f x x x '=
+-+，(3)61004a
f ∴'=+-=，因此16a =。

当16a =时，162(3)(1)
()210=
11
x x f x x x x --'=+-++，由此可知，当(1,3)x ∈时，()f x 单调递减，当(3,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以当16a =时，3x =是函数
2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2
()16ln(1)10,(1,)f x x x x x =++-∈-+∞，所以2(3)(1)
()1
x x f x x --'=
+。

当-(3,)x ∈+∞（1，1）时，()0f x '>， 当(1,3)x ∈时，()0f x '<， 所以函数()f x 的单调增区间是-,(3,)+∞（1，1），函数()f x 的单调减区间是(1,3)。

（III ）直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点；等价于()f x b =有3个实数根，即
()0f x b -=有3个实数根；此时，函数()f x b -的图象与x 轴有3个不同的交点，
令2
()()16ln(1)10x f x b x x x b ϕ=-=++--，则2(3)(1)
()(1)1
x x x x x ϕ--'=
>-+，令
()0x ϕ'=，解得3x =或1x =，列表如下：
(1)ϕ为极大值，(3)ϕ为极小值。

为使函数()y x ϕ=的图象与x 轴有3个不同的交点，必须()y x ϕ=的极大值大于零极小值
小于零，即(1)0(3)0ϕϕ>⎧⎨
<⎩，可化简为16ln 290
32ln 2210b b -->⎧⎨--<⎩
，解得
16ln 29
32ln 221
b b <-⎧⎨
>-⎩∴32ln 22116ln 29b -<<-
22. 设()(1)x
f x e a x =-+。

（Ⅰ） 若0a >，()0f x ≥对一切x R ∈恒成立，求a 的最大值； （Ⅱ） 设()()x a
g x f x e
=+
，且112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点。

若对任意的1a ≤-，直线AB 的斜率恒大于常熟m ，求m 的取值范围；
（III ） 是否存在正整数a
，使得13(21))n n n n n an +++-<
对一切正整数n 均成立？若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由。

，
解：（Ⅰ）0a >时，()x
f x e a '=-，
令()0f x '=，解得ln x a =。

因为ln x a <时，()0f x '<，()f x 单调递减；ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增。

所以min ()(ln )f x f a =。

由(ln )0f a ≥，有ln (ln 1)0a
e
a a -+≥，ln 0a ≤，01a <≤，即a 的最大值是1.
（Ⅱ）设12,x x 是两个任意实数，且12x x <，则有21212121
()()
AB y y g x g x k m x x x x --=
=>--，
2121()()g x g x mx mx ->-，即2211()()g x mx g x mx ->-。

设()()h x g x mx =-，则()h x 在R 上单调递增，故()()0h x g x m '='-≥，即对任意1a ≤-，对任意实数x ，()m g x ≤'恒成立。

又()(1)x x a
g x e a x e
=-++
，2
()()()()1)1x x a g x e a a a e -'=+
+-≥+-=-+=-，当1a ≤-时，min ()3g x '=，故3m ≤。

（III ）存在，a 的最小值为2.
若1a =
，则由已知，13521()()()(
)n n n n n
n n n
n -+++
+<
n 恒成立。

当1n =
时，有1<
，即1e -<e < 2.718e ≈>1a =时不成立，2a ≥。

2a =时，
由（Ⅰ）知()(1)0x
f x e x =-+≥，即1x e x ≥+。

令(1,3,5,,21)2i
x i n n
=-=-。

则22
1,(1)(1,3,5,
,21)22i i
n n i i e e i n
n n
---≤-≤=-。

故
1113
5212
2
2
2
2
2
1113521(1)(
)()()(
)222211n n
n n n n
n e e e e e e e n n n
n
e e ------------++++<++++=
<=
--。