2021年量子力学考研真题精解精析50题(1-10)【圣才出品】

【解题思路】
①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过
求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状
态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。
②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来
即 所以
Sˆ1
Sˆ2
1 (Sˆ 2 2
Sˆ12
Sˆ22 )
Hˆ
JSˆ1 Sˆ2
Hˆ
J 2
(Sˆ 2
Sˆ12
Sˆ22 )
因为
S1
S2
1 2
所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且 S
＝0 或者 S＝1。
因为 Hˆ 0 Hˆ ，所以体系基态选择 n1 n2 0 ，因此体系坐标部分的波函数为
J
J
iJ
b．力学量 (Jˆ 2, Jˆz ) 的共同本征函数 jm ，满足
J2
jm Jz
jm
j( j 1)2 m jm
jm
其中
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 j j1 j2 ,........, j1 j2
m j, j 1,......., j 1, j
解决这部分相互作用引出的相关问题。
③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统
计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。
【解析】
（1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量
由薛定谔方程
Hˆ 0
pˆ 2 2m
1 m 2r 2 2
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的自旋部分的波函数，最终可以得到要求的交换反对称或者交换对称总波函数。
【注】当两粒子坐标部分的波函数不在相同的量子态时，对于两个费米子组成的体系，
由于洪特规则的限制，为了使得体系能量最低，体系基态的自旋部分只能选择自旋三重态，
)
A
1 2
1
2
(s1z
)
1
2
(s2z
)
1
2
(s1z
)1
2
(s2z
)
其中
表示第 1（2）个电子处于自旋向上或向下的态。 ④费米子与波色子
【拓展发散】 ①在冷原子研究领域，粒子除了可以被束缚在谐振子势中，也可以放置于 a．无限深势阱中
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Sˆ2 ，其中 Sˆ1, Sˆ2 分
别代表粒子 1 和粒子 2 的自旋，参数 J＞0。
（1）如果把两个自旋 1/2 的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；

（2）如果把两个自旋 1 的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。
（注意：参数在不同范围内，情况会不同）
[浙江大学 2014 研]
(x1x2 ) 0 (x1 ) 0 (x2 )
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满足交换对称性。
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为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即
A
1 2
1 2
(s1z
)
1 2
(s2
z
)
1
2
(s1z )1 (s2z ) (自旋单态S
数要求交换对称。因为 Hˆ 0 Hˆ ，所以体系基态选择 n1＝n2＝1。因此体系坐标部分的波
函数为
(x1x2 ) 0 (x1 ) 0 (x2 )
满足交换对称性。
为了保证总波函数的交换对称性，所以自旋部分的波函数满足交换对称，即
(1) S
1 (s1z ) 1 (s2z )
2
2
(2) S
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U
(x)
， 0，
( (
x x
a) a)
b．硬核球势阱中 其中，a 为球势阱半径。
V
(r)
0
ra else
②当要求体系中粒子的本征能量和波函数不是基态时，这时坐标部分的波函数可以构成
交换反对称和交换对称的波函数，则按照费米子和玻色子满足的量子统计性质，选择相对应
2
0)
所以体系的基态波函数为
0 (x1x2 )A
0 (x1) 0 (x2 )
1 2
1
2
(s1z
)
1
2
(s2z
)
1
2
(s1z
)1
2
(s2z
)
N02
exp(
1 2
2
( x12
x22
))
1 2
1 2
(s1z
)
1
2
(s2z
)
1
2
(s1z
) 1
2
(s2z
)
基态能量为
E0
3 4
J 2
（2）当 S1＝S2＝1 时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函

(
2 2m
2
1 2
m2 r2 )
n
En n
得本征能量为 本征波函数为 两粒子间有相互作用
En
(n
1 ) 2
n
Nn
exp(
1 2
2
x2
)
H
n
(
x)
Hˆ JSˆ1 Sˆ2
设
Sˆ Sˆ1 Sˆ2
因此
Sˆ2 (Sˆ1 Sˆ2 )2 Sˆ12 Sˆ22 2Sˆ1 Sˆ2
③两个电子的自旋函数
若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数 S 和反对称自旋波函数 A 分别
写为
(1) S
1 (s1z ) 1 (s2z )
2
2
(2) S
1 (s1z )1 (s2z )
2
2
(3) S
1 2
1 2
(s1z )1 2
( s2 z
)
1 2
(s1z ) 1
2
( s2 z
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2021 年量子力学考研真题精解精析 50 题
1．当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此
其哈密顿量为 Hˆ 0
pˆ 2 2m
1 m 2r 2 。假设粒子间有相互作用 Hˆ 2
JSˆ1
N02
exp(
1 2
2
( x12
x22
))S
基态能量为
【知识储备】
E0
1 4
J 2
①一维线性谐振子
势能满足方程 本征值
U (x) 1 2 x2 2
En
(n
1), (n 2
0,1, 2,)
本征函数 其中
n
1 2x2 Nne 2 Hn (
x)
Nn
, 2n n!
②两个角动量的耦合
a．体系的总角动量满足角动量的一般对易关系
1
(s1z
)
1
(s2
z
)
2
2
(3) S
1 2
1 2
(s1z )1 (s2z ) 2
1 2
(s1z )1
2
(s2z ) (自旋三重态S
1)
所以体系的基态波函数为
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0 (x1x2 )S 0 (x1) 0 (x2 )S