经典力学的数学方法

例2 在矩形域0,0x a y b ≤≤≤≤上求解泊松方程的边值问题

00

20,0

0,0x x a y yx b u u u u u ====⎧∆=-⎪⎪

==⎨⎪==⎪⎩ (0.0.1)

解 先找泊松方程的一个特解v ．显然2v x =-满足2u ∆=-。其实212v x c x c =-++ (12,c c 是两个积分常数)也满足2u ∆=-。我们打算选择适当的12,c c ，使v 满足齐次边界条件(188)。容易看出，12,0c c a ==。这样，

(,)()v x y x a x =- (0.0.2)

令

(,)()(,)u x y v w x a x w x y =+=-+

把上式代入u 的定解问题，就把它转化为w 的边值问题

00

00,0(),()x x a y yx b w w w w x x a w x x a ====⎧∆=⎪⎪

==⎨⎪=-=-⎪⎩ (0.0.3)

仿照3.1例 3，满足(0.0.3)的方程和x 轴上的边界条件的解可表为

1(,)sin n n y y a a n n n n w x y A e B e x a ππ

π∞

-=⎛⎫=+ ⎪

⎝⎭

∑ (0.0.4) 为确定系数n A 和n B ，以(0.0.4)代入y 轴上的边界条件，

()11sin

()sin ()n n n n b n b

a a

n n n n A B x x x a a

n A e B e x x x a a πππ

π∞

=∞

-=+=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭

∑∑ (0.0.5)

将(0.0.5)的右边也展为傅里叶正弦级数：

1

()sin

n

n n x

x x a C

a

π∞

=-=

∑ (0.0.6) 期中

233024()sin (1)1a

n

n n x a C x x a dx a a n ππ

⎡⎤=-=--⎣⎦⎰ (0.0.7) 将(0.0.6)代入(0.0.5)得

n n n n b

n b a

a

n n n

A B C A e

B e

C ππ-

+=+=

由此解得

()()()()

2222222cosh 2cosh 2n b a n b a n b a n b a

n n n

n b a n b a

n b a n b a n b a n b a

n n n

n b a n b a

e e e e A C C e e n b a e e e e

B C C e e n b a ππππππππππππππ-------==--=

=

-

于是代回(0.0.4)成为

()1

cosh (2)(,)sin

cosh 2n n y b a n x

w x y C n b a a

πππ∞

-=∑

再将C n 代入上式得

()

2

3

3

1

cosh (21)(2)8(21)(,)sin

(21)

cosh (21)2n k y b a a k x

w x y C k k b a a

ππππ∞

---=-

--∑ 从而原问题的解为

()2331cosh (21)(2)8(21)(,()sin (21)cosh (21)2n

k y b a a k x

u x y x x a C k k b a a

ππππ∞---=----∑

散热片的横截面为矩形。它的一边y=b 处于较高温度V ，其他三边b=0，x=0，x=a 则处于冷却介质中因而保持较低的温度v 求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y)即定解问题

0;0(0,),(,)0(,0),(,)()0x x y y u u x a y b u y v u a y v y b u x v u x b V x x a +=<<<<⎧⎪

=

=<<⎨⎪==<<⎩

(0.0.8)

解 这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值问题。由于不含初始条件，拉普拉斯方程的

边界条件不可能全是齐次的，因为这种条件下的解只能是零。但是，尽可能把一些边界条件化为齐次，毕竟会带来一些方便．常用的办法是把u(x ，y))分解为v(x ，y)和w(x ，y)的线性叠加，

(,)(,)(,)u x y v x y w x y =+ (0.0.9)

其中v(x ，y)和w(x ，y) 分别满足拉普拉斯方程，并各有一组齐次边界条件，即

0;0(0,),(,)0(,0)0,(,)00xx yy v v x a y b v y v v a y v y b

v x v x b x a +=<<<<⎧⎪

==<<⎨⎪==<<⎩

(0.0.10)

00;0(0,)0,(,)0

0(,0),(,)()

0xx yy w w x a y b w y w a y y b w x v w x b V x x a +=<<<<⎧⎪

==<<⎨⎪==<<⎩ (0.0.11)

很容易验证，把v 和w 的泛定方程叠加起来就是u 的泛定方程，把v 和w 的边界条件

叠加起来就是u 的边界条件。于是，问题转化为求解v 和w ，而v 和w 各有两个齐次边界条件可以构成本征值问题，不难分别解出．

其实，本例还有一个特殊的简便方法，就是令

(,)(,)v x y u x y v =- (0.0.12)

则原边值问题化为

0;0(0,)0,(,)00(,0)0,(,)()0xx yy v v x a y b v y v a y y b

v x v x b V x v x a +=<<<<⎧⎪

==<<⎨⎪==-<<⎩

(0.0.13)

以分离变数形式的试探解

(,()()v x y X x Y y = (0.0.14)