(完整版)极限运算法则两个重要极限
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复习旧课：1．无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系
导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2．3极限的运算法则
2．3．1极限的性质
定理1：（唯一性）如果极限 存在，则它只有一个极限。即若 ， ，则
定理2：（有界性）若极限 存在，则函数 在 的某一空心邻域内有界
小结：1．极限运算法则
2．求极限方法
1）设 为多项式，则 。
2） 、 均为多项式，且 ，则
3）若 ，则
4）若 为“ ”型时，用因式分解找出“零因子”。
5）结论：
6）若 有界，则
7）若 为“ ”型时，一般是通分或有理化后再处理。
2．4两个重要极限
2．4．1判别极限存在的两个准则
准则1（夹逼定理）设函数 在 的某一邻域 内满足
定理3：（局部保号性）如果 ，并且 （或 ），则在 的某一空心邻域内，有 （或 ）。
推论若在 的某一空心邻域内有 （或 ），且 ，则 （或 ）。
2．3．2极限的运算法则
定理1：设 , ,则
(1) =
(2)
若 .(常数),则
(3)
证明因为 , ，利用2。2定理，它们可以分别写为:
= ,
其中 均为无穷小量，则有：
且有极限 ，则有
准则2如果数列 单调有界，则 一定存在。
2．4．2两个重要极限
1．极限
例8计算
解 ＝ · = · =1
例9计算
解 ＝ ＝
＝
例10计算
解 ＝
结论：
例11计算
解 ＝
例12求
解 ＝
例13求
解错误做法： ＝ 1
正确做法： ＝
2．极限
例14计算
解 ＝
例15计算
解 ＝
例16计算
解＝ ＝ ＝
例17计算
(1) + =A+B+[ ]
由2．2定理知 仍为无穷小量,所以 + 以A+B为极限.
即 = .
容易证明：
例1求
解 ＝15
例2求
解 ＝
例3求
解因为 ＝0根据无穷大于无穷小的关系
所以有 ＝
注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。
例4求
解 ＝ ＝
例5
解 ＝ ＝
例6求
解 ＝
结论：
例7求
解 ＝ ＝
解 ＝ ＝
＝
例18计算
解 ＝
＝ ＝
例19
解令
所以 ＝
小结：⒈
； ＝1； ＝
⒉ ；
＝1； ＝1
作业P27——1（3）（6），P31——1（1）（6）（9）——2（1）（3）
讲述
我们先介绍极限的运算法则
证明从略。
以上性质只对 的情况加以叙述，其它的形式也有类似的结果。
设 为多项式
当 时，
因为 为多项式，所以极限值等于在 处的函数值
因为 为两个多项式商的极限，且在x=1处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
“ ”型，先设法
约去非零因子。
“ ”型，用无穷小量分出法，即分子、分母同时除以x的最高次幂。
先通分，再计算。
一般
证明略
例8、例9结果可作
为公式使用。
可证得此结ຫໍສະໝຸດ Baidu。
和差化积公式
练习：
＝4
因为当 时，
一般
＝e2
例18，例19视情况选讲
导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2．3极限的运算法则
2．3．1极限的性质
定理1：（唯一性）如果极限 存在，则它只有一个极限。即若 ， ，则
定理2：（有界性）若极限 存在，则函数 在 的某一空心邻域内有界
小结：1．极限运算法则
2．求极限方法
1）设 为多项式，则 。
2） 、 均为多项式，且 ，则
3）若 ，则
4）若 为“ ”型时，用因式分解找出“零因子”。
5）结论：
6）若 有界，则
7）若 为“ ”型时，一般是通分或有理化后再处理。
2．4两个重要极限
2．4．1判别极限存在的两个准则
准则1（夹逼定理）设函数 在 的某一邻域 内满足
定理3：（局部保号性）如果 ，并且 （或 ），则在 的某一空心邻域内，有 （或 ）。
推论若在 的某一空心邻域内有 （或 ），且 ，则 （或 ）。
2．3．2极限的运算法则
定理1：设 , ,则
(1) =
(2)
若 .(常数),则
(3)
证明因为 , ，利用2。2定理，它们可以分别写为:
= ,
其中 均为无穷小量，则有：
且有极限 ，则有
准则2如果数列 单调有界，则 一定存在。
2．4．2两个重要极限
1．极限
例8计算
解 ＝ · = · =1
例9计算
解 ＝ ＝
＝
例10计算
解 ＝
结论：
例11计算
解 ＝
例12求
解 ＝
例13求
解错误做法： ＝ 1
正确做法： ＝
2．极限
例14计算
解 ＝
例15计算
解 ＝
例16计算
解＝ ＝ ＝
例17计算
(1) + =A+B+[ ]
由2．2定理知 仍为无穷小量,所以 + 以A+B为极限.
即 = .
容易证明：
例1求
解 ＝15
例2求
解 ＝
例3求
解因为 ＝0根据无穷大于无穷小的关系
所以有 ＝
注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。
例4求
解 ＝ ＝
例5
解 ＝ ＝
例6求
解 ＝
结论：
例7求
解 ＝ ＝
解 ＝ ＝
＝
例18计算
解 ＝
＝ ＝
例19
解令
所以 ＝
小结：⒈
； ＝1； ＝
⒉ ；
＝1； ＝1
作业P27——1（3）（6），P31——1（1）（6）（9）——2（1）（3）
讲述
我们先介绍极限的运算法则
证明从略。
以上性质只对 的情况加以叙述，其它的形式也有类似的结果。
设 为多项式
当 时，
因为 为多项式，所以极限值等于在 处的函数值
因为 为两个多项式商的极限，且在x=1处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
“ ”型，先设法
约去非零因子。
“ ”型，用无穷小量分出法，即分子、分母同时除以x的最高次幂。
先通分，再计算。
一般
证明略
例8、例9结果可作
为公式使用。
可证得此结ຫໍສະໝຸດ Baidu。
和差化积公式
练习：
＝4
因为当 时，
一般
＝e2
例18，例19视情况选讲