图论—基本概念离散数学

离 散 数 学
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定理5.1.1
• 设图G是具有n个顶点、m条边的无向图， 其中点集V={v1,v2,· · · ,vn}，则
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de g (v ) de g (v ) m
i 1 i i 1 i
n
n
• 证明：因为每一条有向边提供一个出度 和入度， • 而所有各顶点出度之和及入度之和均由 m条有向边所提供， • 所以定理得证。
40
35
80
70
37
10
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图的邻接矩阵
• 设图G=(V,E)，V={v1,v2,· · · ,vn}， 令
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1 (vi , v j ) E (G ) aij { 0 (vi , v j ) E (G )
• 则称矩阵A=(aij)n×n为图G的邻接 矩阵。
e4
e2
v4
e5 e3
e4
v3
v3
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图的操作-删点
v1 e1 v2 v2
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e2
v4
e5 e3
e4 v4
e5 e3
e4
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图-基本概念6
• 如果把一个有向图D的每条有向边的方 向去掉，由此而得到无向图G，称为D的 底图 • 把一个有向图D的每一条有向边反向， 由此而得到的图称为D的逆图，记为~D。 • ~(~D)=D
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图-基本概念4
• 两顶点a、b间平行边的条数称为边(a,b) 的重数 • 含有平行边的图称为多重图 • 不含平行边和自回路的图称为简单图
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图-基本概念示例1
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(a)
(b)
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图的邻接矩阵
v1 v2
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v4
v3
0 0 1 0
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
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度数
• 图G中，与顶点v关联的边数称为点v的 度数，记作deg(v) • 在有向图中，以v为始点的有向边数称为 v的出度，记为deg+(v)；以v为终点的有 向边数称为v的入度，记为deg-(v) • 度数为零的顶点称为孤立点。度数为1 的顶点称为悬挂点，与悬挂点关联的边 称为悬挂边
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完全图
• • • • 在n阶无向图中 如果任何两点间都有一条边关联 则称此图为无向完全图 记作Kn
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K4
K5
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完全有向图
• 在n阶有向图中 • 如果任意两点都有两条方向相反的有向 边关联 • 且每一个顶点都有自回路 • 则称此有向图为完全有向图
• (a)是无向多重图
• (b)是有向多重图
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图-基本概念示例 2
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(a)
(b)
• (a)是有向简单图
• (b)是无向简单图
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图-基本概念5
• 无向图的一条无向边用一对方向相反的 有向边替代，从而转化为一个有向图 • 如果对无向图G的每条无向边指定一个 方向，由此而得到的有向图D，称为G的 定向图
赋权图
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• 赋权图G是一个三元组(V,E,g)或四元组 (V,E,f,g)， • 其中V是顶点集，E是边集，f是定义在V 上的函数，g是定义在E上的函数 • f(vi)和g(ej)分别称为顶点vi和边ej上的权。
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赋权图例
50 60
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图的操作
• 删边
– 删去图G中的某一条边，但仍保留边 的端点
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• 删点
– 删去图G中的某一点以及与这点所关 联的所有边
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图的操作-删边
v1 e1 v2 v1 v2
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e2
v4
e5 e3
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• 如果组成边ek的顶点有始点和终点之分， 称这样的边为有向边或称为弧，否则称 为无向边 • 每条边都是有向边的图称为有向图 • 每条边都是无向边的图称为无向图 • 既有有向边又有无向边的图称为混合图 • V(G)和E(G)都是有限集的图称为有限图； 否则称为无限图
图论—基本概念
离散数学
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图-基本概念1
• 图G是一个二元组(V(G),E(G))
– 非空集合V(G)={Vi} – V(G)中元素的偶对的集合E(G)={ek}
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பைடு நூலகம்
• V(G)中的元素Vi称为顶点；E(G)中 的元素ek称为边； • 有n个顶点、m条边的图常记为(n,m) 图或n阶图；
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竞赛图
• 在n阶有向图中 • 如果其底图是无向 完全图 • 则称此有向图为竞 赛图
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完全图边数
• n阶有向完全图的边数为n2 • n阶无向完全图的边数为n(n-1)/2
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定理5.1.2
• 设图G是具有n个顶点、m条边的无向图， 其中点集V={v1,v2,· · · ,vn}，则
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de g(v ) 2m
i
n
i 1
• 证明：因为在无向图中，每一条边使其 所关联的两点各增加一度，因此得证。 • 推论：在无向图中，度数为奇数得顶点 个数必为偶数。
图-基本概念2
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图-基本概念3
• 设边e=(a,b)，称顶点a,b是边e的端点， 称边e关联于顶点a和b，并称a、b是邻 接的 • 如果一条边的两端点重合，称为自回路 或自环 • 两顶点间若有n条边(对于有向图则有n条 同向边)称这些边为平行边