人教版九年级下检测卷第二十七章综合能力检测卷

人教版九年级下检测卷第二十七章综合能力检测卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（）
A．菱形都相似B．正六边形都相似
C．矩形都相似D．一个内角为80°的等腰三角形都相似
2．已知b5
a13
=，则
a b
a b
-
+
的值是（）
A．2
3
B．
3
2
C．
9
4
D．
4
9
3．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=5
2
GC D．EG=2GC
4．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）
A．EA EG
BE EF
=B．
EG AG
GH GD
=
C．AB BC
AE CF
=D．
FH CF
EH AD
=
6．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E
'''''，已知
10,20OA cm OA cm '==，则五边形ABCDE 的周长与五边形A B C D E '''''的周长比是
（ ）
A ．1∶2
B ．1∶4
C ．2∶3
D ．1∶3
7．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB=4，BC=2，那么线段EF 的长为（ ）
A ．
B
C
D 8．如图，ABC 与A B C '''都是等腰三角形，且5,3AB AC A B A C '''====，若
90B B ︒'∠+∠=，则ABC 与A B C '''的面积比为（ ）
A ．25∶9
B ．5∶3
C D ．9．如图，已知ABC 的面积是12，6BC =，点E ，I 分别在边AB ，AC 上，在边
BC 上依次作了n 个全等的小正方形，DEFG ，GFMN ，
，KHIJ ，则每个小正
方形的边长为（ ）
A ．
1211
B ．
12
23
n - C ．
125
D ．
12
23
n +
10．如图，CB ＝CA ，∠ACB＝90°，点D 在边BC 上(与B ，C 不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG⊥CA，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC＝FG ；②S △FAB ∶S 四边形CBFG ＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD 2
＝FQ·AC，其中正确结论的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．如图所示，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接AE ，交CD 于点F ，连接BF ，写出图中任意一对相似三角形：_____．
12．已知ABC DEF ∽△△，且面积比为9∶4，则ABC 与DEF 的对应角平分线之比为____．
13．如图，身高为1.6m 的小李AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测对岸一棵树CD 的高度，CD 的倒影是C′D ，且AEC′在一条视线上，河宽BD=12m ，且BE=2m ，则树高CD=________m.
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （2，0），B （2，1），C （0，1），以坐标原点O 为位似中心，将矩形OABC 放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA 1B 1C 1，B 为对应点为B 1，且B 1在OB 的延长线上，则B 1的坐标为__．
15．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长
线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为_____．
16．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC = ，Rt MPN ∆，90MPN ∠=，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当2PE PF =时，AP =________．
三、解答题
17．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E.
（1）求证：BDE CAD ∆∆∽；
（2）若13AB =，10BC =，求线段DE 的长.
18．如图是35⨯的网格，网格中每个小正方形的边长都是1，小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．
（1）图1中的格点三角形ABC 与格点三角形DEF 相似吗？请说明理由；
（2）请在图2中选择适当的位似中心画一个格点三角形111A B C ，使111A B C △与ABC 位似，且相似比不为1．
19．如图，在ABC 中，20,30BA BC cm AC cm ===，点P 从点A 出发，沿AB 以
4/
cm s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3/
cm s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为x s．
（1）当x为何值时，//
PQ BC？
（2）APQ与CQB
△能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．20．如图，明珠大厦的顶部建有一直径为16m的“明珠”，它的西面45m处有一高16m 的小型建筑CD，人站在CD的西面附近无法看到“明珠”外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须向西至少再走12m，求大厦主体建筑的高度．（不含顶部“明珠”部分的高度）
21．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，
点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD AM AP AO
．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AD=12，AM=MC，求BP
MD
的值．
22．如图(1)所示，等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC 于点C1交AB的延长线于点B1．
(1)请你探究：AC
AB
＝
CD
DB
，
1
1
AB
AC
＝1
1
C D
DB是否都成立？
(2)请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问AC AB
＝
CD
DB
一定成立吗？并证明你的判断．
(3)如图(2)所示Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝40
3
，E为AB上一点且AE
＝5，CE交其内角角平分线AD于F．试求DF
FA
的值．
参考答案
1．B 【分析】
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析即可. 【详解】
解：A 、所有的菱形，边长相等，所以对应边成比例，角不一定对应相等，所以不一定都相似，故本选项错误；
B 、所有的正六边形，边长相等，所以对应边成比例，角都是120，相等，所以都相似，故本选项正确；
C 、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故本选项错误；
D 、一个内角为80的等腰三角形可能是顶角80也可能是底角是80，无法判断，此选项错误； 故选B ． 【点睛】
本题考查的是相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同． 2．D 【解析】 ∵
b 5
a 13=，∴设出b=5k ，得出a=13k ，把a ，
b 的值代入a b a b -+，得， a b 13k 5k 8k 4
===a b 13k 5k 18k 9
--++．故选D ． 3．B 【解析】
分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到答案． 详解：∵DE ∥FG ∥BC ，DB=4FB ， ∴
31
EG DF GC FB ＝＝=3． 故选B ．
点睛：此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键． 4．B
【分析】
证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.
【详解】
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴AC AD AB AC
=，
∴AC2=AD•AB=2×8=16，
∵AC>0，
∴AC=4，
故选B.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题. 5．C
【分析】
根据相似三角形的性质和判定进行判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，
∴EA EG
BE EF
=，
EG AG
GH GD
=，HF FC CF
EH BC AD
==，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断．6．A
【分析】
先根据题意得出两个位似图形的位似比，进而得出相似比，然后进一步利用“两个相似多边形的周长的比等于它们的相似比”进一步求解即可.
由题意，知五边形ABCDE ∽五边形A B C D E '''''， ∵10,20OA cm OA cm '==， ∴位似比为
101
202
OA OA =='，即相似比为1∶2， ∴五边形ABCDE 的周长与五边形A B C D E '''''的周长比为1∶2， 故选A. 【点睛】
本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 7．B 【详解】
解：连接AF ，根据折叠的性知AF=CF ，AC ⊥EF ，OA=OC ，由AD=2，CD=4，根据勾股定
理可求得=
△COF ∽△CDA ，因此根据相似的性质可得
OC OF CD AD =，2
OF
=，可求得
，所以 故选B ．
【点睛】
本题考查折叠变换，勾股定理，相似三角形的性质及判定的应用，掌握性质定理正确推理论证是解题关键． 8．A 【分析】
如图，过点,A A '两点分别作AD BC ⊥于点D ，A D B C ''''⊥于点D ，然后先证明
ABD B A D '''∽，然后利用相似比的性质进一步求解即可.
【详解】
如图，过点,A A '分别作AD BC ⊥于点D ，A D B C ''''⊥于点D ， 则90ADB A D B ︒'''∠=∠=， ∴90B BAD ︒∠+∠=， 又∵90B B ︒'∠+∠=， ∴BAD B '∠=∠， ∴ABD B A D '''∽， ∵:5:3AB A B ''=，
∴ABD △与B A D '''的面积比是25∶9，
∵ABC 与A B C '''都是等腰三角形，且AD BC ⊥，A D B C ''''⊥， ∴△ABC 的面积=2△ABD 的面积，A B C '''的面积=2A B D '''△的面积 ∴ABC 与A B C '''的面积比也为25∶9. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的相似比与面积比的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 9．D 【分析】
设正方形的边长为x ，根据正方形的性质以及相似三角形性质先求出相应情况下的正方形边长，然后进一步寻求规律即可. 【详解】
当作了1个正方形时，如图所示，
过A作AM⊥BC，垂足为M，交GH于N，∴∠AMC=90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴GH∥BC，GH=GF，GF⊥BC，
∴∠AGH=∠B，∠ANH=∠AMC=90°，
∵∠GAH=∠BAC，
∴△AGH~△ABC，
∴AN:AM=GH:BC，
∵△ABC面积为12，BC为6，
∴
11
612
22
ABC
s BC AM AM
∆
===，
∴AM=4，
设GH=x，
∵GF=NM=GH，
∴AN=AM−NM=AM−GH=4x
-，
∴
4
64
x x
-=，
∴
12
5
x=，
同理，当2
n=时，根据正方形性质可得：DN=2DE，
∴24
4
DN DE BC
-
=，
∴
12
7 DN=，
以此类推，当为第n个正方形时，每个小正方形边长为：
12
23
n+
，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正方形性质以及相似三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
10．D
【解析】
试题解析：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°
，AD=AF=EF ， ∴∠CAD+∠FAG=90°
， ∵FG ⊥CA ，
∴∠GAF+∠AFG=90°
， ∴∠CAD=∠AFG ，
在△FGA 和△ACD 中，
{G C
AFG CAD AF AD
∠∠∠∠＝＝＝，
∴△FGA ≌△ACD （AAS ），
∴AC=FG ，①正确；
∵BC=AC ，
∴FG=BC ，
∵∠ACB=90°
，FG ⊥CA ， ∴FG ∥BC ，
∴四边形CBFG 是矩形，
∴∠CBF=90°，S △FAB =12FB•FG=12
S 四边形CBFG ，②正确； ∵CA=CB ，∠C=∠CBF=90°
， ∴∠ABC=∠ABF=45°
，③正确； ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC ，∠E=∠C=90°
， ∴△ACD ∽△FEQ ，
∴AC ：AD=FE ：FQ ，
∴AD•FE=AD 2=FQ•AC ，④正确；
故选D ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
11．△ADF∽△ECF
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质得到AD ∥CE ，则根据相似三角形的判定方法可判断
△ADF ∽△ECF ．
【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥CE ，
∴△ADF ∽△ECF ，
故答案为△ADF ∽△ECF ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定是解题的关键.
12．3:2
【分析】
根据相似三角形性质先求出相似比，然后进一步即可得出对应角平分线之比.
【详解】
∵ABC DEF ∽△△，且面积比为9∶4，
∴ABC 与DEF 的相似比为3∶2，
∴ABC 与DEF 的对应角平分线之比为3：2.
故答案为：3：2.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形相似比的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
13．8
【解析】
【分析】
利用相似三角形求对应线段成比例，求解即可．
【详解】
利用△ABE ∽△CDE ，对应线段成比例解题，
因为AB ，CD 均垂直于地面，所以AB ∥CD ，
则有△ABE ∽△CDE ，
∵△ABE ∽△CDE ， ∴AB BE CD DE
＝， 又∵AB=1.6，BE=2，BD=12，
∴DE=10，
∴1.62
10 CD
＝，
∴CD=8．
故答案为8．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，利用相似，求对应线段，是相似中经常考查极为普遍的类型题，关键是找准对应边．
14．（4，2）
【解析】
【详解】
解：∵B点坐标为（2，1），
而B为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，
∴B1的坐标为（2×2，1×2），即B1（4，2）．
故答案为：（4，2）．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
15．12
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可
得出AF AB
GF GD
==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG
为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，∴AF AB
GF GD
==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故答案为：12．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
16．3
【解析】
【分析】
如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出PQ
PR
=
PE
PF
=2，可得
PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．
【详解】
如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，
∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴PQ
PR
=
PE
PF
=2，∴PQ=2PR=2BQ．
∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，
∴2x+3x=3，∴x=3
5
，∴AP=5x=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．（1）见解析；（2）6013DE =
. 【分析】
对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C ，△ABC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD ⊥BC ，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED ，至此问题不难证明； 对于（2），利用勾股定理求出AD ，利用相似比，即可求出DE.
【详解】
解：（1)证明：∵AB AC =，
∴B C ∠=∠.
又∵AD 为BC 边上的中线，
∴AD BC ⊥.
∵DE AB ⊥，
∴90BED CDA ︒∠=∠=，
∴BDE CAD ∆∆∽.
(2)∵10BC =，∴5BD =.
在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得12AD =
=. 由（1）得BDE CAD ∆∆∽，∴BD DE CA AD
=， 即
51312
DE =， ∴6013DE =. 【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
18．（1）ABC DEF ∽△△，理由见解析；
（2）111A B C △如图所示（答案不唯一），见解析． 【分析】
（1）根据题意以及利用勾股定理求出三角形各个边长，然后进一步得出对应边成比例求证三角形相似即可；
（2）可选择A 点为位似中心，然后进一步按要求画出位似图形即可.
【详解】
（1）ABC DEF ∽△△，理由如下：
由题图，可知1,5AB BC AC DE EF DF ======，
则AB BC AC DE EF DF === ∴ABC DEF ∽△△；
（2）111A B C △如图所示：
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与位似图形的作图，熟练掌握相关概念是解题关键. 19．（1）当103x =
时，//PQ BC ；（2）能.当409AP cm =或20cm 时，APQ 与CQB △相似．
【分析】
（1）根据题意可知得4,3,(303) AP xcm CQ xcm AQ x cm ===-，然后利用平行线之间分线段成比例的性质进一步求解即可；
（2）根据题意，分APQ CQB ∽或APQ CBQ ∽两种情况进一步求解即可.
【详解】
（1）由题意，得4,3,(303) ,05AP xcm CQ xcm AQ x cm x ===-.
当//PQ BC 时，
AP AQ AB AC =，即43032030x x -=，解得103x =， ∴当103
x =时，//PQ BC . （2）能.
∵AB CB =，∴A C ∠=∠，分两种情况讨论：
若APQ CQB ∽，则AP AQ CQ CB
=，
即4303320x x x -=，∴109x =，此时409
AP cm =. 若APQ CBQ ∽，则
AP AQ CB CQ =， 即
4303203x x x
-=，∴5x =，此时AP 20cm =. 综上，当409AP cm =或20cm 时，APQ 与CQB △相似. 【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及相似三角形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
20．大厦主体建筑的高度为40m .
【分析】
根据题意可得出FAB FCD ∽与GAE GCD ∽，然后利用相似三角形性质得出AF 与AG ，利用=12FG AG AF -=进一步列出方程求解即可.
【详解】
由题图，知AE h =，易证FAB FCD ∽， ∴AF AB CF CD =，即164516AF h AF +=-，∴45(16)h AF h
+=. 同理易证GAE GCD ∽，∴
AG AE CG CD =， 即4516AG h AG =-，∴4516
h AG h =-. ∵=12FG AG AF -=，∴
4545(16)1216h h h h +-=-， 解得40h =或24h =-（不合题意，舍去）.
∴大厦主体建筑的高度为40m .
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
21．（1）证明见解析；（2）
BP MD =【解析】
【分析】
（1）欲证明PD 是⊙O 的切线，只要证明OD ⊥PA 即可解决问题；
（2）连接CD ．由（1）可知：PC=PD ，由AM=MC ，推出AM=2MO=2R ，在Rt △AOD 中，
OD 2+AD 2=OA 2，可得R 2+122=9R 2，推出，推出，，由23
AD AM AP AO ==，可得DP=6，再利用相似三角形的性质求出MD 即可解决问题. 【详解】
解：（1）如图，连接OD 、OP 、CD ， ∵AD AM AP AO
=，∠A=∠A ， ∴△ADM ∽△APO ，
∴∠ADM=∠APO ，
∴MD ∥PO ，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OM ，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵OP=OP ，OD=OC ，
∴△ODP ≌△OCP ，
∴∠ODP=∠OCP ，
∵BC ⊥AC ，
∴∠OCP=90°
， ∴OD ⊥AP ，
∴PD 是⊙O 的切线；
（2）如图，连接CD ，由（1）可知：PC=PD ，
∵AM=MC ，
∴AM=2MO=2R ，
在Rt △AOD 中，OD 2+AD 2=OA 2，
∴R 2+122=9R 2，
∴，
∴，， ∵23
AD AM AP AO ==， ∴DP=6，
∵O 是MC 的中点， ∴12
CO CP MC CB ==， ∴点P 是BC 的中点，
∴BP=CP=DP=6，
∵MC 是⊙O 的直径，
∴∠BDC=∠CDM=90°
，
在Rt △BCM 中，∵BC=2DP=12，，
∴，
∵△BCM ∽△CDM ，
∴MD MC
MC BM ==，
∴，
∴
BP MD ==．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题是关键．
22．(1)两个等式都成立．理由见解析； (2)结论仍然成立，理由见解析；(3)
DF AF ＝58
． 【解析】
【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到AD 垂直平分BC ，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC ，则DB=CD ，易得AC CD AB DB
=；由于∠C 1AB 1=60°，得∠B 1=30°，则AB 1=2AC 1，同理可得到DB 1=2DC 1，易得
1111AC C D AB DB =； （2）过B 点作BE ∥AC 交AD 的延长线于E 点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD ，则BE=AB ，并且根据相似三角形的判定得△EBD ∽△ACD ，得到AC CD BE DB =，而BE=AB ，于是有AC CD AB DB
=，这实际是三角形的角平分线定理； （3）AD 为△ABC 的内角角平分线，由（2）的结论得到8
3540,3583
CD AC EF AE DB AB
FC AC =====，又5340553
AE EB ==-，则有CD AE DB EB =，得到DE ∥AC ，根据相似三角形的判定得△DEF ∽△ACF ，即有58
DF EF AF CF ==. 【详解】
解：(1)两个等式都成立．理由如下：
∵△ABC 为等边三角形，AD 为角平分线，
∴AD 垂直平分BC ，∠CAD ＝∠BAD ＝30°，AB ＝AC ，
∴DB ＝CD ， ∴AC AB ＝CD DB
， ∵∠C 1AB 1＝60°，
∴∠B 1＝30°，
∴AB 1＝2AC 1，
又∠DAB 1＝30°，
∴DA ＝DB 1，
而DA ＝2DC 1，
∴DB 1＝2DC 1， ∴11AB AC ＝11
C D DB ； (2)结论仍然成立，理由如下：
如图所示，
△ABC 为任意三角形，过B 点作BE ∥AC 交AD 的延长线于E 点，
∴∠E ＝∠CAD ＝∠BAD ，
∴BE ＝AB ，
∵BE ∥AC ，
∴△EBD ∽△ACD ， ∴AC EB ＝CD BD
， 而BE ＝AB ， ∴
AC AB ＝CD DB ． (3)如图，连接DE ，
∵AD 为△ABC 的内角角平分线， ∴CD DB ＝AC AB ＝8403＝35，EF FC ＝AE AC ＝58， 又AE EB ＝54053
－＝35， ∴CD DB ＝AE EB
， ∴DE ∥AC ，
∴△DEF∽△ACF，
∴DF
AF
＝
EF
CF
＝
5
8
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质．。