函数中的任意和存在性问题(整理)
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函数中的恒成立、恰成立和能成立问题
教学目标： 结合具体函数，讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法
过程与方法 通过研究具体函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系 问题：
已知函数]1,0[,2)(2
∈+=x k x k x f ，函数]0,1[,5)1(23)(22-∈+++-=x x k k x x g ，
当6=k 时，对任意]1,0[1∈x ，是否存在]0,1[2-∈x ， )()(12x f x g =成立.若2=k 呢？ 变式1：对任意]1,0[1∈x ，存在]0,1[2-∈x ， )()(12x f x g =成立，求k 的取值范围.
()f x 的值域是()g x 的值域的子集即可.
变式2：存在]1,0[1∈x ]0,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g =成立，求k 的取值范围.
)(x g 的值域与)(x f 的值域的交集非空.
变式3：对任意]1,0[1∈x ，存在]0,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g <成立，求k 的取值范围.
)()(min min x f x g <
《小结》： 对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.
例1：（1）已知22(),[1,),()0x x a
f x x f x x ++=∈+∞≥对任意恒成立，求实数a 的取值范围。 （2）已知22()x x a
f x x ++=，对任意[1,)x ∈+∞，()f x 的值域是[0+∞，），求实数a 的取值范围。
分析：本题第（1）问是一个恒成立问题，由于1≥x ，02)(2≥++=
x
a
x x x f 恒成立，则此问题等价于)1(02)(2
≥≥++=x a x x x ϕ恒成立，又等价于1≥x 时)(x ϕ的最小值0≥恒成立.
由于1)1()(2
-++=a x x ϕ在1≥x 时为增函数，所以3)1()(min +==a x ϕϕ，于是30a +≥，
3a ≥-.
第（2）问是一个恰成立问题，即当1≥x 时，)(x f 的值域恰为),0[+∞,与（1）不同的是，（1）是1≥x 时，0)(≥x f 恒成立，因此允许在1≥x 时，)(x f 的取值为),2[+∞，),3[+∞，------等等.
而)(x f 的值域为),0[+∞，则当1≥x 时，)(x f 只能取),0[+∞，而不能是其他.
=++=
x a x x x f 2)(22++x a x ，当0≥a 时，由于1≥x ，32)(≥++=x
a