离散数学 第2章 计数问题.
[工学]离散数学-第02章-计数问题
![[工学]离散数学-第02章-计数问题](https://img.taocdn.com/s3/m/a8314d56524de518974b7d9a.png)
B = (A∩B)∪(B-A)。
|B-A|= |B|－|A∩B|
推论2.4.2 设U为全集，A和B是任意有限集合，则
ABU (A B )AB
2020/10/10
24
福建农林大学离散数学课程组
三个集合的情形
定理2.4.3 设 A, B 和 C 是任意三个有限集合, 有
ABC A B C AB AC BC ABC
n1n2 nt
2020/10/10
5
福建农林大学离散数学课程组
2.2.2 加法原理
假定 X1, X2, …, Xt 均为集合，第 I 个集合 Xi 有 ni 个元素。如 {X1, X2, …, Xt} 为两两不相交的集合， 则可以从 X1, X2, …, Xt 中选出的元素总数为：
n1 + n2 + … + nt。
2020/10/10
23
福建农林大学离散数学课程组
定理2.4.1
设A和B是任意有限集合，有 |A∪B| = |A|＋|B|－|A∩B|。
A-B
U A
分析 由图2.4.1容易看出， A∪B = (A-B)∪(A∩B)∪(B-A)，
B
图2.4.1 B-A
A = (A-B)∪(A∩B)，
|A∪B| = |A-B|+|A∩B|+|B-A| |A| = |A-B|+|A∩B|
U A
B C
2020/10/10
图2.4.2
27
福建农林大学离散数学课程组
例2.4.2 解（续）
（1）利用容斥原理得 ABC
UABCABACBC ABC = 106
（2） A B C
BA BB CA B C 9426221460
离散数学2PPT课件
3/25/2021
2021
4
定义
CHAPTER TWO
定义2.1 设A ,B 是两个命题公式，若A, B构成的等价式A ↔ B为 重言式，则称A与B是等值的, 记为A⇔B。
3/25/2021
2021
11
例24
证明：(p→q)→r
⇔
p→(q→r）.
CHAPTER TWO
证 方法一：真值表法。
方法二：观察法。 方法三: 记A=(p→q)→r, B= p→(q→r)。先将A,B等值演算
化成易于观察真值的公式，再进行判断。
A=(p→q)→r⇔(┐p∨q)→r
(蕴含等值式)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r
(交换律，结合律)
(10) ⇔ p∧(1∨p)
（排中律）
(11) ⇔ p∧1
（零律）
(12) ⇔ p
（同一律）
(13) 可见，（3）中公式不是重言式，因为00，01 都是成假赋
值；它也不是矛盾式，因为10，11 都是其成真赋值，故它是可
3/25/20满21足式。
2021
15
例2.6
CHAPTER TWO
B2∧C3∧D10, B3∧C1∧D2p∧┐q∧r, B3∧C2∧D10 于是，由同一律可知 E(┐p∧q∧┐r) ∨(p∧┐q∧r)
但因为王教授不能既是苏州人，又是杭州人，因而p,r必有一个为假命 题，即p∧┐q∧r0 。
于是 E┐p∧q∧┐r 为真命题，因而必有p,r为假命题，q为真命题， 即王教授为上海人，甲说得全对，丙说对了一半，而乙全说错啦。
离散数学课后习题答案(第二章)
b) 他是田径或球类运动员。 解：设 S（x） ：x 是田径运动员。B（x） ：x 是球类运动员。h：他 则有 S（h）∨B（h） c) 小莉是非常聪明和美丽的。 解：设 C（x） ：x 是聪明的。B（x） ：x 是美丽的。l：小莉。 则有 C（l）∧ B（l） d）若 m 是奇数，则 2m 不是奇数。 解：设 O（x） ：x 是奇数。 则有 O（m）→¬ O（2m） 。 e)每一个有理数是实数。 解：设 R（x） ：x 是实数。Q（x） ：x 是有理数。 则有 （∀x） （Q（x）→R（x） ） f) 某些实数是有理数。 解：设 R（x） ：x 是实数。Q（x） ：x 是有理数。 则有 （∃x） （R（x）∧Q（x） ） g) 并非每个实数都是有理数。 解：设 R（x） ：x 是实数。Q（x） ：x 是有理数。 则有 ¬（∀x） （R（x）→Q（x） ） h)直线 A 平行于直线 B，当且仅当直线 A 不相交于直线 B。 解：设 P（x，y） ：直线 x 平行于直线 y，G（x，y） ：直线 x 相交于直线 y。 则有 P（A，B）�¬G（A，B） （2） 找出以下十二个句子所对应的谓词表达式。 a) 所有的教练员是运动员。 （J(x)，L(x)） 解：设 J(x)：x 是教练员。L(x)：x 是运动员。 则有 （∀x） （J（x）→L（x） ） b) 某些运动员是大学生。 （S(x)） 解：设 S(x)：x 是大学生。L(x)：x 是运动员。 则有 （∃x） （L（x）∧S（x） ） c) 某些教练是年老的，但是健壮的。 （O(x)，V（x） ） 解：设 J(x)：x 是教练员。O(x)：x 是年老的。V（x） ：x 是健壮的。 则有 （∃x） （J（x）∧O（x）∧V（x） ） d) 金教练既不老但也不健壮的。 （j） 解：设 O(x)：x 是年老的。V（x） ：x 是健壮的。j：金教练 则有 ¬ O（j）∧¬V（j） e) 不是所有的运动员都是教练。 解：设 L(x)：x 是运动员。J(x)：x 是教练员。 则 ¬（∀x） （L（x）→J（x） ） f) 某些大学生运动员是国家选手。 （C（x） ）
离散数学计数定律
离散数学计数定律离散数学是指研究离散化对象及其性质的数学分支。
计数是离散数学的一个重要领域，涉及了各种计算和统计问题。
在离散数学计数定律中，有一些重要的原理和定理被广泛应用于计算和统计的各个领域。
1. 乘法规则：若一个计算过程分为k个相互独立的部分，且第一部分有n1种不同的方式，第二部分有n2种不同的方式，以此类推，第k部分有nk种不同的方式，则整个计算过程有n1*n2*...*nk种不同的方式。
2. 加法规则：若一个计算过程分为k个不相交的部分，且第一部分有n1种不同的方式，第二部分有n2种不同的方式，以此类推，第k部分有nk种不同的方式，则整个计算过程有n1+n2+...+nk种不同的方式。
3. 排列：从n个元素中选取r个元素进行排列，有P(n,r) = n! / (n-r)! 种不同的排列方式。
4. 组合：从n个元素中选取r个元素进行组合，有C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!) 种不同的组合方式。
5. 二项式定理：对于任意实数a和b，以及任意非负整数n，有(a+b)^n =C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + ... + C(n,n)*a^0*b^n。
6. 完全排列原理：对于一个元素集合S，若n个元素有ni种不同的排列方式（i从1到k），则这些元素的完全排列方式共有n1! * n2! * ... * nk! 种。
7. 抽屉原理：若n+1个物体放入n个抽屉中，至少有一个抽屉中会放有两个或更多物体。
8. 鸽笼原理：若将n+1只鸽子放入n个鸽笼中，那么至少会有一个鸽笼中放有两只或更多的鸽子。
这些离散数学计数定律在不同领域的计算和统计问题中起着重要的作用，能够帮助解决各种复杂的计数和排列组合问题。
离散数学第2章习题解答
F(x) F(x))，也可能不存在其值不确定的解释。
2．10(1)
xA(x)
(A(a)
A(b)
A(c))
(消去量词等值式)
A(a)
A(b)
A(c)
(德·摩根律)
x A(x)
(消去量词等值式)
2)
xA(x)
(A(a)
A(b)
A(c))
( H (b,a) H (b,b) H (b, c)
(H(c,a) H(c,b) H (c,c)
分析 在有穷个体域内消去量词时， 应将量词的辖域尽量缩小， 例如，在(2) 中，首先将量词辖域缩小了(因为yG(y)中不含x，所以，可以缩小)。否则，演算是相当麻烦的。见下面的演算：
x(F(x) yG(y)
x(F(x) (G(x) H (x))
(2)令F(x):x是人，G(y):y是化，H (x) : x喜欢，命题符号化为x(F(x) y(G(y) H ( x, y)))
(3)令F(x):x是人，G(x) : x犯错误，命题符号化为
x(F(x) G(x)),
或另一种等值的形式为
x(F(x) G(x)
(4)令F(x): x在北京工作，G( x) : x是北京人，命题符号化为
在一阶逻辑中，将命题符号化时，当引入特性谓词(如题中的F(x))之后，
全称量词后往往使用联结词→而不使用，而存在量词 后往往使用 ，而不使用→，如果用错了，会将真命题变成假命题，或者将假命题变成真命题。
2．6在解释R下各式分别化为
(1)x( x 0);
(2)x y(x y x);
(3)x y z(x y) (x z y z));
离散数学教程与范例
离散数学是现代数学的一个重要
绪 言
分支，是计算机科学与技术的基 础理论的核心课程之一。离散数 学与计算机科学中的数据结构、 操作系统、编译理论、算法分析、 逻辑设计、系统结构、机器定理 证明等课程息息相关。 基本内容包括数理逻辑、集合论、 代数系统、图论等几大部分。
离散数学
离散数学(Discrete Mathematics)："研究离散
七桥问题
哥尼斯堡城位于普雷格尔河畔，河中有两个岛，七 座桥使两个河心岛及两岸彼此相连。十八世纪的城中居 民热衷于这样一个问题：游人从四块陆地中的任何一地 出发，能否找到一条路线，通过每桥一次且仅一次，最 后返回原地？
欧拉对七桥问题的解 1736年，著名数学家欧拉研究了七桥问题，他将这 个问题用结点和弧边组成的图来表示，问题归结为从 图中任一结点出发，经过每边一次且仅一次的回路是 否存在？他找到了存在这样一条回路的充分必要条件， 并由此判断七桥问题无解而结束了哥尼斯堡城民的烦 恼。例2 Nhomakorabea2.4 解
（1）根据乘法原理，可能的选法种数为 6×5×4= 120； （2）[法一] 根据题意，确定职位可分为3个 步骤：确定主席有2种选择；主席选定后， 秘书有5个人选；主席和秘书都选定后，出 纳有4个人选。根据乘法原理，可能的选法 种数为2×5×4 = 40；
2013-7-28
例2.2.4 解(续)
解（二）
用一一对应技术 一场比赛对应一个被淘汰者，反之也真，那 么比赛场数与被淘汰者人数是相等的。由于 优胜者只有一人，全部被淘汰者是100人， 因此要进行100场比赛方可决出优胜者。
土耳其商人和帽子的故事
这是著名物理学家爱因斯坦出过的一道题。
一个土耳其商人，想找一个十分聪明的助手协助他经商， 有两个人前来应聘，这个商人为了试一试哪一个聪明些，就 把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开电灯后：“这张桌 子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的。现在，我 把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人 摸一顶帽子戴在头上，在我开灯后，请你们尽快的说出自己 头上戴的帽子是什么颜色的。”说完之后，商人将电灯关掉， 然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶 帽子藏了起来，接着把电灯打开，这时，那两个有应试者看 到商人头上戴的是一顶红帽子，过了一会儿，其中一个人便 喊到：“我戴的是黑帽子。” 请问这个人猜得对吗？是怎么推导出来的？
离散数学答案第二章习题解答
习题与解答1. 将下列命题符号化：(1) 所有的火车都比某些汽车快。
(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
(4) 每个人都有自己喜欢的职业。
(5) 有些职业是所有的人都喜欢的。
解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。
令x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。
“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀。
(2) 取论域为所有物质的集合。
令x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。
“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀。
(3) 论域和谓词与(2)同。
“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃。
(4) 取论域为所有事物的集合。
令x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。
“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀(5)论域和谓词与(4)同。
“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃。
2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），•（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化：(1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。
(2) 任何两个正整数都有最小公倍数。
(3) 没有最大的素数。
(4) 并非所有的素数都不是偶数。
解 先引进一些谓词如下：x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =•∃。
x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =•⌝∃。
离散数学 第2章 习题解答
离散数学第2章习题解答习题 2.11．将以下命题符号化。
(1) 4不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：4。
“4不是奇数。
”符号化为：172;A(a)(2) 2是偶数且是质数。
解：设A(x)：x是偶数。
B(x)：x是质数。
a：2。
“2是偶数且是质数。
”符号化为：A(a)∧B(a)(3) 老王是山东人或河北人。
解：设A(x)：x是山东人。
B(x)：x是河北人。
a：老王。
“老王是山东人或河北人。
”符号化为：A(a)B(a)(4) 2与3都是偶数。
解：设A(x)：x是偶数。
a：2，b：3。
“2与3都是偶数。
”符号化为：A(a)∧A(b)(5) 5大于3。
解：设G(x,y)：x大于y。
a：5。
b：3。
“5大于3。
”符号化为：G(a,b)(6) 假设m是奇数，那么2m不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：m。
b：2m。
“假设m是奇数，那么2m不是奇数。
”符号化为：A(a)→A(b) (7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。
设D(x,y)：直线x相交于直线y。
a：直线A。
b：直线B。
“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
”符号化为：C(a,b) 172;D(x,y)(8) 小王既聪明又用功，但身体不好。
解：设A(x)：x聪明。
B(x)：x用功。
C(x)：x身体好。
a：小王。
“小王既聪明又用功，但身体不好。
”符号化为：A(a)∧B(a)∧172;C(a)(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。
解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。
a：秦岭。
b：渭水。
c：汉水。
“秦岭隔开了渭水和汉水。
”符号化为：A(a,b,c)(10) 除非小李是东北人，否那么她一定怕冷。
解：设A(x)：x是东北人。
B(x)：x怕冷。
a：小李。
“除非小李是东北人，否那么她一定怕冷。
”符号化为：B(a)→172;A(a)2．将以下命题符号化。
并讨论它们的真值。
(1) 有些实数是有理数。
离散数学 第2章 计数问题.
例2.2.2
Melissa病毒
1990年，一种名叫Melissa的病毒利用侵吞系统资源的 方法来破坏计算机系统，通过以含恶意宏的字处理文 档为附件的电子邮件传播。当字处理文档被打开时， 宏从用户的地址本中找出前 50 个地址，并将病毒转发 给他们。用户接收到这些被转发的附件并将字处理文 档打开后，病毒会自动继续转发，不断往复扩散。病 毒非常快速地转发邮件，将被转发的邮件临时存储在 解 根据Melissa病毒的扩散原理，经过四次转发， 某个磁盘上，当磁盘占满后，系统将会死锁甚至崩溃。 共有 问经过四次转发，共有多少个接收者？ 50×50×50×50+50×50×50+50×50+ 50 +1 = 6377551个接收者。
（ 4 ）若田伯光和东方不败都有职位，共有多少种 选法？
2019/2/22 78-10
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
例2.2.4 解
（ 1 ）根据乘法原理，可能的选法种数为 6×5×4= 120；
（2） [法一 ] 根据题意，确定职位可分为 3个步骤： 确定主席有2种选择；主席选定后，秘书有5个人选； 主席和秘书都选定后，出纳有 4 个人选。根据乘法 原理，可能的选法种数为2×5×4 = 40；
2019/2/22 78-7
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
例2.2.3
在一幅数字图像中，若每个像素点用 8 位进行编码， 问每个点有多少种不同的取值。 分析 用8位进行编码可分为8个步骤：选择第一位， 选择第二位， … ，选择第八位。每一个位有两种 选择，故根据乘法原理，8位编码共有 2×2×2×2×2×2×2×2 = 28 = 256种取值。
离散数学课件第2章
序,而集合中的元素是不讲顺序的。但是 为了将所有的 概念都统一于集合概念， 可采用克亚托斯基(Kazimierz Kurafowski)在1921年给出的定义 (a, b)={{a},{a, b}} 将二元组定义为比其元素高二层的集合； (4) 也可用二元组来递归的定义n元组如下： (a,b,c)=((a,b),c)
例9 .设 A={1,2,3} R1 ={(1,1),(2,2)} ， R2 ={(1,2),(2,1)} 。
16
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)： R(a)={b : bBaRb }B ； (2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。 定理.设R A×B是一个二元关系， A1 ,A2 A 。则 (1)保序性：A1 A2 R(A1) R(A2) ； (2)R(A1∪A2) = R(A1)∪R(A2) ； (3)R(A1∩A2) R(A1)∩R(A2) 。
例.设A={a,b,c,d}， A1 = {c,d} ， R={(a,a),(a,b),(b,c),(c,a),(d,c),(c,b)}。
17
§3 .关系的表示
关系的性质
一.关系表示法 1°关系的矩阵表示法 设关系RA×B ， 这里A,B是两个非空的有限集合， A={ a1,a2,a3,…,am } ， B={ b1,b2,b3,…,bn } 。 则 用一个m×n阶0—1矩阵MR来表示关系R， 称此矩 阵MR为关系R的关系矩阵(relation matrix)。 MR=(xij)m×n ，其中 1 当（ai,bj) R时 xij = ( i=1,…,m ； j=1,…,n) 0 当（ai,bj) R时
[工学]离散数学-第02章-计数问题
![[工学]离散数学-第02章-计数问题](https://img.taocdn.com/s3/m/f38f727452d380eb63946d4e.png)
（2）一手牌中的5张都是同一花色，共有多 少种可能的组合？
解： 分两步进行： 一选花色，有 C(4,1) 种， 二在选定的花色中选5张牌，有 C(13,5) 种。
据乘法原理，有 C(4,1)×C(13,5) 种。
（3）一手牌中有3张牌点数相同，另外两张 牌点数相同，共有多少种可能的组合？
n1n2 nt
2.2.2 加法原理
假定 X1, X2, …, Xt 均为集合，第 I 个集合 Xi 有 ni 个元素。如 {X1, X2, …, Xt} 为两两不相交的集合， 则可以从 X1, X2, …, Xt 中选出的元素总数为：
n1 + n2 + … + nt。
即集合 X1∪X2∪…∪Xt 含有 n1 + n2 + … + nt 个元素。
2.4 容斥原理与鸽笼原理
容斥原理是研究若干有限集合交与并的计数问题。 鸽笼原理则是研究某些特定对象的存在性问题。
2.4.1 容斥原理
定义2.4.1 所谓容斥，是指我们计算某类物体的 数目时，要排斥那些不应包含在这个计数中的数 目，但同时要包容那些被错误地排斥了的数目， 以此补偿。这种原理称为容斥原理，又称为包含 排斥原理。
9!× P(10,5) =（9!×10!)/5!。
2.3.2 组合问题
定义2.3.2 从含有n个不同元素的集合S中无序选取 的r个元素叫做S的一个r -组合，不同的组合总数记 为 C(n,r)。
当 n≥r = 0 时，规定 C(n,r) = 1。 显然，当 r>n 时，C(n,r) = 0。
定理2.3.4
Байду номын сангаас
P(n,r) n!
离散数学及其应用第三版第二章计数问题课后答案
离散数学及其应用第三版第二章计数问题课后答案1、从3点到6点，分针旋转了多少度？[单选题] *90°960°-1080°(正确答案)-90°2、由数字1、2、3、4、5可以组成多少个不允许有重复数字的三位数?（）[单选题]*A、125B、126C、60(正确答案)D、1203、已知5m－2n－3＝0，则2??÷22?的值为( ) [单选题] *A. 2B. 0C. 4D. 8(正确答案)4、7．已知点A(－2，y1)，B(3，y2)在一次函数y＝－x＋b的图象上，则( ) [单选题]* A．y1 > y2(正确答案)B．y1 < y2C．y1 ≤y2D．y1 ≥y25、若3x＋4y－5＝0，则8?·16?的值是( ) [单选题] *A. 64B. 8C. 16D. 32(正确答案)6、16．若过多边形的每一个顶点只有6条对角线，则这个多边形是（）[单选题] * A．六边形B．八边形C．九边形(正确答案)D．十边形7、计算－(a－b)3(b－a)2的结果为( ) [单选题] *A. －(b－a)?B. －(b＋a)?C. (a－b)?D. (b－a)?(正确答案)8、函数式?的化简结果是（）[单选题] *A.sinα-cosαB.±（sinα-cosα）(正确答案)C.sinα·cosαD.cosα-sinα9、8．一个面积为120的矩形苗圃，它的长比宽多2米，苗圃长是（）[单选题] *A 10B 12(正确答案)C 13D 1410、函数y=kx（k是不为0的常数）是（）。
[单选题] *正比例函数(正确答案)一次函数反比例函数二次函数函数11、4、已知直角三角形的直角边边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（）[单选题] *A、6B、10(正确答案)C、8D、212、4．已知第二象限的点P(－4，1)，那么点P到x轴的距离为( ) [单选题] *A．1(正确答案)B．4C．－3D．313、27.下列各函数中，奇函数的是（）[单选题] *A. y=x^(-4)B. y=x^(-3)(正确答案)C .y=x^4D. y=x^(2/3)14、-120°用弧度制表示为（）[单选题] *-2π/3(正确答案)2π/3-π/3-2π/515、函数y= 的最小正周期是（）[单选题] *A、B、(正确答案)C、2D、416、下列说法中，正确的是（）[单选题] *A、第一象限角是锐角B、第一象限角是锐角(正确答案)C、小于90°的角是锐角D、第一象限的角不可能是钝角17、1．(必修1P5B1改编)若集合P={x∈N|x≤2 022}，a=45，则( ) [单选题] * A．a∈PB．{a}∈PC．{a}?PD．a?P(正确答案)18、9．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝8，则k的值为( ) [单选题] * A．4B．5C．－6D．－8(正确答案)19、8.如果直角三角形的三条边为2，4，a，那么a的取值可以有（）[单选题] *A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个(正确答案)20、7．把点平移到点，平移方式正确的为（）[单选题] *A．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度(正确答案)21、35、下列判断错误的是（）[单选题] *A在第三象限，那么点A关于原点O对称的点在第一象限.B在第二象限，那么它关于直线y=0对称的点在第一象限.(正确答案)C在第四象限，那么它关于x轴对称的点在第一象限.D在第一象限，那么它关于直线x=0的对称点在第二象限.22、22、在平面直角坐标系中，已知点P，在轴上有点Q，它到点P的距离等于3，那么点Q的坐标是（）[单选题] *(0,3)(0,5)(0,-1)(0,5)或(0,-1) (正确答案)23、5．下列说法中正确的是（）[单选题] *A．没有最大的正数，但有最大的负数B．没有最小的负数，但有最小的正数C．没有最小的有理数，也没有最大的有理数(正确答案)D．有最小的自然数，也有最小的整数24、4.小亮用天平称得牛奶和玻璃杯的总质量为0.3546㎏，用四舍五入法将0.3546精确到0.01的近似值为（）[单选题] *A.0.35(正确答案)B.0.36C.0.354D.0.35525、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ26、22．如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有使三颗颜色相同的棋在同一直线上的直线，满足这种条件的直线共有（）[单选题] *A．5条(正确答案)B．4条C．3条D．2条27、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、428、28.已知点A（2,3）、B（1,5），直线AB的斜率是（）[单选题] *A.2B.-2C.1/2D.-1/2(正确答案)29、x3??(m为正整数)可写成( ) [单选题] *A. x3＋x?B. x3－x?C. x3·x?(正确答案)D. x3?30、已知x-y=3,x2-y2=12,那么x+y的值是( ??) [单选题] *A. 3B. 4(正确答案)C. 6D. 12。
离散数学第二章知识点
命题逻辑等值演算等值式定理：设A，B两个命题公式（即前面的合式公式），若A，B构成的等价式A↔B为重言式，则A与B是等值的，记作A⇔B(可以说该式子为等值式模式)常用的16组等值式模式：双重否定律：A⇔﹁﹁A幂定律：A⇔A∧A，A⇔A∨A交换律:A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A结合律：(A∨B)∨C⇔A(B∨C)(A∧B)∧C⇔A(B∧C)分配律:A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)德摩根律：﹁(A∨B)⇔﹁A∧﹁B﹁(A∧B)⇔﹁A∨﹁B吸收律：A∨(A∧B)⇔A，A∧(A∨B)⇔A零律：A∨1⇔1,A∧0⇔0同一律:A∨0⇔A,A∧1⇔1排中律:A∨﹁A⇔1矛盾律:A∧﹁A⇔0蕴涵等值式: A→B⇔﹁A∨B等价等值式: A↔B⇔(A→B)∧(B→A)假言易位:A→B⇔﹁B→﹁A(这里可以用逆否命题的概念证明)等价否定等值式:A↔B⇔﹁A↔﹁B(或写成﹁B↔﹁A，这里可以用逆否命题的概念证明)归谬(miu)论：(A→B)∧(A→﹁B)⇔﹁A(此处可以通过蕴涵等值式，交换律以及结合律进行结合证明)上述等值式模式可以通过真值表证明等值式的验证1.等值演算法（即通过等值式模式对原式进行变形）举例:(p∨q)→r⇔(p→r)∧(q→r)证明时可以从左边开始演算也可以从右边开始演算，无硬性要求，这里我们从右边开始演算。
(p→r)∧(q→r)⇔(﹁p∨r)∧(﹁q∨r) //蕴涵等值式⇔(﹁p∧﹁q)∨r //分配律⇔﹁(p∨q)∨r //德摩根律⇔(p∨q)→r //蕴涵等值式2.真值表法（我在第一章的最后有叙述，这里不再重述）3.观察法（也可称为带入法，此处适合用以证明两式不等值的情况）关于等值演算法的补充：等值演算法可以用以证明公式的类型。
1.当最后结果为1时为重言式（永真式）2.当最后结果为0时为矛盾式（永假式）3.当最后结果只能化成某个命题变项或公式时为可满足式析取范式与合取范式简单析取式：p,﹁p,p∨q,﹁p∨q,p∨﹁q,,﹁p∨﹁q,﹁p∨﹁q∨r等（这里可以发现的是里面都只含有析取联结词，简单析取式结构就是由析取联结词和命题变项组成的一个公式）简单合取式：p,﹁p,p∧q,﹁p∧q,p∧﹁q,,﹁p∧﹁q,﹁p∧﹁q∧r等（这里可以发现的是里面都只含有合取联结词，简单合取式结构就是由合取联结词和命题变项组成的一个公式）课本中的定理：命题变项及其否定统称为文字。
离散数学(计数)
2013-8-19
(1)
§3.3 Permutations and Combinations
3.3.1 Permutations （1）r-permutation
Theorem： The number of r-permutations of a set with n distinct elements is P(n,r) = n(n-1)(n-2)….(n-r+1).
2013-8-19
§3.2 The Pigeonhole principle
(3)
3.2.3 Some elegant applications of the pigeonhole principle
Theorem： Every sequence of n2+1 distinct real numbers contains a subsequence of length n+1 that is either strictly increasing or strictly decreasing.
2013-8-19
§3.2 The Pigeonhole principle
a1,a2,…an2+1 是n2+1个不同的实数 对于数列中的每一个项ai 都关联一个有序对(ik, dk) 即任意ak ∈{a1,a2,…an2+1 } 定义 函数f: ak → (ik, dk) 其中: ik从ak开始的最长递增子序列的长度 dk从ak开始的最长递减子序列的长度 (结论否定)假如没有长度为n+1的递增(减)序列 那么ik和dk都是小于等于n的正整数
2013-8-19
§3.1 The basics of counting
离散数学第2章ppt课件
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
《离散数学第2章》课件
关系的运算
总结词
关系的运算包括并、交、差、对称差两个关系的元素合并，并 保留重复的关联；交运算是保留两个关系中 共有的关联；差运算是从一个关系中去除另 一个关系中的关联；对称差运算是将两个关 系中的不同元素合并；复合运算是根据一个 关系来定义另一个关系中的关联。
01
分布函数是单调非减的，且在无 穷大处的极限为1，在负无穷处 的极限为0。
03
离散随机变量的分 布函数
对于离散随机变量，其分布函数 可以表示为一系列离散的阶梯函 数。
随机变量的数字特征
数学期望
数学期望是随机变量所有可能取值的 概率加权和，表示随机变量取值的平 均值。
协方差和相关系数
协方差是两个随机变量的数学期望的 差的期望值，相关系数是协方差与两 个随机变量标准差的乘积的比值。
随机变量的取值范围
随机变量的取值范围称为随机变量的值域，可以是有 限集、可数无穷集或不可数集。
随机变量的分类
根据取值范围的不同，离散随机变量可以分为离散型 和连续型。
随机变量的分布函数
01
分布函数的定义
对于离散随机变量，其分布函数 是所有可能取值的概率之和，表 示随机变量取某个值的概率。
02
分布函数的性质
必然事件
概率值为1的事件，表示一定会 发生。
不可能事件
概率值为0的事件，表示一定不 会发生。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
条件概率
条件概率的公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
条件概率的应用
在决策树、贝叶斯定理等领域有广泛应用。
独立性
01
事件的独立性是指一个事件的 发生不受另一个事件是否发生 的影响。
离散数学(微课版) 第2章习题答案
离散数学（微课版）第2章习题答案2.1 集合与运算习题1给定两个集合A={1，3，5，7，9}和B={2，4，6，8，10}，求A∪B和A∩B。
解答：集合A和B的并集（A∪B）是包含了A和B中所有元素的集合。
根据题目给出的集合A和B，可以得到并集A∪B={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}。
集合A和B的交集（A∩B）是包含了A和B中共有的元素的集合。
根据题目给出的集合A和B，可以得到交集A∩B={}，因为集合A和B中没有共有的元素。
习题2给定两个集合A={奇数}和B={偶数}，求A和B的交集和并集。
如果集合B改为B={2，4，6，8}，结果是否有变化？解答：集合A表示奇数，集合B表示偶数。
当集合A和B中元素的范围比较广泛时，它们的交集为{}，因为奇数和偶数没有共有的元素。
当集合B改为B={2，4，6，8}时，集合A和B中共有的元素为{}，并集为A∪B=奇数∪{2，4，6，8}={奇数，2，4，6，8}。
2.2 命题与逻辑运算习题3给定两个命题p：“小明喜欢篮球”和q：“小明是篮球队的队长”。
请判断以下复合命题是真还是假：（1）p∧q；（2）p∨q；（3）p→q。
解答：命题p：“小明喜欢篮球” 是真命题。
命题q：“小明是篮球队的队长” 是假命题。
（1）p∧q：当p和q都为真时，命题p∧q才为真。
根据题目中给出的p和q的真值，可以确定p∧q是假命题。
（2）p∨q：当p和q中至少一个为真时，命题p∨q就为真。
根据题目中给出的p和q的真值，可以确定p∨q是真命题。
（3）p→q：当p为真时，命题p→q为真，否则为假。
根据题目中给出的p和q的真值，可以确定p→q是真命题。
习题4给定一个命题p：“2是偶数”。
请判断以下复合命题是真还是假：（1）¬p；（2）p∧¬p；（3）¬p∨p。
解答：命题p：“2是偶数” 是真命题。
（1）¬p：取命题p的否定，即“2不是偶数”，根据命题p的真值，可以确定¬p是假命题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即集合X1∪X2∪…∪Xt含有n1 + n2 + … + nt个元素。
2019/2/22
78-9
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
例2.2.4
由令狐冲、岳不群、左冷禅、田伯光、任我行和东 方不败六个人组成的委员会，要选出一个主席、一 个秘书和一个出纳员。
（1）共有多少种选法？ （ 2 ）若主席必须从令狐冲和岳不群种选出，共有 多少种选法？ （3）若任我行必须有职位，共有多少种选法？
解
每个点有256( = 28) 种不同的取值。
2019/2/22
78-8
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
2.2.2
加法原理
假定 X1, X2, …, Xt 均为集合，第 i 个集合 Xi 有 ni 个元素。如 X1, X2, …, Xt 为两两不相交的集合， 则可以从X1, X2, …, Xt中选出的元素总数为： n 1 + n 2 + … + n t。
(3)[ 法一 ] 将确定职位分为 3 步：确定任我行的职 位,有 3种方法；确定余下的较高职位人选 , 有5 个 人选；确定最后一个职位的人选 , 有 4 个人选。根 据乘法原理，共有3×5×4 = 60种选法； [法二] 根据(1)的结论，如果任我行为主席，有20 种方法确定余下的职位；若任我行为秘书，有20种 方法确定余下的职位；若任我行为出纳员，也有20 种方法确定余下的职位。由于三种选法得到的集合 不相交，根据加法原理，共有 20＋20＋20 = 60种选法；
2019/2/22 78-7
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
例2.2.3
在一幅数字图像中，若每个像素点用 8 位进行编码， 问每个点有多少种不同的取值。 分析 用8位进行编码可分为8个步骤：选择第一位， 选择第二位， … ，选择第八位。每一个位有两种 选择，故根据乘法原理，8位编码共有 2×2×2×2×2×2×2×2 = 28 = 256种取值。
2019/2/22 78-2
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
2.0 内容提要
1 乘法原理和加法原理
2
排列与组合 容斥原理与鸽笼原理
3
2019/2/22
78-3
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
表2.2.1
开胃食品 种类 价格(元) 主食 种类 价格 饮料 种类 价 格 3.25 茶水(T) 0.70
[ 法二 ] 若令狐冲被选为主席，共有 5×4 = 20种方 法确定其他职位；若岳不群为主席，同样有20种方 法确定其他职位。由于两种选法得到的集合不相交， 所以根据加法原理，共有20＋20 = 40种选法；
2019/2/22 78-11
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
例2.2.4 解(续)
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
2.2.1 乘法原理
如果一些工作需要 t 步完成，第一步有 n1 种 不同的选择，第二步有 n2 种不同的选择， … ， 第 t 步有 nt 种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
n1 ×n2 × ×n t
2019/2/22
78-5
电子科技大学离散数学课程组—国家精品课程 双语示范课程
1.1 本章学习要求
重点掌握 1
1. 乘法原理和加 法原理 2. 排列组合的计 算 3. 利用容斥原理 计算有限集合 的交与并 2019/2/22
一般掌握
了解 3
1. 离散概率 2. 离散概念的计 算公式及性质
2
1. 鸽笼原理 2. 鸽笼原理的简 单应用 3. 递归关系 4. 递归关系的建 立和计算
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
离散数学
电子科技大学计算机科学与工程学院
2019年2月22日星期五
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
第2章 计数问题
计数问题是组合数学研究的主要问题之一。西 班 牙 数 学 家 Abraham ben Meir ibn Ezra(1092 ～ 1167) 和法国数学家、哲学家、天文学家 Levi ben Gerson(1288～1344)是排列与组合领域的两位早期 研究者。另外，法国数学家 Blaise Pascal 还发明 了一种机械计算器，这种计算器非常类似于20世纪 40年代在数字电子计算机发明之前使用的一种机械 计算器。同时，计数技术在数学和计算机科学中是 很重要的，特别是在《数据结构》、《算法分析与 设计》等后续课程中有非常重要的应用。
（ 4 ）若田伯光和东方不败都有职位，共有多少种 选法？
2019/2/22 78-10
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
例2.2.4 解
（ 1 ）根据乘法原理，可能的选法种数为 6×5×4= 120；
（2） [法一 ] 根据题意，确定职位可分为 3个步骤： 确定主席有2种选择；主席选定后，秘书有5个人选； 主席和秘书都选定后，出纳有 4 个人选。根据乘法 原理，可能的选法种数为2×5×4 = 40；
78-6
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
例2.2.2
Melissa病毒
1990年，一种名叫Melissa的病毒利用侵吞系统资源的 方法来破坏计算机系统，通过以含恶意宏的字处理文 档为附件的电子邮件传播。当字处理文档被打开时， 宏从用户的地址本中找出前 50 个地址，并将病毒转发 给他们。用户接收到这些被转发的附件并将字处理文 档打开后，病毒会自动继续转发，不断往复扩散。病 毒非常快速地转发邮件，将被转发的邮件临时存储在 解 根据Melissa病毒的扩散原理，经过四次转发， 某个磁盘上，当磁盘占满后，系统将会死锁甚至崩溃。 共有 问经过四次转发，共有多少个接收者？ 50×50×50×50+50×50×50+50×50+ 50 +1 = 6377551个接收者。
玉米片(Co) 色拉(Sa)
2.15 1.90
汉堡(H) 三明治 (S) 鱼排(F)
3.65
3.15
牛奶 (M)
可乐 (C) (B)
0.85
0.75
包含一种开胃食品、一种主食和一种饮料 包含一种主食和一种饮料的午餐有多少种 啤酒 0.75 不同的选择？ 的午餐有多少种不同的选择？
2019/2/22 78-4