基于因子分析法的学生成绩影响因素的数学模型研究

８
１．００ ０．２３ ０．８１
９
１．００ ０．３４
１０
１．００
再 用 因 子 分 析 法 计 算 出 相 关 矩 阵 的 １０ 个 特 征 值 ， 如 表 ３。
表３ 相关短阵特值表
特征值 累积比
特征值 累积比
１ ７．５０ ０．５０ ２ ２．０６ ０．６４ ３ １．４６ ０．７４ ４ １．２１ ０．８２ ５ ０．７４ ０．８６
εｉ，ｉ＝ １，２，．．．．．．．．．．．．，ｎ 不 仅 互 不 相 关， 而且与βｉ 也互不相关的变量。
取这类 事 物 的 一 个 样 本，它 的 影 响 因 素 数 据
矩阵如下：
烄ｘ１１ ｘ１２ ．．． ｘ１ｎ烌 ｘ２１ ｘ２２ ．．． ｘ１ｎ
Ｘ＝ ．．． ．．． ．．． ．．．
烆ｘｎ１ ｘｎ２ ．．． ｘｎｎ烎 这里对 上 述 数 据 已 作 了 标 准 化 处 理。这 样 公
（下 转 第 ６０ 页 ）
第 ２４ 卷 第 ５ 期
高 等 函 授 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５
２０１１年１０月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ２０１１
Ｙ
１
２
Ｘ
≤ｘ ≤１；ｇ（ｙ）＝ ２ｙ，０ ≤ ｙ ≤ １，使 ｆ（ｘ，ｙ）＝ ｈ（ｘ）·ｇ（ｙ），其 中０，１分 别 是 与ｙ，ｘ 无 关 的 常 数 ，
故由定理５，Ｘ 与Ｙ 相互独立。 例３ 设随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度函数为
［３］ 刘国旗．关于二元随机变量独立性的判定条件［Ｊ］．安 徽 建 筑 工 业 学 院 学 报 ．２００１，９（２）：７６－７８．
因 子βｉ，ｉ＝１，２，．．．．．．．．．．．．，ｌ可 以 假 定 为 均 值 为０，方差为１的正态变量；εｉ 可以认 为 均 值 为 ０，
收 稿 日 期 ：２０１１－０６－０１． 作 者 简 介 ：刘 宏 超 （１９８０－ ），男 ，河 南 郑 州 人 ，硕 士 ，讲 师 ，研 究 方 向 ：统 计 学 ．
关 键 词 ：学 生 成 绩 评 定 ；数 学 模 型 ；因 子 分 析 法 ； 中图分类号：Ｇ６４２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６－７３５３（２０１１）０５－００５７－０２
１ 问题的提出 因子分析就是要通过对一组事物或样本的表
象的分析，来揭示 使 事 物 具 有 这 种 表 象 的 内 在 公 因 子 与 特 殊 因 子 。因 子 分 析 法 是 由 查 理 斯 ．斯 皮 德 曼（Ｃｈａｌｅｓ Ｓｐｅａｒｍａｎ）于１９０４年 提 出 的，他 当 时 研究一所学校３２ 名 在 校 学 生 ６ 门 课 程 的 分 数 相 关影 响 程 度，并 把 每 门 功 课 的 分 数 归 纳 为 如 下 公式：
方差为σｉ２ 的变量。
假定：Ａ ＝ Ｅ （ＸＴＸ ），代入得
Ｅ （ＸＴＸ ）＝ Ｅ ［（ＰβＴ ＋εＴ ）Ｔ （ＰβＴ ＋εＴ ）］
化简得：Ｅ（ ＸＴＸ）＝Ｐ·ＰＴ ＋Ｅ（εＴε），其中Ｅ（εＴε）＝
烄σ２１
烌
σ２２
．．．
，（σｉ２ 是εｉ 的方差）
．．．
烆
σｎ２烎
３ 模型的应用实例分析
实 例 分 析 ：某 中 学 的 学 生 成 绩 影 响 因 素 ，可 以
岳 红 云 （１９７９－ ），女 ，河 南 郑 州 人 ，硕 士 ，讲 师 ，研 究 方 向 ：统 计 学 ．
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２０１１年１０月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ２０１１
表４ 计算出四因子的载荷矩阵表
变量 １
因子
２
３
变量名称 ４
１ ０．４４５ ０．６１８ ０．３７２ －０．１１９ 综合能力
２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
０．５８３ －０．０４８ －０．０１７ ０．２８９ 外貌 ０．１０９ ０．３４０ －０．５００ ０．７１０ 智力因素 ０．６１６ －０．１８０ ０．５７５ ０．３６１ 自信程度 ０．７９９ －０．３５８ －０．２９５ －０．１７８ 经验 ０．８６５ －０．１８８ －０．１８２ －０．０７０ 应变能力 ０．４３３ －０．５７６ ０．３６１ ０．４４８ 理解力 ０．８８１ －０．０５６ －０．２４５ －０．２３０ 交际能力 ０．３６５ ０．７９５ ０．０９９ ０．０７０ 诚实 ０．８６４ ０．０６６ －０．１００ －０．１６５ 理想和抱负
现 在 用 因 子 分 析 法 ，对 这 批 数 据 进 行 分 析 ；计 算 出 相 关 矩 阵 如 表 ２。
５８
表２相关短阵表
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
１ １．００ ０．２４ ０．０４ ０．３１ ０．０９ ０．２３－０．１１０．２７ ０．５５ ０．３５
２
１．００ ０．１２ ０．３８ ０．４３ ０．３７ ０．３５ ０．４８ ０．１４ ０．３４
１
１ ９
ａ
２
１ ６
１ ３
３
１ １８
ｂ
｛ ｆ（ｘ，ｙ）＝
８ｘｙ，０ ≤
ｘ
≤
ｙ
≤
１ ，判 断
Ｘ
与Ｙ
是
０，其 它
否相互独立。
解 由条件可知：０≤ｘ≤ｙ≤１，即ａ，ｂ；ｃ，ｄ中
的ｃ＝ｘ 是与ｘ 有关的函数，而不是一个常数，由
定理５，Ｘ 与Ｙ 不相互独立。
设（Ｘ，Ｙ）是二维随机变量，尽管本文给了几种
且 Ｘ 与Ｙ 相互独立，求常数ａ，ｂ的值。
ｘｎ ＝αｎ１β１ ＋αｎ２β２ ＋．．．．．．＋αｎｌβｌ ＋εｎ 其矩阵形式为：ＸＴ ＝ ＰβＴ ＋εＴ 其中Ｐ ＝ （ａｉｊ ）ｎ×ｌ 称为因子载荷矩阵，其元素 ａｉｊ 称为变量ｘｉ 在因子βｊ 上的载荷。 这里β ＝ （β１，β２，．．．．．．．．，βｍ ），βｉ 称 为 第ｉ 个公因子。ε＝ （ε１，ε２，．．．．．．．．，εｎ ），εｉ 称 为 第ｉ 个 特 殊 因 子 。不 妨 假 定 ： βｉ，ｉ＝１，２，．．．．．．．．．．．．，ｌ都 是 互 不 相 关 的 正态变量；
Ｘ 与Ｙ 是否相互独立的判定方法，但一般用分布函
解
Ｘ
与Ｙ
相
互
独
立 ，由 定
理
４，有１ａ／９
＝
１／６ １／３
＝
１／ｂ１８，故ａ
＝
２ ，ｂ ９
＝
１ ９
例２ 设随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度函数为
｛ ｆ（ｘ，ｙ）＝
４ｘｙ，０≤ｘ ≤１，０≤ｙ ≤１，判 断 Ｘ ０，其 它
与Ｙ 是否相互独立。
数或密度函数的判别方法，相比较简易判别法而言 较麻烦，故建议用定理４判别二维离散型随机变量 的独立性，用定理５判别二维连续型随机变量的独 立性，这样避免了求边缘分布律或边缘密度函数。
３
０．００ ０．００ ０．０８ ０．０８－０．０３０．０５ ０．２７ ０．０９
４
１．００ ０．０３ ０．４８ ０．６５ ０．３５ ０．１４３ ０．３９
５
１．００ ０．８１ ０．４１ ０．８２ ０．０２ ０．７０
６
１．００ ０．３６ ０．８３ ０．１５ ０．７０
７
１．００ ０．２３－０．１６０．２８
参考文献： ［１］ 董俊超．离散型随机变量独立性的一种判定方法［Ｊ］．
天 津 师 范 大 学 学 报 ．１９９９，１９（３）：１０－１１． ［２］ 汪建均．随机变量独立性的简易判别法［Ｊ］．数学理 论
解 存在非负Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可积函数ｈ（ｘ）＝２ｘ，０
与 应 用 ．２００５，２５（１）：７１－７３．
６ ７ ８ ９ １０
０．４９ ０．９０ ０．３５ ０．９２ ０．３１ ０．９４ ０．２６ ０．９６ ０．２０ ０．９７
Fra Baidu bibliotek
从表３分析可知，前四个 特 征 值 占 累 计 比 的 ８１．５ ℅ ，我 们 就 取 前 四 个 因 子 分 别 为 ：
因 子 １ 可 示 为 综 合 能 力 ，因 子 ２ 代 表 经 验 ，因 子 ３ 是 理 想 和 抱 负 ，因 子 ４ 是 智 力 因 素 见 表 ４－５。
ｙｉ ＝ｃｉｆ ＋εｉ，（ｉ＝１，２．．．．．．６） 其 中ｆ与εｉ 是互不相关或独立的随机变量，ｃｉ 是 一般智力因子在第ｉ门课程的成绩，εｉ 表示学生 对 第ｉ门 课 程 所 特 有 的 能 力 ，也 称 特 殊 因 子 。因 子 分析法其实就是将具有错综复杂关系的变量综合 为数量较少的几个 因 子，以 再 现 原 始 变 量 与 因 子 之间的相互关系，同 时 根 据 不 同 因 子 还 可 以 对 变 量进行分类，是多 元 分 析 中 处 理 降 维 的 一 种 统 计 方 法 。本 文 构 建 了 对 学 生 成 绩 评 定 的 数 学 模 型 ，同 时使用了因子分析法。
表１ 成绩评定表
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １ ６ ７ ２ ５ ８ ７ ８ ８ ０ ８ ２ ９ １０ ５ ８ １０ ９ ９ １０ ５ ９ ３ ７ ８ ３ ６ ９ ８ ９ ７ ４ ９ ４ ５ ６ ８ ５ ６ ５ ９ ２ ８ ４ ５ ６ ８ ８ ８ ４ ４ ９ ２ ８ ５ ６ ７ ７ ７ ６ ８ ７ １０ ５ ９ ６ ７ ９ ９ ８ ８ ８ ８ ８ ８ １０ ８ ８ ９ ９ ９ ８ ９ ９ ８ ８ １０ ９ ９ ９ ９ ７ ８ ８ ８ ８ ５ ９ ８ １０ ４ ７ １０ ２ １０ １０ ７ １０ ３ １０ １１ ４ ７ １０ １０ １０ ８ ３ ９ ５ ９ １２ ４ ７ １０ ４ １０ １０ ７ ８ ２ ８ １３ ６ ９ ８ １０ ５ ４ ９ ４ ４ ４ １４ ８ ９ ８ ９ ６ ３ ８ ２ ５ ２ １５ ４ ８ ８ ７ ５ ４ １０ ２ ７ ５ １６ ６ ９ ６ ７ ８ ９ ８ ９ ８ ８ １７ ８ ７ ７ ７ ９ ５ ８ ６ ６ ７ １８ ６ ８ ８ ４ ８ ８ ６ ４ ３ ３ １９ ６ ７ ８ ４ ７ ８ ５ ４ ４ ２ ２０ ４ ８ ７ ８ ８ ９ １０ ５ ２ ６
刘宏超１ 岳红云２
（１．郑州大学 数学系；２．河南工业大学 理学院，郑州 ４５０００１）
摘 要：本文根据对北京某市某中学的学生成绩评定统 计 量 的 描 述，结 合 了 数 学 模 型，利 用 因 子分析法，分析了２０名在校中学生的成绩的相关影响因 素。 结 果 表 明：利 用 因 子 分 析 法 得 到 的 结 果 对 教 学 有 很 好 的 指 导 作 用 ，适 用 于 今 后 国 家 教 育 部 门 对 学 生 学 习 成 绩 评 定 的 研 究 。
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·大学教学·
基于因子分析法的学生成绩影响因素的数学模型研究
２ 因子分析法的数学模型研究 假设 某 类 事 物 的 个 体 由 ｎ 个 变 量 描 述，ｘ
＝ （ｘ１，ｘ２，ｘ３，．．．．．．，ｘｎ ） 如果有 Ｌ 个公因子（ｌ＜ｎ），β１，β２，．．．．．．βｌ，
那么因子分析法的数学模型就是：
ｘ１ ＝α１１β１ ＋α１２β２ ＋．．．．．．＋α１ｌβｌ ＋ε１ ｘ２ ＝α２１β１ ＋α２２β２ ＋．．．．．．＋α２ｌβｌ ＋ε２ …………
分为１０个标准：① 综合能力；② 外貌；③ 智力因 素；④ 自 信 程 度；⑤ 经 验；⑥ 应 变 能 力；⑦ 理 解 力；⑧ 交际能力；⑨ 诚实；⑩ 理想和抱负。这个例 子 ，先 求 出 特 征 值 和 特 征 向 量 。
根据北京市 某 中 学 某 班 ２０ 名 同 学 的 实 际 评 定 分 数 （数 据 收 集 见 大 学 生 建 模 网 站 ）如 表 １。