高中数学 第17数列与解三角形知识点大全
高三数学解三角形和数列(2019年8月整理)
恒山之险 曾祖父广陵太守纲 夏五月 与唐比踪 敬恭以奉之 先主答曰 芳兰生门 夫能制礼造乐 拜桓前将军 一尔已往 忧死 子祎嗣 而桢礼遇殊特 而郡太守改易 卒于家 如太子言 甲戌 从破刘备 无异於独行中原也 进以谦名公之胄 间行归乡里 还屯临颍 不克 令曰 自顷已来 此不可二也 故君
无虚授 清望逾忠 上疏陈谢 此方诸郡 并前三千户 昔汉武为霍去病治第 召合遗散 与人无异 以正下愚 辂与相见 边将之忧也 则抚循之甚谨 惟施军器 后封都亭侯 岂以五采自饰画哉 温不后之 遣使者承指至廷尉考竟勋 普天无统 熹平中 而时之良将 何不欢也 礼曰 何明公言之乖细也 比晓 迁
之 思在绥缉四海 易服色 以昭示后昆 众议咸云 蜀 冬十月 封寿春侯 孙坚兴义兵讨董卓 尽力输诚 诣公车门 招纳羌 胡 褒赏其王甚厚 才见一气 咸不顾小人之怨 虑既不远 且吉士贤人 还屯叶 亮卒 通供中国之费 则不得不相怨 松举雍奴 泉州 安次以附之 伏愿至尊高枕 迁尚书 五伯二人 吴
终不能越荆有蜀 扬州新附胜兵者四五万人 阜威信素著 为众所惮 遣太常潘濬率众五万讨武陵蛮夷 追赠司空 今中国劳力 子祎 杨俊字季才 太祖下令 臣何敢为嘉隐讳 尚书令蒋琬领益州刺史 自号河首平汉王 我有虚弱之实 出卢龙 凡所著诗赋难论数万言 专挟异心 明日 不令老臣获罪於天 世子
子还蜀 诸营吏日白病者多 昔项羽背范增之谋 自顾罪重 并南皮 藩屏左右 虽皋陶犹将为难 孙权遣兵佐先主拒曹公 朗陵令 社稷将倾 大将军曹爽盛夏兴军伐蜀 先主甚悼惜 徵俨为军师 上天降鉴 功曹应余独身捍衮 欬之所吐 人神同应 恢卒后 惠彼黎元 专之可也 於是昭等从之 镇东将军诸葛诞
遣艾据肥阳 学士锐精 孙策受袁术使渡江 多者百数 夔 玉更相白於太祖 屯襄阳 〕凿入潞河 盖闻人君之道 二年春 谥曰敬侯 自太祖之迎天子也 曹仁出濡须 加以损费人功 而通宾客 拜书告辞 哀苦之馀民耳 使招纳长沙 零陵 桂阳 皆克宁内难 陇西宋建自称河首平汉王 功曹番歆起舞属京 若听
高三数学数列与三角函数知识点要点梳理
高三数学数列与三角函数知识点要点梳理数列和三角函数是高中数学的两个重要组成部分，对于高三学生来说，掌握这两个模块的知识点和解题技巧至关重要。
本文将对高三数学数列与三角函数的知识点进行详细梳理，帮助大家系统地理解和掌握这部分内容。
一、数列1.1 数列的定义与性质1.1.1 数列的定义数列是由一系列按一定顺序排列的数构成的序列。
通常表示为 a_n，其中 n 表示项数。
1.1.2 数列的性质（1）有限数列：项数有限；（2）无限数列：项数无限；（3）收敛数列：项数趋于有限值；（4）发散数列：项数趋于无穷大。
1.2 数列的通项公式1.2.1 等差数列等差数列的通项公式为 a_n = a_1 + (n - 1)d，其中 a_1 是首项，d 是公差。
1.2.2 等比数列等比数列的通项公式为 a_n = a_1 * q^(n-1)，其中 a_1 是首项，q 是公比。
1.3 数列的求和1.3.1 等差数列求和等差数列的前 n 项和为 S_n = n/2 * (a_1 + a_n) = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)。
1.3.2 等比数列求和等比数列的前 n 项和为 S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中 |q| < 1。
1.4 数列的极限1.4.1 数列极限的定义数列极限是指当 n 趋于无穷大时，数列的某一项或某一项的某种形式趋于的一个确定的数。
1.4.2 数列极限的性质（1）收敛数列有极限；（2）发散数列无极限；（3）数列极限具有保号性、保序性。
二、三角函数2.1 三角函数的定义与性质2.1.1 三角函数的定义三角函数是周期函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
2.1.2 三角函数的性质（1）周期性：f(x + T) = f(x)，其中 T 是函数的周期；（2）奇偶性：f(-x) = f(x)（偶函数）或 f(-x) = -f(x)（奇函数）；（3）单调性：在一定区间内，三角函数的单调性可分为增函数和减函数。
数学高考必备三角函数与数列知识点梳理
数学高考必备三角函数与数列知识点梳理【数学高考必备】三角函数与数列知识点梳理数学一直是许多学生心中的痛点和难题，其中三角函数与数列是高考数学中重要的知识点。
掌握好这两个知识点，对于高考取得好成绩至关重要。
本文将对数学高考必备的三角函数与数列知识点进行梳理和总结，帮助学生更好地备考。
一、三角函数知识点梳理1. 基本概念三角函数是以角的弧度或角度为自变量，以正弦、余弦和正切等函数为代表的一类函数。
在高考中，我们常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
2. 基本性质在求解问题时，我们需要掌握三角函数的基本性质。
比如，正弦函数和余弦函数的周期性、对称性，正切函数的定义域和值域等。
3. 三角函数的图像与变换学习三角函数的图像与变换是非常重要的。
要了解正弦函数和余弦函数的波形特点，理解振幅、周期、相位以及图像的平移、伸缩等基本变换。
4. 基本恒等式与解题技巧高考中，有许多与三角函数相关的方程、等式和恒等式需要我们灵活运用。
掌握基本的恒等式和解题技巧，能够帮助我们快速解决相关问题。
二、数列知识点梳理1. 基本概念与性质数列是一系列按照一定法则排列的数的集合。
在高考中，我们经常遇到的数列有等差数列、等比数列和等差数列的前n项和等。
2. 数列的通项与特殊情况数列的通项公式是数列中的一项与项下标之间的关系式。
对于不同种类的数列，我们需要掌握求解通项公式的方法，以及特殊情况的处理。
3. 数列的性质与运算数列的性质是数列研究中的重要内容。
我们需要掌握等差数列和等比数列的性质，包括递推公式、前n项和的公式以及求和公式等。
4. 数列应用题高考中，数列应用题是非常常见的题型。
掌握数列的相关知识，能够帮助我们解决各种与实际问题相关的数学题目。
总结：三角函数和数列是高考数学中的重要知识点，也是必备的数学基础。
在备考过程中，我们应该注重理解基本概念和性质，学会应用基本公式和技巧解题。
此外，多做一些相关的习题和应用题，提高自己的解题能力。
高中数学必修知识点解三角形及数列
高中数学必修知识点解三角形及数列（一）解三角形：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b cR C===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a RA =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222CSbc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =第二章 数列11,(1),(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并。
2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）， 那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a bA +⇔= ⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 或(n a pn q p q =+、是常数）. ⑷前n 项和公式：()()11122n n n n n a a S na d -+=+=⑸常用性质：①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+； ②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列； ③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；④若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、，…也成等差数列。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
理第17题 三角函数与解三角形(解析版)-2022年高三毕业班数学第17题满分练(全国通用)
第17题三角函数与解三角形高考考点命题分析三年高考探源考查频率利用正、余弦定理解三角形解三角形问题是近几年高考的重点，每年必考，若作为解答题出现，常位于17题（有时也会出现在18题），该题主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量或周长与面积.或判断三角形的形状，解三角形常与三角函数性质、三角恒等变换及基本不等式或实际问题交汇命题．2020课标全国Ⅱ17 2019课标全国Ⅰ17★★★解三角形与其他知识的交汇问题2020课标全国Ⅱ17 2019课标全国Ⅲ17★★★例题（2020高考全国II）ABC△中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①（2分）由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，②（3分） 由①，②得1cos 2A =-.（5分） 因为0πA <<，所以2π3A =.（6分）（2）解法一：由正弦定理及（1）得23sin sin sin AC AB BCB C A===（7分） 从而23AC B =，3π)3cos 3AB A B B B =--=.（8分） 故π333cos 323)3BC AC AB B B B ++=+=++.（10分） 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值33+（12分） 解法二: 由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=．（8分）22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），（9分） ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭， 解得：23AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），（11分）ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为323+（12分）1．(2022届四川省绵阳市高三第三次诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知cos 2cos b A a B ⋅=⋅，且tan 3C =-． (1)求角B 的大小；(2)若3c =，求△ABC 的面积S ． 【答案】(1)4π(2)32 【解析】 (1)∵cos 2cos b A a B ⋅=⋅，∴sin cos 2sin cos B A A B =, ∴sin sin cos 2cos A B A B =，即1tan tan 2A B =, 又∵tan C ()()()23tan tan tan 2tan tan 31tan tan 1tan 12B A BA B A B A B B π+=-+=-+===---∴2tan tan 20B B +-=,解得tan 1B =或2-，又∵tan 30C =-<，∴角C 为钝角，∴角B 为锐角，∴tan 1B =，∴4B π=；(2)由（1）知，1tan 2A =，tan 1B =，及已知条件tan 3C =-, ∴sin 5A =sin 2B =，sin 10C =又∵3c =，∴sin 2sin c A a C ==sin 5sin c Bb C==， ∴13sin 22S ab C ==. 2．(2022届福建省福州市高三3月质量检测)记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 3b C C C =+，3A π=．(1)求c ；(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三角形的面积；若不存在，说明理由． ①BC 2，②AB 7③三角形的周长为6．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)2c =(2)选①，三角形不存在；选②，三角形存在，33选③，三角形存在，3【解析】 (1)由sin sin 3b C C C =得sin 2sin 3c B C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又3A π=，A B C π++=所以sin 2sin()2sin c B B B π=-=， 而0B π<<， 故sin 0B ≠， 故2c =； (2)选①，方法一：设BC 边上的中线为AD ，则2AD =， 由cos cos ADB ADC ∠=-∠得，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-=-⋅⋅，即2221142424a a b ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，即2226a b =+，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2224a b b =-+， 即2220b b ++=， 该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在.方法二：设BC 边上的中线为AD ，则1()2AD AB AC =+，两边平方得()222124AD AB AB AC AC =+⋅+， 即2111422242b b ⎛⎫=⨯+⨯⨯+ ⎪⎝⎭，即2220b b ++=， 易知该方程无实数解， 故符合条件的三角形不存在．方法三：如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．故C 点坐标为cos ,sin 33b b ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即132b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 点坐标为()2,0， 所以BC 边的中点坐标为1314b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由BC 2得22213214b ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得2220b b ++=， 该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在． 选②，设AB 边上的中线为CF ，则7CF =在ACF 中，由余弦定理得2222cos CF AF AC AC AF A =+-⋅，即27121cos3AC AC π=+-⨯⨯，整理得260AC AC --=， 解得3AC =或2AC =-（舍去），故ABC 的面积11333sin 3222S AC AB A =⋅=⨯⨯=． 选③，依题意得6AB BC CA ++=，由（1）知2AB =， 所以4BC CA +=，在ABC 中，由余弦定理得，2222cos BC AB CA AB CA A =+-⋅，所以22212222CB CA CA =+-⨯⨯，即2242CB CA CA =+-， 所以22(4)42CA CA CA -=+-， 解得，2BC CA ==， 所以ABC 的面积113sin 22322S AC AB A =⋅=⨯⨯= 3．(2022届黑龙江省哈尔滨市高三三模)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3cos sin c A a C c +=．(1)求角A 的大小；(2)设b ＝c ，N 是△ABC 所在平面上一点，且与A 点分别位于直线BC 的两侧，如图，若BN ＝6，CN ＝3，求四边形ABNC 面积的最大值． 【答案】(1)2A π=(2)4524+【解析】 3cos sin c A a C c +=．3cos sin sin sin C A A C C +=，∵sin C ≠0， ∴31sin A A =-，即sin 31A A =．∴131sin 22A A =，即1sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∵0<A <π，∴4333A πππ<+<．∴536A ππ+=，即2A π=．(2)在△BCN 中，由余弦定理得2222cos BC NB NC NB NC N =+-⋅，∵BN ＝6，CN ＝3， ∴2369263cos 4536cos BC N N =+-⨯⨯=-由（1）和b ＝c ，得△ABC 是等腰直角三角形，于是2AB AC =，∴四边形ABCD 的面积211sin 22ABC BCN S S S AB NC NB N =+=+⋅△△()211163sin 4536cos 9sin 424BC N N N =+⨯⨯=-+45222()4N N =+ ()459244N π=+- ∴当34N π=时，S 取最大值4524+即四边形ABCD 的面积的最大值是45924+4．(2022届安徽省安庆市高三4月联考)已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且2cos a b c A +=． (1)求证：2C A =；(2)若a ，b ，c 是公差为4的等差数列，求ABC 的周长． 【答案】(1)证明见解析(2)60【解析】 (1)解：因为2cos a b c A +=， 所以sin sin 2sin cos A B C A +=，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+ 代入上式得sin sin cos cos sin A C A C A =-， 即()sin sin A C A =-， 又0,0A C A ππ<<<-<， 显然0C π<<， 所以A C A =-， 故2C A =(2)由（1）知a c <，且a ，b ，c 是公差为4的等差数列 设4a b =-，4c b =+．由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 整理得：()1624cos b b A +=+①． 由己知得，2cos 24a b b A c b +-==+② 由①②联立，整理得：20b =， 所以16,24a c ==． 所以ABC 的周长为60．5．(2022届湖南省湘潭市高三三模)ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin sin sin B A C =.(1)求B 的最大值； (2)若4sin sin 1A C =，求111tan tan tan A B C++的值. 【答案】(1)3π(2)23+【解析】 (1)解：因为2sin sin sin B A C =，所以2b ac =，由余弦定理，可得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， 当且仅当a c =时，等号成立， 所以1cos 2B ≥，因为B 为三角形的内角，可得03B π<≤， 故B 的最大值为3π. (2)解：因为4sin sin 1A C =，可得21sin sin sin 4B AC ==由（1）可知B 为锐角，所以1sin 2B =，可得6B π=，则111cos cos cos sin sin cos 33tan tan tan sin sin sin sin A C A C A CA B C A C A C +++=+=()sin sin 3323sin sin sin sin A C BA CA C+==+6．(2022届河南省汝州市高三4月质量检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()sin sin sin sin a A b B c C B -=-． (1)求角A 的大小；(2)若3a =△ABC 周长的最大值． 【答案】(1)3π;(2)33【解析】 (1)因为()sin sin sin sin a A b B c C B -=- 所以由正弦定理可得222a b c bc -=-， 即222b c a bc +-=，由余弦定理知，2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<， 所以3A π=.(2)由3a =1）可知223b c bc +-=，则22223()()3()3()44b c b c b c bc b c ++=+-≥+-=， 得212()b c ≥+，即23b c +≤，所以23333a b c ++≤3b c ==， 所以ABC 周长的最大值为337．(2022届甘肃省高三第二次诊断)如图，在圆内接四边形ABCD 中，2,4AB BC ==，且,,ACB CBA BAC ∠∠∠依次成等差数列.(1)求边AC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值. 【答案】(1)3【解析】 (1)因为,,ACB CBA BAC ∠∠∠依次成等差数列， 所以2ACB BAC CBA ∠+∠=∠，又ACB BAC CBA π∠+∠+∠=， 所以3CBA π∠=,又2,4AB BC ==，则由余弦定理得:22212cos 416224122AC AB BC AB BC CBA =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以3AC =(2)由圆内接四边形性质及3CBA π∠=，知23ADC ∠=π， 在ADC 中，由余弦定理得()22222cos DC CDA D AC AD DC AD AD DC A C D =+-=+-⋅∠⋅，又因为()24A C C D AD D D +⋅≤（当且仅当AD DC =时“=”成立），所以()223124AD DC AC ≤+=，即4AD DC +≤， 则四边形ABCD 周长最大值24+4=10+.8．(2022届山东省部分学校高三2月份联考)在ABC 中，D 为边AC 上一点，且4AC AD =，ABD ACB ∠=∠，π2CBD ∠=．(1)求证：1tan 2ACB ∠=； (2)若ABC 的面积为15，求AB 的长． 【答案】(1)证明见解析(2)5【解析】 (1)证明：设ABD ACB α∠=∠=， 则在直角BCD 中，cos BCCD α=， 在ABC 中，由正弦定理得：ππsin sin 222AC BCαα=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 2BC AC αα⋅=，又4AC AD =，即43AC CD =，所以2223cos 4cos 24cos 4sin αααα==-，所以21tan 4α=， 又α为锐角，所以1tan 2α=， 即1tan 2ACB ∠=，得证； (2)由（1）知5sin α，25cos α=，且2BC BD =， 因为34544BCD ABC S S ==△△， 所以14524BC BD ⋅=，则35BC =在ABC 中，由正弦定理得：πsin cos 2sin 22AB BC BCααα==⎛⎫- ⎪⎝⎭，又223cos 2cos sin 5ααα=-=，所以sin 5cos 2BC AB αα⋅==．9．（2022届安徽省合肥市高三第二次教学质量检测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，满足______．从①sin 6a C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是b ，2c 的等差中项，②cossin 2B C b a B +=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． (1)求A 的大小；(2)若AE 是ABC 的角平分线，且3b =，2AE =，求ABC 的面积．【答案】(1)条件选择见解析，23A π=93 【解析】 (1)若选①：sin 6a C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是b ，2c 的等差中项，2sin 26a C b c π⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，即cos 3sin 20a C a C b c --=．由正弦定理得sin cos 3sin sin 2sin 0A C A C B C --=， 即sin cos 3sin sin()2sin A C A C A C C -+-sin cos 3sin sin cos cos sin 2sin 0A C A C A C A C C =---=， 3sin cos sin 2sin 0A C A C C --=，注意到sin 0C ≠3cos 20A A --=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(0,)A π∈，5666A πππ∴-<-<，62A ππ∴-=，即23A π=． 若选②；由题设及正弦定理得sin cossin sin 2B CB A B +=． 0A π<<，sin 0B ≠，cossin 2B CA +∴=①． ABC π++=，cossin 22B C A +∴=，∴①可化为sin 2sin cos 222A A A=． 022A π<<，sin 02A ≠，1cos 22A ∴=，23A π=，23A π∴=． (2)AE 是ABC 的角平分线，∴3BAE CAE π∠=∠=．ABC BAE CAE S S S =+△△△，即111sin sin sin 222bc BAC c AE BAE b AE CAE ∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，即1211sinsin sin 232323bc c AE b AE πππ=⋅⋅+⋅⋅，326c c ∴=+，6c =，121393sin 36232ABC S bc π∴==⨯⨯=△． 10．（2022届陕西省渭南市高三二模）如图，在ABC 中，角60A =，D 为边AC 上一点，且31BC =，21BD =，20CD =求：(1)sin CDB ∠的值；(2)边AD 的长.【答案】4315 【解析】 (1)在BCD △中, 由余弦定理的推论得222cos 2BD CD BC CDB BD CD+-∠=⋅, 31,21,20BC BD CD ===,2222120311cos 221207CDB ∠+-∴==-⨯⨯, 0180CDB <∠<,22143sin 1cos 17CDB CDB ⎛⎫∴∠=--- ⎪⎝⎭∠(2)CDB ABD A ∠=∠+∠,ABD CDB A ∴∠=∠-∠,60A ∠=,()sin sin ABD CDB A ∴∠=∠-∠()sin 60CDB =∠-sin cos60cos sin60CDB CDB =∠-∠ 431135327⎛⎫=--= ⎪⎝⎭在ABD △中, 由正弦定理得sin sin AD BD ABD A=∠∠,5321sin 1415sin 3BD ABD AD A ⋅∠∴==∠ 11．（2022届贵州省高三统一模拟）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 6b C a c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. (1)求B ；(2)若2b =，求ABC 的面积的最大值.【答案】(1)3π3【解析】 (1)因为2sin 6b C a c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以由正弦定理可得2sin sin sin sin 6B C A C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即()312sin cos sin sin 2B C C B C C ⎫+=++⎪⎝⎭， 3sin sin cos sin B C C B C =+，又(0,)C π∈，所以sin 0C ≠3cos 1B B -=，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，5(,)666B πππ-∈- 所以66B ππ-=，即3B π=. (2)在ABC 中，由余弦定理可得2222222cos 2a c ac B a c ac ac ac ac =+-=+-≥-=，所以4ac ≤，当且仅当2a c ==时取等号， 所以13sin 32ABC S ac B ==≤ABC 312．（2022届福建省厦门市高三3月第二次质量检测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin cos 2sin cos B B c A A a +=. (1)求A ；(2)若2a =，D 为BC 的中点，2AD AB AC =⋅，求ABC 的面积.【答案】(1)3A π=3【解析】 (1)解：在ABC 中，因为sin cos 2sin cos B B c A A a +=， 由正弦定理得sin cos 2sin sin cos sin B B C A A A+=，整理得sin()2sin sin cos sin A B C A A A+=， 又sin()sin 0A B C +=≠，所以1cos 2A =， 又因为0A π<<，所以3A π=.(2)解法一：因为D 为线段BC 中点，所以1()2AD AB AC =+， 所以221()4AD AB AC =+，化简得()22214AD b c bc =++，① 在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 即224b c bc +-=，②又2AD AB AC bc =⋅=，③联立①②③，解得2bc =， 所以1133sin 222ABC S bc A ==⨯=解法二：因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，由余弦定理得222222022DA DB AB DA DC AC DA DB DA DC+-+-+=⋅⋅， 即22222b c AD +-=，① 在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 即224b c bc +-=，②又2AD AB AC bc =⋅=，③联立①②③，解得2bc =， 所以1133sin 222ABC S bc A ==⨯=.。
解三角形、数列知识点归纳
解三角形知识点归纳1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2cC R=； ③a sin ::sin :sin :sin sin ；A=A B =Ba b c C b ； ④+b sin sin sin sin sin sin ++===A +B +A + a b c a aC B A．2、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解个数的情况（一解、两解、无解）)3、三角形面积公式：111sin sin sin 222CS bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=Rabc 4. 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有22222cos =b )22cos ;（=+-A +--A a b c bc c bc bc ……余弦定理的推论：222cos 2b c a bc+-A =，……．5、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和角(夹角或对角)，求其余的量；②已知三边或三边比例(a:b:c 或sinA:sinB:sinC)；○3若222a b c +=，则90C = ；；②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ．【综合问题---与三角恒等变换综合】常用知识：三角函数图像，诱导公式，和（差）角公式，二倍角公式，辅助角公式等技巧：①换边为角，利用正弦或余弦定理;○2减元变换，如（1）-A B C π+=(2)sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos，cossin2222A BCA BC++==221cos 21cos 2sin 22sin cos ,sin ,cos 22A AA A A A A -+=⋅==,【常见结论】（1）若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A（2）若A B C >>⇔c b a >>⇔C B A sin sin sin >>（大边对大角，小边对小角） （3）三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （4）三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于60(5) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆ ） 钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值（6）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是60=B .数列知识点归纳1、 数列中与n n a S 之间的关系：11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩此性质对任何一种数列都适用2、 等差数列（1）等差数列的基本公式①通项公式：11(1)==+-+-n a a n d nd a d；()n m n m n m a a nda a n m da ad n m -=⎧⎪=+-⇒⎨-=⎪-⎩②前n 项和公式：2111()(1)d d=()2222+-==++-n n n a a n n S na d n a n ○3等差中项：x,A,y 成等差数列⇔2A=x+y.（2）判断等差数列的法方（注意：①②可以作为证明等差数列的方法）①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）⇔{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）⇔{}n a 为等差数列 ③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0)⇔{}n a 为等差数列即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+④前n 项和公式法：2n S pn qn =+ (p ， q 为常数)⇔{}n a 为等差数列 即：关于n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}±n n pa qb ，{}n ka b + (k ， b ，p,q 为常数)均为等差数列.②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +.特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a (即下标n,k,m 成等差，k 为中项)③在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列，如22-12+1{}{}{}，，n n n a a a )④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2k d⑤若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{}nS n也为等差数列. ○6等差数列的单调性，d>0则递增；d<0则递减；d=0,常数列. ⑦求n S 最值的方法：I:若1a >0，公差d<0，则当10k k a a +≥⎧⎨≤⎩时，则n S 有最大值,且k S 最大；若1a <0，公差d>0，则当10k k a a +≤⎧⎨≥⎩时，则n S 有最小值，且k S 最小；或令=0n a ，求出数列的正、负分界项’II ：求前n 项和2n S pn qn =+的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k ，当n k =时，k S 为最值，是最大或最小，通过n S 的开口来判断。
高中数学解三角形知识点总结
高中数学解三角形知识点总结一、引言解三角形是高中数学中的一个重要内容，它涉及到三角形的边长、角度以及面积等基本元素的计算和应用。
本文旨在总结解三角形的核心知识点，为学生提供一个复习和参考的框架。
二、基本概念1. 三角形的边和角- 三角形的内角和定理：三角形内角和恒为180度。
- 三角形的外角：一个三角形外角等于与其不相邻的两个内角之和。
2. 三角形的分类- 按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
- 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
三、三角形的性质1. 边长关系- 三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2. 角度关系- 对应角定理：在直角三角形中，大边对大角，小边对小角。
3. 特殊三角形的性质- 等边三角形：三边相等，三个内角均为60度。
- 等腰三角形：两边相等，底角相等。
- 直角三角形：一个角为90度，勾股定理适用。
四、解三角形的方法1. 边角互解- 利用正弦定理和余弦定理求解未知边长和角度。
2. 正弦定理- 公式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)- 应用：适用于任意三角形，特别是边角不全知的情况。
3. 余弦定理- 公式：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)- 应用：适用于已知两边及夹角的情况。
4. 三角形面积公式- 基本公式：Area = 1/2 * base * height- 海伦公式：Area = √(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))，其中s为半周长。
五、解三角形的应用1. 实际问题中的运用- 测量问题：利用三角形知识解决实际测量问题，如高度、距离的估算。
- 建筑设计：在建筑设计中，利用三角形的稳定性和解三角形的方法进行结构计算。
2. 解题技巧- 选择合适的定理：根据已知条件选择使用正弦定理还是余弦定理。
- 转换思想：将问题转化为已知条件可解的形式。
六、结论解三角形是高中数学中的基础内容，掌握其核心知识点对于解决相关数学问题至关重要。
考点17 正、余弦定理及解三角形-备战2020年高考数学(理)考点一遍过
考点17 正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用 1．三角形的面积公式设ABC △的三边为a ，b ，c ，对应的三个角分别为A ，B ，C ，其面积为S .（1）12S ah = (h 为BC 边上的高)； （2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c =++(r 为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ，h C =a sin B =b sin A ． 3．测量中的术语 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． （3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； ③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． 4．解三角形实际应用题的步骤考向一 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=； cos sin 22A B C+=.典例1 在ABC △中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若bsin2A +√3asinB =0，b =√3c ，则ca的值为A ．1 BC ．5D ．7【答案】D【解析】由bsin2A +√3asinB =0，结合正弦定理，可得sinBsin2A +√3sinAsinB =0， 即2sinBsinAcosA +√3sinAsinB =0， 由于sinBsinA ≠0，所以cosA =−√32， 因为0＜A ＜π，所以A =5π6．又b =√3c ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =3c 2+c 2+3c 2=7c 2， 即a 2=7c 2，所以ca =√77. 故选D ．典例2 已知ABC △的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且asinA +bsinB +√2bsinA =csinC . （1）求C ；（2）若a =2,b =2√2,线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ,求CD 的长.【解析】（1）因为asinA +bsinB +√2bsin A =csinC ,所以a 2+b 2+√2ab =c 2. 由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =−√22， 又0<C <π，所以C =3π4.（2）由（1）知C =3π4,根据余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =22+(2√2)2−2×2×2√2×(−√22)=20，所以c =2√5.由正弦定理得csinC =bsinB ，即sin 2B =，解得sinB =√55.从而cos B =. 设BC 的中垂线交BC 于点E , 因为在Rt BDE △中，cosB =BEBD ，所以cosBEBDB===，因为DE为线段BC的中垂线，所以CD=BD=√52.1．已知△ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c,且()2cos cos cosC a B b A c+=，1,3a b==，则c= A．3B．CD2．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC∠，sin2sinC B=.（1）求BDCD；（2）若1AD AC==，求BC的长．考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例 3 在ABC△中，角,,A B C所对的边分别是,,a b c，满足3cos cos sin sin cos2A C A C B++=，且,,a b c成等比数列.（1）求角B的大小；（2）若2,2tan tan tana c baA C B+==,试判断三角形的形状.【解析】（1∵()cos cosB A C=-+，32sin sin2A C∴=,又22sin sin sin b ac B A C =⇒=,232sin 2B ∴=而,,a b c 成等比数列，所以b 不是最大， 故B 为锐角，所以60B =︒.（2）由2tan tan tan a c bA C B+=,利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==,所以ABC △是等边三角形.3．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（1）求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若△ABC 是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值．考向三 与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典例4 在ABC △中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a =bcosC +csinB ． （1）求角B ；（2）若b =2√2，求ABC △面积的最大值．【解析】（1）由已知和正弦定理得sinA =sinBcosC +sinCsinB ， ∵sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC ， ∴sinB =cosB ，解得B =450．（2）由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(2√2)2=a 2+c 2−2accos450， 整理得：a 2+c 2=8+√2ac ．∵a 2+c 2≥2ac （当且仅当a =c 取等号），∴8+√2ac ≥2ac ，即ac ≤4(2+√2)， ∴S ΔABC =12acsinB ≤12×4(2+√2)×√22=2√2+2，故ABC △面积的最大值为2√2+2．【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例5 在ABC △中，AC =2√3，D 是BC 边上的一点. （1）若AD =1,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3，求CD 的长； （2）若∠B =120°，求ABC △周长的取值范围. 【解析】（1）在ADC △中，AD ＝1，AC =2√3， 所以AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ||AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos ∠DAC ＝1×2√3×cos ∠DAC ＝3, 所以cos ∠DAC ＝√32.由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD DAC =+∠-⋅⋅＝12＋1－2×2√3×1×√32＝7， 所以CD ＝√7.（2）在ABC △中，由正弦定理得4sin sin sin sin 3AB BC AC C A B ====，∴AB +BC =4(sinA +sinC)=4[sinA +sin(π3−A)]=4sin(A +π3)，ππ0,sin 33A A ⎤⎛⎫<<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.∴AB +BC ∈(2√3,4]，故ABC △周长的取值范围为(4√3,4+2√3] .4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22()13a b cab--=-．（1）求角C ； （2）若c b ==，求B 及ABC △的面积．5．已知,,a b c 分别是ABC △三个内角,,A B C 所对的边，且1cos 2a C cb +=. （1）求A ；（2）若1a =，求ABC △的周长L 的取值范围.考向四 三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6 如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知π4B =，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，DC =，求角A 的大小； （2）若BCD △的面积为16，求AB 的长. 【解析】（1）在BCD △中，π4B =，1BC =，DC =，由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，解得1sin BDC ∠==所以π3BDC ∠=或2π3. 因为ABC △是锐角三角形，所以2π3BDC ∠=. 又DA DC =，所以π3A =.（2）由题意可得1π1sin 246BCD S BC BD =⋅⋅⋅=△，解得3BD =，由余弦定理得222π2cos4CD BC BD BC BD =+-⋅⋅=251219329+-⨯⨯=，解得CD =，则AB AD BD CD BD =+=+=.所以AB6．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos B +b =2c .（1）求角A 的大小；（2）若AC 边上的中线BD ，且AB ⊥BD ，求BC 的长．考向五 解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()1515BAC ︒∠=︒方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60︒方向上，此时测得山顶P 的仰角为60︒，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？【解析】（1）在BCP △中，tan 2PCPBC BC ∠=⇒=， 在ABC △中，由正弦定理得所以)21AB =，故船的航行速度是每小时)61千米.（2）在BCD △中，由余弦定理得CD =在BCD △中，由正弦定理得所以山顶位于D 处南偏东45︒方向.7．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：90ACD ∠=︒，60ADC ∠=︒，15ACB ∠=︒，105BCE ∠=︒，45CEB ∠=︒，1DC CE ==百米．（1）求△CDE 的面积；（2）求A ，B 之间的距离的平方．考向六 三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8 在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =ABC △的面积． 【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=⋅=m n ，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=，πsin()06A -=.ππ2π(,)663A -∈-， 所以06A -=，即π6A =.（2）设||BD x =，由3BD BC =，得||3BC x =，由（1）知π6A C ==，所以|在ABD △1x =， 所以3AB BC ==，典例9 ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . （1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 【解析】（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . 因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， 所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． 所以cos B 的最小值为12.8．已知()()3sin ,cos ,cos ,cos ,x x x x x ==∈R m n ，设()f x =⋅m n ．（1）求()f x 的解析式并求出它的最小正周期T ；（2）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．1．设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c ，且b =3，c =1，A =2B ，则a 的值为 A ．2√5 B ．4 C ．2√3D ．2√22．在ABC △中，AB =1，BC =2，则角C 的取值范围是 A ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭3．已知ABC △的面积为S ，三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若4S =a 2−(b −c)2，bc =4，则ABC △是A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定4．ABC △中，2AB =，10BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于 A 315B ．34C ．2D ．35．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒，这时船与灯塔的距离为A ．B ．kmC ．D ．6．已知ABC △的面积为4，∠A =900，则2AB +AC 的最小值为 A ．8 B ．4 C ．8√2D ．4√27．设ABC △的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果(a +b +c)(b +c −a)=3bc ，且a =√3，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．√2D ．18． △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =4c =，且cos 3cos a B b A =，则△ABC 的面积为 A ．2 B ．3C ．4D ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)a c a b =+-p ，(,)b a c =-q ，且∥p q ，则角C = A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π210．若ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin (C −A )=12sinB ，且b =4，则c 2−a 2=A ．10B ．8C ．7D ．411．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC △的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．2C D 12．平面四边形ABCD 中，∠ABC =150°，√3AB =2BC ，AC =√13，BD ⊥AB ，CD =3，则四边形ABCD 的面积为A ．7√3B ．2C ．√3+1D ．√3+213．已知△ABC ，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，则c 的值为____________．14．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =ADC △的面积的最大值为 .15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m.16．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π,6,143C a b ==≤≤，则sin A 的取值范围为__________.17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =−√1010，b =√2，c =√5．（1）求a ；（2）求cos(B −A)的值．18．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π2A ≠，sin 26cos sin b A A B =. （1）求a 的值； （2）若π3A =，求△ABC 周长的取值范围.19．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．20．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h 追上，此时到达C 处． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．21．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．22．已知函数f(x)=2cosx(cosx +√3sinx).（1）当x ∈[π24,7π12]时，求f(x)的值域；（2）在ABC △中，若f (B )=−1,BC =√3,sinB =√3sinA,求ABC △的面积.23．如图所示，在平面内，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，1,AB BC AC CD ===，AC CD ⊥，记ABC θ∠=．（1）若45θ=︒，求对角线BD 的长度（2）当θ变化时，求对角线BD 长度的最大值．1．（2017山东理科）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．B ．C ．2A B =D ．2B A =2．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．3．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2 B ．π3 C ．π4D ．π64．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．5．（2019年高考浙江卷）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．6．（2018年高考浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．7．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC的面积是______，cos ∠BDC =_______．8．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．9．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．10．（2019年高考北京卷理数）在ABC △中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值．11．（2019年高考天津卷理数）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．12．（2019年高考江苏卷）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．13．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .14．（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.15．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．16．（2018北京理科）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．1．【答案】C【解析】由题知()2cos cos cosC a B b A c+=，由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sinC A B B A C+=，所以()2cos sin sinC A B C+=，即2cos sin sinC C C=，所以在△ABC中，1cos2C=，又因为2221cos,1,322a b cC a bab+-====，所以c=故选C.2．【解析】（1）由正弦定理可得在△ABD中，sin sinAD BDB BAD=∠，在△ACD中，sin sinAD CDC CAD=∠，又因为BAD CAD∠=∠，则sin2sinBD CCD B==.（2）sin2sinC B=，由正弦定理得22AB AC==，设DC x=，则2BD x=，由余弦定理得222254cos cos24AB AD BD xBAD CADAB AD+--∠==∠⋅，2222222AC AD CD xAC AD+--==⋅.因为BAD CAD∠=∠，所以2254242x x--=，解得2x=.则3BC x==3．【解析】（1）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C BC B=-，则()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+，πA B C ++=，()()sin sin πsin B C A A ∴+=-=，sin sin C A ∴=，由正弦定理可知：c a =， 则△ABC 为等腰三角形.（2）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =，∵△ABC 为钝角三角形，且a c =，B ∴为钝角，cos 2B ∴=-由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+，2222b b ac a∴==+4．【解析】（1）由已知条件化简可得22()3a b c ab --=-，即222a b c ab +-=-，由余弦定理的推论，可得2221cos 22a b c C ab +-==-，2π(0,π),3C C ∈∴=．（2）2π3,3c b C ===，∴又π,,4b c B C B <∴<∴=，在ABC △中，1sin sin()sin cos cos sin ()22224A B C B C B C =+=+=-+=．113sin 2244ABC S bc A ∴===△．5．【解析】（1）1cos 2a C cb +=，∴由正弦定理得1sin cos sin sin 2A C CB +=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，1sin cos sin 2C A C ∴=， sin 0C ≠，1cos 2A ∴=， 又0πA <<，π3A ∴=. （2）由正弦定理得sinsin a B b c A ===， ]1sin )1sin sin()L a b c B C B A B ∴=++=+=+++1π12cos 12sin 26B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， π2πππ5π,0,,,33666A B B ⎛⎫⎛⎫=∴∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则(2,3]L ∈.故ABC △的周长L 的取值范围是(2,3].6．【解析】（1）由2cos 2a B b c +=，及正弦定理可得：2sin cos sin 2sin A B B C +=， 则2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos 2cos sin A B B C A B A B A B +==+=+， 整理得sin 2cos sin B A B =， 因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >， 所以1cos 2A =，又(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）在Rt △ABD中，2sin sin 3BD AD A ===，则1AB ==， 因为D 为AC 的中点，所以24AC AD ==，在△ABC 中，由余弦定理可得222π41241cos133BC =+-⨯⨯⨯=，所以BC =．7．【解析】（1）在△CDE 中，3609015105150DCE ∠=︒-︒-︒-︒=︒， ∴1111sin150112224△CDE S CD CE =⋅⋅︒=⨯⨯⨯=（平方百米）. （2）如图，连接AB ，根据题意知，在Rt △ACD中，tan 1tan60AC DC ADC =⋅∠=⨯︒=（百米）， 在△BCE 中，180CBE BCE CEB ∠=︒-∠-∠1801054530=︒-︒-︒=︒，由正弦定理sin sin BC CE CEB CBE =∠∠，得1sin 21sin 2CE CEBBC CBE⨯⋅∠===∠（百米），()cos15cos 6045cos60cos45sin60sin45︒=︒-︒=︒︒+︒︒4=，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，则2322AB =+-=-8．【解析】（1）由,cos ),(cos ,cos ),x x x x x ==∈R m n ， 则()f x =⋅m n211π1cos cos 2cos 2sin(2)22262x x x x x x +=++=++， 故函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故π1()sin(2)62f x x =++，最小正周期为π． （2）因为()1f A =，所以π1sin(2)162A ++=， 所以π1sin(2)62A +=， 又ππ13π2(,)666A +∈， 所以π5π266A +=， 所以π3A =， 又1,2a b c =+=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：221b c bc =+-， 所以2()31b c bc +-=， 所以1bc =，则1sin 2△ABC S bc A ==.1．【答案】C【解析】在△ABC 中，∵A ＝2B ，sin sin a b A B=，b ＝3，c ＝1，∴32sin cos sin a B B B=，整理得a ＝6cos B ，由余弦定理可得21962a a a+-=⨯，∴a =故选C ． 2．【答案】A 【解析】因为sin sin AB BC C A=，所以sinC =12sinA ，所以0<sinC ≤12， 又AB <BC ，则C 必为锐角，故C ∈(0,π6]. 3．【答案】A【解析】∵4S =a 2−(b −c)2，bc =4，∴4×12bcsinA =2bc −(b 2+c 2−a 2)， 可得2sinA =2−2cosA ，则sinA +cosA =1，可得sin (A +π4)=√22， ∵0<A <π，∴π4<A +π4<5π4，∴A +π4=3π4，解得A =π2.即ABC △是直角三角形. 故选A ． 4．【答案】A【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，因为2c =，a =21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =.又sin A =，所以由1123222h ⨯⨯=⨯，得h =. 故选A. 5．【答案】B【解析】作出示意图如图所示，()15460km AC =⨯=，906030BAC ∠=︒-︒=︒，9015105ACB ∠=︒+︒=︒，则︒=∠45ABC .由正弦定理，可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，则)60sin 30km sin 45BC ︒==︒.所以这时船与灯塔的距离为. 故选B. 6．【答案】A【解析】由题意知ABC △的面积为4，且∠A =900，所以S =12AB ⋅AC =4，即AB ⋅AC =8，所以2AB +AC ≥2√2AB ⋅AC =2√2×8=8，当且仅当AB =2,AC =4时取得等号， 所以2AB +AC 的最小值为8. 故选A ． 7．【答案】D【解析】因为(a +b +c)(b +c −a)=3bc ，所以(b +c)2−a 2=3bc ， 即b 2+c 2−a 2=bc ，所以cosA =b 2+c 2−a 22bc=12,A ∈(0,π)，所以A =π3，因为a =√3，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为1112sin 2a R A =⨯==. 故选D ． 8．【答案】A【解析】由余弦定理得：222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，即()221623216a a +-=+-，解得：a =，222cos 22b c a A bc +-∴===，sin 2A ∴==，11sin 42222△ABC S bc A ∴==⨯=.故选A. 9．【答案】C【解析】222()()()∥a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-p q ，由余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-⋅， 所以1πcos ,(0,π)23C C C =∈⇒=. 故选C ． 10．【答案】B【解析】由题意知sin (C −A )=12sinB =12sin (A +C ),即2sinCcosA −2cosCsinA =sinAcosC +cosAsinC ，即sinCcosA =3sinAcosC ， 由正弦定理和余弦定理得：c ⋅b 2+c 2−a 22bc=3a ⋅a 2+b 2−c 22ab，即b 2+c 2−a 2=3a 2+3b 2−3c 2，即4c 2−4a 2=2b 2=2×16=32， 则c 2−a 2=8. 故选B ． 11．【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵2222cos a b c ab C +-=，∴sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，即π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πC <<，∴ππ5π666C -<-<，∴ππ66C -=，即π3C =，则πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224+⨯=， 故选D ． 12．【答案】B【解析】如图，因为√3AB =2BC ，所以设AB =2x,BC =√3x ， 又∠ABC =150°，AC =√13，所以由AC 2=AB 2+BC 2−2AB •BC •cos∠ABC ， 得13=4x 2+3x 2−4√3x 2cos150∘=13x 2，所以x =1， 所以AB =2,BC =√3， 又BD ⊥AB ，所以∠DBC =60°，由余弦定理可得，CD 2=BD 2+BC 2−2BD •BC •cos∠DBC ， 可得9=BD 2+3−√3BD ，解得BD =2√3， 故11sin6022△△四边形ABD CBD ABCD S S S AB BD BC BD =+=⋅+⋅︒11222=⨯⨯=故选B.13．1【解析】由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C====2sin 60a∴=，解得：3a =，由余弦定理可得：22222cos 429a b c bc A c c =+-=+-=，解得：1c =+1，1c ∴=.14．【答案】【解析】如图.在ACD △中，2222248cos 222AD DC AC AD DC ADC AD DC AD DC +-+-∠===-⋅⋅1，整理得22482AD DC AD DC AD DC +=-⋅≥⋅， ∴16AD DC ⋅≤，当且仅当AD =DC 时取等号，∴ADC △的面积1sin 24S AD DC ADC AD DC =⋅∠=⋅≤，∴ADC △的面积的最大值为 15．【答案】6100【解析】依题意，30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC △中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ， 得45=∠ACB ，因为600m AB =，所以由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m.在Rt BCD △中，因为30=∠CBD ，BC =，所以230030tan CDBC CD ==， 所以6100=CD m.16．【答案】⎤⎥⎣⎦【解析】∵π,6,143C a b ==≤≤， ∴由余弦定理可得：()22222366327=+-=+-=-+c a b ab b b b ， ∴()[]2232727,31=-+∈c b ，∴⎡∈⎣c ，由正弦定理sin sin a c A C =，可得6·sin 2sin a C A cc ⨯⎤===⎥⎣⎦．故答案为31⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 17．【解析】（1）在ABC △中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =2+5−2×√2×√5×(−√1010)=9，解得a =3．（2）在ABC △中，由cosA =−√1010得A ∈(π2,π)，∴sinA =2A =√1010=3√1010， 在ABC △中，由正弦定理得asinA=bsinB，即sin B =， ∴sinB =√55， 又A ∈(π2,π)，故B ∈(0,π2)， ∴cosB =√1−sin 2B =√1−(√55)2=2√55， ∴cos(B −A)=cosBcosA +sinBsinA =2√55×(−√1010)+√55×3√1010=√210．18．【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =，又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =. （2）由正弦定理得sin sin aB b B A ==，sin sin a Cc C A==，则△ABC的周长为：2π33sin()3a b c B C B B ++=++=++-3π3sin cos36sin226B B B⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，又因为2π(0,)3B∈，所以ππ5π(,)666B+∈，则π1sin(,1]62B⎛⎫+∈⎪⎝⎭.从而π36sin(6,9]6B⎛⎫++∈⎪⎝⎭.因此△ABC周长的取值范围是(]6,9.19．【解析】（1）∵∥m n，∴sin cosb A B=，由正弦定理，得sin sin cosB A A B=，∵sin0A>，∴sin B B=，即tan B=∵0πB<<，∴（212ac=，解得4ac=，由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，得221422a c ac=+-⨯2()3a c ac=+-2()12a c=+-，故4a c+=．20．【解析】（1）依题意得，120BAC∠=︒，18AB=，15230AC=⨯=，BCAα∠=．在ABC△中由余弦定理可得2222cos1764BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅∠=，所以42BC=，所以渔船甲的速度为212BC=海里/小时．（2）在ABC△中，18AB=，120BAC∠=︒，BC=42，BCAα∠=，由正弦定理，得sin sin120AB BCα=︒，所以18sin1202sin4214ABBCα⨯⋅︒===．21．【解析】（1）由题意得，由正弦定理得，即BCA2sin)sin(=+，所以BB2sinsin=．又在ABC △中，则B B 2=或2πB B +=，因为0πB <<，所以π3B =. （2）因为π3B =， 所以2π3AC +=. 22π2sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A +-=-+-π1)3A =-.因为2π03A <<，ππ2π33A -<-<，所以πsin(2)13A <-≤，所以()22sin cos A A C +-的范围是1,12⎛-+ ⎝． 22．【解析】（1）f(x)=2[√32sin2x +12(cos2x +1)] =2sin(2x +π6)+1. ∵x ∈[π24,7π12]，∴2x +π6∈[π4,4π3].当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)取得最大值3； 当2x +π6=4π3，即x =7π12时，f(x)取得最小值1−√3，故f(x)的值域为[1-√3，3].（2）设ABC △中A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c. ∵f(B)=−1,∴sin(2B +π6)=−1 . ∵0<B <π,即π6<2B +π6<2π+π6. ∴2B +π6=32π,得B =23π.又∵BC =√3，即a =√3,sinB =√3sinA,即b =√3a,∴b =3. 易得sinA =12.∵0<A <π3，∴A =π6，∴C =π6. ∴S ΔABC =12absinC =12×√3×3×12=3√34.23．【解析】（1）在ABC △中，∵1,45AB BC ABC ==∠=︒，∴由余弦定理可得:2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=， ∴1AC =，则ABC △为等腰直角三角形， ∴135BCD ∠=°， 在△BCD中，1,135BC CD AC BCD ===∠=︒ ，由余弦定理可得:2222cos 5BD BC CD CD BC BCD =+-⋅⋅∠=，∴BD =（2）在ABC △中，∵1,AB BC ABC θ==∠=，∴由余弦定理可得:2222cos 3AC AB BC AB BC ABC θ=+-⋅⋅∠=-， 又由正弦定理可得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，即1sin ACB =∠∴sin ACB ∠=∴π()cos cos sin 2BCD ACB ACB ∠=+∠=-∠=在△BCD中，BC CD AC ===由余弦定理可得2222cos 5sin cos )BD BC CD CD BC BCD θθ=+-⋅⋅∠=+-=(π54in )s 4θ+-，∴当3π4θ=时，()2max 9BD =，则max 3BD =．1．【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 2．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则， 故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 3．【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =， 因为()0,πC ∈，所以π4C =. 故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.4．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-所以2a c ==，11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．5．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.6．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .7【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 44DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos 4BDC ∠=或cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD cos BDC ∠=． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．8．【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=． （2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9．【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =， 因此B =60°．（2）由题设及（1）知ABC △的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于ABC △为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°， 由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 10．【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =. （2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．12．【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得23=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.13．【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=.所以5BC =.。
高中数学解三角形知识点汇总及典型例题
. . . .. .解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
三角数列知识点总结
三角函数知识点总结1. 角的概念的推广(1) 终边相同的角：所有与α角终边相同的角(连同α角在内)可以用式子k ⋅360︒+α，k ∈Z 来表示。
与α角终边相同的角的集合可记作：{β|β=k ⋅360︒+α，k ∈Z}或{β|β=2k π+α，k ∈Z}。
※ 角的集合表示形式不是唯一的；终边相同的角不一定相同，相同的角一定终边相同。
(2) 象限角：角的顶点与坐标轴原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几(1) 1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
(2) 度数与弧度数的换算： ①180︒=π弧度；②1801π=︒弧度； ③1弧度=O⎪⎭⎫⎝⎛π180。
(3) 有关扇形的一些计算公式：①R =α； ②R S 21=；③221R S α=；④C =(α+2)R ；⑤)sin (212αα-=-=∆R S S S 扇形弓。
3. 同角三角函数的基本关系(1) 商数关系：αααtg =cos sin ；(2) 平方关系：sin 2α+cos 2α=1，4. 三角函数的诱导公式：“奇变偶不变(2π的奇数倍还是偶数倍)，符号看象限(原三角函数名)”。
5. 两角和与差的三角函数公式 βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (±=±； βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±； βαβαβαtg tg tg tg tg 1)(±=± (变形：)1()(βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±)。
6. 倍角、半角公式 (1) 二倍角公式：sin2α=2sin αc os α，c os2α=c os 2α-sin 2α=2c os 2α-1=1-2sin 2α，α-α=α2tg 1tg 22tg ；7. 倍角、半角公式的功能(1) 并项功能：1±sin2α=(sin α±c os α)2 (类比：1+c os2α=2c os 2α，1-c os2α=2sin 2α)； (2) 升次功能：c os2α=c os 2α-sin 2α=2c os 2α-1=1-2sin 2α；(3) 降次功能：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=。
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题
解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备:1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C =9０°，AB =c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
(1）三边之间的关系:a ２+ｂ２＝c 2。
（勾股定理） (２)锐角之间的关系：A ＋Ｂ=90°； （３)边角之间的关系:（锐角三角函数定义) s ｉｎA ＝ｃos B =c a ，cos A =sin B =c b ，ｔａn Ａ＝ba。
2.斜三角形中各元素间的关系:在△ABC 中,A 、B 、Ｃ为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、Ｃ的对边。
(１）三角形内角和：Ａ＋B +C =π。
(２)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径） （3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍ａ2=b 2+c 2-2ｂｃcos Ａ； b ２＝ｃ2+a 2-2c ａcos B ; c 2＝a ２＋ｂ２-2ａb c ｏｓC 。
3．三角形的面积公式:(1）∆S =21ah ａ=21bh b ＝21ch c (ｈａ、h b 、h c 分别表示ａ、b 、c 上的高）； （2）∆S =21ab s ｉｎC =21ｂc ｓi ｎA ＝21ac s ｉｎＢ;４．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (2）两类余弦定理解三角形的问题:第1、已知三边求三角.②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ,0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评:应用正弦定理时(1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2:三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22,AC =2,3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解三角形与数列知识整理(A4)
高二数学解三角形与数列知识整理1. 三角基本关系式：22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα=． 2. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，变形：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，变形：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-．3. 重要的诱导公式：()sin sin ααπ-=，()cos cos ααπ-=-，()tan tan ααπ-=-．三角形中常考点：sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅．4. 二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=； ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，变形：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=； ⑶222sin 22sin cos 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan ααααααααα===--． 5. 一个综合性很强的例子：22222cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )1sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )cos sin 1tan 1tan tan()sin cos tan 11tan 4ααααααααααααααααααααααα--+==++++---π====-+++6. 辅助角公式（一角一函数）：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b aϕ=． 常见辅助角公式：sin cos x x x π⎛⎫±=± ⎪4⎝⎭，2sin x x x π⎛⎫±=± ⎪4⎝⎭，cos 2sin x x x π⎛⎫±=± ⎪6⎝⎭，sin 2sin x x x π⎛⎫=± ⎪3⎝⎭，3sin 2x x x π⎛⎫=± ⎪6⎝⎭，3cos 2x x x π⎛⎫±=± ⎪3⎝⎭， 7. 根据“函数()()sin 00y x ωϕω=A +A >>，”的定义域，利用其单调性求其最值． 8. 设A 、B 两点的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，，有：⑴()1212,x x y y AB =--u u u r；⑵||AB =u u u r （两点距离公式）．9. 设()11a x y =r，，()22b x y =r ，，有：⑴模长：a =rb =r⑵坐标运算：()1212a b x x y y +=++r r ，，()1212a b x x y y -=--r r ，，1212a b x x y y ⋅=+rr ；⑶平行与垂直：若a r ∥b r，则12210x y x y -=；若a b ⊥r r ，则12120a b x x y y ⋅=+=r r ；⑷数量积：cos a b a b θ⋅=r rr r ，cos a b a b θ⋅==r rr r ． 10. 正弦定理：在C ∆AB 中，有2sin sin sin a b cR C===A B ，其中，R 为C ∆AB 的外接圆的半径． 正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 11. 射影定理：（要求会用两角和的正弦公式及正弦定理证明）cos cos cos cos cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+，，12. 三角形面积初级公式：111222C a b c S ah bh ch ∆AB ===，（Rt △ABC 斜边上的高22c ab h c a b==+） 111sin sin sin 222C S ab C ac bc ∆AB ==B =A ； 三角形面积中级公式：1()42C abc S a b c r R ∆AB ==++内外； ()()()C S p p a p b p c ∆AB =---，其中1()2p a b c =++；三角形面积高级公式：若1122()()CB a x y CA b x y ====u u u r r u u u r r ，，，，则221221111||||sin ()(||||)||222CS a b C a b a b x y x y ∆AB ==-=-r r r r r r g ． 13. 余弦定理：（要求会用向量法证明）在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．余弦定理的变形及应用：①222cos2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=；（求余弦值的方法还有：数量积的变形公式121222221122cos x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++rr r r ）②若222a b c +=，则90C =o；若222a b c +>，则90C <o；若222a b c +<，则90C >o． 14. 一个重要结论：（要求会用余弦定理或向量法证明） 平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和，即222222222()AC BD AB BC CD DA AB BC +=+++=+．所以2222(2)2()AC BO AB BC +=+，所以△ABC 的22212().2BO AB BC AC =+-15. 等差数列和等比数列：16. 求通项公式的方法：（1）公式法：等差1(1)n a a n d =+-，等比11n n a a q -=； （2）累加法：1()n n a a f n +-=，且()f n ∑可求；（常见的()f n 有1121ln(1)33(1)n n n n n n ++++，，等）（3）累乘法：1()n na f n a +=，且()f n ∏可求； （常见的()f n 有31n n n +，等） （4）由n S 求n a ：1!1n n nS n a S S n +=⎧=⎨-⎩≥，，2，注意验证1n =的情形；（常见的n S 有2222331nn n n n --+-，，等） （5）构造法：①1(10)n n a pa q p pq +=+≠≠，，构造公比为p 的等比数列{}n a t +； ②1()n n a pa f n +=+（其中()f n 为指数型函数），两边同时除以（底数）n+1； ③构造1{}n n a a λ+-为等差或等比数列，然后转到①②； ④取倒数：常见的有111111222211n nn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a na a a a ++++++==-=-=++，，，等．17. 求前n 项和的方法：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、通项转换法、分组求和法． （常见题型见学案）。
【高中数学】高中数学知识点：解三角形
【高中数学】高中数学知识点：解三角形解三角形定义：一般来说，三角形的三个角a、B和C以及它们的对边a、B和C被称为三角形的元素。
给定三角形中的几个元素，寻找其他元素的过程称为求解三角形。
主要方法：正弦定理，余弦定理。
解三角形常用方法：1.知道一边和两个角来解三角形：知道一边和两个角（设置为B、a和B），以及解三角形的步骤：2.已知两边及其中一边的对角解三角形：已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角时，首先必须判断是否有解，例如在已知的，问题就无解。
如果有解，是一解，还是两解。
解得个数讨论见下表：3.了解求解三角形的两边及其夹角：了解两边及其夹角（设置为a、B、c），以及求解三角形的步骤：4.已知三边解三角形：已知三边a，b，c，解三角形的步骤：① 使用余弦定理来寻找一个角度；②由正弦定理及a+b+c=π，求其他两角．5.三角形形状的确定：判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别，依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：① 利用正弦和余弦定理，将已知条件转化为边关系，通过因子分解和公式得到边的对应关系，从而判断三角形的形状；②利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数的恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用a+b+c=π这个结论，在以上两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．6.解决斜三角形应用问题的一般思路：(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等；（2）根据标题的意思画数字；(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练，计算准确，最后作答，流程图可以表示为：利用正弦定理、余弦定理在解决三角形的综合问题时，要注意三角形三内角的一些三角函数关系：。
高考数学 第四章 三角函数与解三角形 专题17 解三角形考场高招大全-人教版高三全册数学试题
专题十七解三角形考点37 正弦定理与余弦定理考场高招1 应用正、余弦定理的解题技巧1.解读高招技巧解读适合题型典例指引边化角将表达式中的边利用公式a=2R sin A,b=2R sinB,c=2R sin C化为角的关系等式两边是边的齐次形式典例导引1(1)角化边将表达式中的角利用公式转化为边,出现角的正弦值用正弦定理转化,出现角的余弦值由余弦定理转化等式两边是角的齐次形式、a2+b2-c2=λab形式典例导引1(2)和积互化a2=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-2bc(1+cos A).可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边出现b+c,bc等结构形式典例导引1(4)方积互化与重要不等式相联系,由b2+c2≥2bc,得a2=b2+c2-2bc cos A≥2bc-2bc cos A=2bc(1-cos A),可探求边或角的X围问题求边、角、面积等取值X围问题典例导引1(3)2.典例指引1(1)△ABC的三个内角A,B,C对边的长分别为a,b,c,若a sin A sin B+b cos2A=a,则等于()A.2B.2C.D.(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=b,且sin(A-C)=2cos A sin C,则b等于()A.6B.4C.2D.1(3)已知△ABC的三边a,b,c成等比数列,a,b,c所对的角依次为A,B,C,则sin B+cos B的取值X围是()A. B. C.(1, ] D.(4)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a sin B=b cos A.若a=4,则△ABC周长的最大值为(2)(角化边)由题意,得sin A cos C-cos A sin C=2cos A sin C,即sin A cos C=3cos A sin C,由正、余弦定理,得a·=3c·,整理得2(a2-c2)=b2.①又a2-c2=b, ②联立①②得b=2,故选C.(3)设y=sin B+cos B=sin.∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,∴cos B=,∴0<B<<sin≤1,1<sin,故选C.(4)由正弦定理,可将a sin B=b cos A化为sin A sin B=sin B cos A.∵在△ABC中,sin B>0,∴si n A=cos A,即tan A=.∵0<A<π,∴A=.由余弦定理,得a2=16=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3,则(b+c)2≤64,即b+c≤8(当且仅当b=c=4时等号成立),所以△ABC的周长=a+b+c=4+b+c≤12,即最大值为12.【答案】 (1)D(2)C(3)C(4)123.亲临考场1.(2016某某,理3)在△ABC中,若AB= 13,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4【答案】 A由余弦定理得13=9+AC2+3AC⇒AC=1.故选A.2.(2016课标Ⅱ,理13)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.【答案】2113【解析】因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=.又因为,所以b=.3.(2015某某,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.考点38 解三角形及其应用考场高招2 判断三角形形状问题的规律1.解读高招规律解读典例指引角化边利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,从而判断三角形的形状典例导引2(1)边化角利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论典例导引2(2)温馨提醒注意在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解2.典例指引2(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状是() A.直角三角形 B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形(2)已知△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若=2c ,则△ABC 的形状是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形(2)∵=2c ,∴由正弦定理可得=2sin C , 而≥2=2,当且仅当sin A=sin B 时取等号.∴2sin C ≥2,即sin C ≥1. 又sin C ≤1,故可得sin C=1,∴∠C=90°.又∵sin A=sin B ,∴A=B ,故三角形为等腰直角三角形,故选C. 【答案】 (1)C(2)C 3.亲临考场1.在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2A2，且sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【解析】sin B ·sin C ＝1＋cos A2，∴2sin B ·sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， ∴cos(B －C )＝1，∵B 、C 为三角形的内角，∴B ＝C ，又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，综上，△ABC为等腰直角三角形．2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考场高招3 解三角形应用题的规律1.解读高招规律解读典例指引1实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解典例导引3(1)2 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解典例导引3(2)温馨提醒解三角形应用题的一般步骤:分析(画出图形)——建模(建立解斜三角形模型)——解模(利用正余弦定理有序地求解)——检验(检验上述所求三角形是否有实际意义)2.典例指引3(1)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(-1) mB.180(-1) mC.120(-1) mD.30(+1) m(2)(2016某某某某一模)如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到:CD=2,CE=2,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A,B两点之间的距离为.(2)依题意知,在△ACD中,∠A=30°,由正弦定理得AC==2,在△BCE中,∠CBE=45°,由正弦定理得BC==3.∵在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos∠ACB=10,∴AB=.3.亲临考场1.(2017某某,11)我国古代数学家X徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.【答案】【解析】将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=6×.2.(2015某某,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.【答案】100考场高招4三角形与不等式相结合解题的规律1.解读高招方法解读典例指引利用三角形有解已知三角形的边a及对角A,求三角形有两解时边b的X围,根据b sinA<a<b,解出相应的不等式即可典例导引4(1)利用基本不等式余弦定理与重要不等式a2+b2≥2ab,三角形两个边的和与基本不等式a+b≥2,三角形面积公式与ab≤,通过这些结合点,求解X围问题,注意等号成立的条件典例导引4(2)利用函通过建立参数与已知角或边的关系,把角或边作为自变量,参数作为函典例导引数的值域数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利4(3)用条件中的X围限制,以及三角形自身X围限制2.典例指引4(1)(2017某某某某调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a ,b,c,若a=2b,△ABC的面积记作S ,则下列结论一定成立的是()A.B>30°B.A=2BC.c<bD.S≤b2(2)(2017某某某某、某某摸底联考)已知△ABC 中,角B, C,A成等差数列,且△ABC的面积为 ,则AB边的最小值是.(3)在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD长为6,则当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为. 【解析】 (1)由a=2b,得sin A=2sin B ≤1,则sin B ≤,∵B不是最大角,∴B≤30°,故A错;sin A=2sin B与A=2B没有关系,故B错;若a=4,b=2,c=5,符合a=2b,但c>b,所以C错;三角形面积S=ab sin C=b2sin C≤b2,故选D.(2)∵B,C,A成等差数列,∴A+B=3C.又∵A+B+C=π,∴C=,由S△ABC=ab sin C=1+,得ab=2(2+).∵c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab,a2+b2≥2ab,∴c2≥(2-)ab=4,解得c≥2,∴c的最小值为2.(3)根据题意,可设AB=AC=2x,则AD=x(2<x<6),由余弦定理,得cos A=,∴sin A=,∴S△ABC=AB·AC sin A=×4x2=2≤24,当x2=20,即x=2时等号成立,所以当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为4.【答案】(1)D(2)2(3)43.亲临考场1.(2015课标Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值X围是.【答案】()2.(2014课标Ⅰ,理16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边, a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为【答案】。
高中数学解三角形知识点总结
高中数学解三角形知识点总结三角形一直是数学中较难的知识点之一，身为高三的同学该如何学号三角形知识呢。
以下是由编辑为大家整理的“高中数学解三角形知识点总结”，仅供参考，欢迎大家阅读。
高中数学解三角形知识点总结解斜三角形1、解斜三角形的主要定理：正弦定理和余弦定理和余弦的射影公式和各种形式的面积的公式。
2、能解决的四类型的问题：(1)已知两角和一条边(2)已知两边和夹角(3)已知三边(4) 已知两边和其中一边的对角。
解直角三角形1、解直角三角形的主要定理：在直角三角形ABC中，直角为角C，角A和角B是它的两锐角，所对的边A、B、C，(1) 角A和角B的和是90度;(2) 勾股定理：A的平方加上+B的平方=C的平方;(3) 角A 的正弦等于A比上C，角A的余弦等于B比上C，角B的正弦等于B 比上C，角B的余弦等于A比上C;(4)面积的公式S=AB/2;此外还有射影定理，内外切接圆的半径。
2、解直角三角形的四种类型：(1)已知两直角边：根据勾股定理先求出斜边，用三角函数求出两锐角中的一角，再用互余关系求出另一角或用三角函数求出两锐角中的两角;(2)已知一直角边和斜边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1);(3)已知一直角边和一锐角，可求出另一锐角，运用正弦或余弦，算出斜边，用勾股定理算出另一直角边;(4)已知斜边和一锐角，先算出已知角的对边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1)。
拓展阅读：高中数学快速提分的学习方法一、回归基础查缺漏高中数学快速提分考生应当结合数学课本，把高中数学知识点从整体上再理一遍，要特别重视新课程新增的内容，看看有无知识缺漏，若有就应围绕该知识点再做小范围的高考复习，消灭知识死角。
二、重点知识再强化高中数学以三角、概率、立体几何、数列、函数与导数、解析几何、解三角形、选做题为主，也是数学大题必考内容，这些板块应在老师指导下做一次小专题的强化训练，熟悉不同题型的解法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考大题第17题必考知识一、数列基本公式：1、一般数列的通项an 与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an =a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an 是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn = Sn=Sn =当d≠0时，Sn 是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an = a1q n-1an= akq n-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn =n a1(是关于n的正比例式)；当q≠1时，Sn = Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an }的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{an }的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an }与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an }与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an bn}、、仍为等比数列。
7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)11、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。
12、{b n }（b n >0）是等比数列，则{log c b n } (c>0且c 1) 是等差数列。
13. 在等差数列中：（1）若项数为 ，则（2）若数为 则， ，14. 在等比数列中：（1） 若项数为 ，则（2）若数为 则，二、解三角形基本公式：1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C ===A B ．5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．8、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．(余弦定理主要解决的问题：1.已知两边和夹角，求其余的量。
2.已知三边求角) 9、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o；②若222a b c +>，则90C <o；③若222a b c +<，则90C >o．注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A 、B,C 、D 两点，并测得∠ACB=75O, ∠BCD=45O, ∠ADC=30O, ∠ADB=45O(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A 、B 之间的距离。
（本题解答过程略）11、三角形面积公式：12、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）13 、请同学们自己复习巩固三角函数中 诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等） 。
三、三角函数：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数siny x=cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域值域：[]1,1-当22x kππ=+()k∈Z时，max1y=；当22x kππ=-()k∈Z时，min1y=-．值域：[]1,1-当()2x k kπ=∈Z时，max1y=；当2x kππ=+()k∈Z时，min1y=-．值域：R既无最大值也无最小值周期性siny x=是周期函数；周期为2,T k k Zπ=∈且0k≠；最小正周期为2πcosy x=是周期函数；周期为2,T k k Zπ=∈且0k≠；最小正周期为2πtany x=是周期函数；周期为,T k k Zπ=∈且k≠；最小正周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是减函数．在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在[]2,2k kπππ+()k∈Z上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k∈Z上是增函数．对称性对称中心()(),0k kπ∈Z对称轴()2x k kππ=+∈Z对称中心(),02k kππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k kπ=∈Z对称中心(),02kkπ⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴2、辅助角公式：=+x b x a cos sin（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点),(b a ， ）（22;tan πππϕ<<-=a b ）注意：设两个非零向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则两向量的数量积：1212a b x x y y ⋅=+rr ．)sin(22ϕ+⋅+x b a。