高中数学人教A版第三讲3.2平面与圆柱面的截线

第三讲圆锥曲线性质的探讨

3.2 平面与圆柱面的截线

A级基础巩固

一、选择题

1．下列说法不正确的是()

A．圆柱面的母线与轴线平行

B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面

C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关

D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径

答案：D

2．若平面α与球O相切，切点为M，则()

A．经过M点的直线都与球O相切

B．不经过M点的直线都与球O相离

C．平面α内不经过M点的直线有可能与球O相切

D．平面α内经过M点的直线都与球O相切

解析：平面α与球O内切于M点，则平面α内经过M点的直线都与球O相切，平面α内不经过M点的直线都与球O相离．答案：D

3．已知平面α与一圆柱的母线成60°角，那么该平面与圆柱截口图形的离心率是()

A.

3

2B．1 C.

2

2 D.

1

2

解析：因为平面与圆柱截口图形为椭圆，

所以其离心率e ＝cos 60°＝1

2.

答案：D

4．用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( )

A.12

B.33

C.3

2 D ．非上述结论 答案：A

5．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截得椭圆的焦距为( )

A ．2 2

B ．2

C ．4

D ．4 2

解析：由题意得椭圆长半轴a ＝2sin 45°＝22，

离心率c

a ＝cos 45°＝22，

则半焦距c ＝2

2

a ＝2，故焦距2c ＝4. 答案：C 二、填空题

6．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝________．

答案：4

5

7．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4

5，则k 的值为________．

解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ， 由c a ＝4

5，即5－k 3＝45

，

解得k ＝－19

25

；

若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5， 由c a ＝4

5，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 答案：－

19

25

或21 8．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为1

2，则Dandelin 双

球的半径是________．

解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝4，c a ＝12

，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，

c ＝1，

所以b ＝a 2－c 2＝ 3. 所以Dandelin 球的半径为 3. 答案：3 三、解答题

9．已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴长，短轴长和离心率．

解：由题意可知，椭圆的短轴长2b ＝2×2， 所以短轴长为4. 设长轴长为2a ， 则有

2b 2a ＝sin 30°＝1

2

. 所以2a ＝4b ＝8，c ＝a 2－b 2＝2 3. 所以e ＝c a ＝234＝32

.

所以长轴长为8，短轴长为4，离心率为3

2

.

10．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2

＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

解：设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ， 则有：|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ， 所以|MO 1|＋|MO 2|＝10，

由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上， 且a ＝5，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 2

16

＝1.

B 级 能力提升

1．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )

A.1

2 B.22 C.33

D.32

解析：Dandelin 双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长．

因为由题意可知2b ＝2c ， 所以e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c

2c ＝22.

答案：B

2．已知圆柱底面半径为b ，平面π与圆柱母线夹角为30°，在

圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是3b ，则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 2的距离是________．

解析：由题意知，椭圆短轴长为2b ， 长轴长2a ＝2b

sin 30°＝4b ，

所以c ＝4b 2－b 2＝3b . 所以e ＝

3b 2b ＝32或e ＝cos 30°＝32

. 设P 到F 1的距离为d ，则d

3b ＝32，

所以d ＝3

2

b .

又PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，

所以PF 2＝4b －PF 1＝4b －32b ＝5

2b .

答案：5

2

b

3．设F 1，F 2分别是椭圆：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过

F 1倾斜角为45°的直线l 与该椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝4

3

a .

(1)求该椭圆的离心率；

(2)设点M (0，－1)满足|MP |＝|MQ |，求该椭圆的方程． 解：(1)直线PQ 斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2，

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P 、Q 两点坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋c ，

x 2a 2＋y 2b 2＝1，

化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，