初三数学思维训练题

初中数学思维训练

一、平面图形的运动

1、平移

2、翻折

3、旋转

二、分类讨论

三、新题型

四、函数解析式的确定

1、已知函数解析式的确定——待定系数法——关键是求点的坐标（几何法、解析法综合运用）

2、未知函数解析式的确定——列方程（直接法、间接法、参数法）利用面积、勾股定理、平行线截得比例线段、相似性（全等）等方法找到等量关系——求函数定义域（解析式法、极限法）

五、探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，运用数学数形结合的思想，化动为静、化繁为简的转化思想，分类讨论的思想，用几何和代数的方法求出x的值。

P

D

A

B

C

M

N

E

初三数学思维训练题（一）

一、平移

1. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝4cm ，点D 是斜边AB 上的中点，把△ADC 沿着

AB 方向平移1cm 得△EFP ，EP 与FP 分别交边BC 于点H 和点G ，则GH ＝ cm ．

2. 如图，在△ACB 中，∠CAB=90°,AC=AB ＝3,将△ABC 沿直线BC 平移，顶点A 、C 、B 平

移后分别记为A 1、C 1、B 1，若△ACB 与△A 1C 1B 1重合部分的面积2，则CB 1= . 3. 如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为(1,0)、

(4,0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线26y x =-上时，线段BC 扫过的面积

为 cm 2 ．

二、翻折

4. 如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为EF ，顶点A 恰好落在CD 边上的中点P 处，

B 点落在点Q 处，PQ 与CF 交于点

G . 设C 1为△PCG 的周长，C 2为△PDE 的周长，则C 1 :C 2

= .

5. 如图，R t△ABC 中，∠C=90°，AC=3，3

cot 4

A =

，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，且∠EDC=∠A，将△ABC 沿DE 对折，若点C 恰好落在边AB 上，则DE 的长为 . 6. 如图，在ABC ∆中，MN ∥AC ，直线MN 将ABC ∆分割成面积相等的两部分.将BMN ∆沿直线

MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE ∥CN ，则:AE NC = .

H G

A B

C

P A

C B

E

B

C

三、旋转

7. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，点O 在AB 上，且6CA CO ==，1cos 3

CAB ∠=，若将

△ABC 绕点A 顺时针旋转得到Rt △AB’C’，且C’落在CO 的延长线上，联结'BB 交CO 的延长线于点F ，则BF = .

8. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=，10AB =，3

tan 4

B =

，点M 是AB 边的中点，将ABC ∆绕着点M 旋转，使点C 与点A 重合，点A 与点D 重合，点B 与点E 重合，得到DEA ∆，且AE 交CB 于点P ，那么线段CP 的长是 ．

9. 如图，将△ABC 绕顶点C 旋转至△DEC 位置，使顶点D 恰好落在边AB 上，已知AC=3，BC=4，

︒=∠90ACB ，则=∠BED cot _______________．

四、分类讨论

10. 已知等腰三角形的周长为20，一个内角的余弦值为

2

3

，那么这个等腰三角形的腰长等于 ．

11. 抛物线23y ax bx =++的顶点在坐标轴上，则a = ．

12. 在△ABC 中，5AB =，4AC =，3BC =，D 是边AB 上的一点，E 是边AC 上的一点（D 、E

与端点不重合），如果△CDE 与△ABC 相似，那么CE =

五、新题型

13. 若等腰三角形的顶角为θ，则定义m

sad n

θ=

，其中m 、n 分别表示这个等腰三角形的底边长和腰长，请根据定义推算： ① 若已知锐角θ满足4

tan 3

θ=

，则sad θ= ； ②36sad ︒= ． C A

B

O

F 'C '

B E

D

C

B

A

14. 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色

正方形的个数为___________．

15. a 239=，则1

32

*＝（ ）

（A ） 18 （B ） 8 （C ） 16 （D ） 3

2

初三数学思维训练题（二）

一、函数型综合题

１．已知抛物线2

3y ax bx =++与x 的交点为A （1,0）、B （3,0），与y 轴交于点C. （1）求出抛物线的解析式及顶点P 的坐标；

（2）若点M 在抛物线的对称轴上，且∠AMP=∠ACB ，求点M 的坐标；

（3）若点G 在线段OC 上，且OG=2CG ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ，点F 为射线AG 上一点，且△ABF 与△AEG 相似，求出点F 的坐标；

（4）设点Q 是抛物线上的一个动点，当点Q 在第四象限时，△ACQ 的面积为15

8

，求点Q 的坐标.

二、几何型综合题

1、已知：点A 、B 都在半径为9的圆O 上，P 是射线OA 上一点，以PB 为半径的圆P 与圆O 相交的另一个交点为C ，直线OB 与圆P 相交的另一个交点为D ，2cos 3

AOB ∠=． （1）求：公共弦BC 的长度；

（2）如图，当点D 在线段OB 的延长线上时，设AP=x ，BD=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果直线PD 与射线CB 相交于点E ，且△

BDE 与△BPE 相似，求线段AP 的长．

第一个 第二个 第三个 …… 第n 个 O

A

P

B

D

H