泛函分析中的概念和命题

泛函分析中的概念与命题

赋范空间,算子,泛函

定理:赋范线性空间就是有限维的当且仅当它的单位球就是列紧的;有限维赋范线性空间上的任两

个范数就是等价的;有限维赋范线性空间就是Banach 空间、

定理:M 就是赋范线性空间()||||,⋅X 的一个真闭线性子空间,则,1||||,,0=∈∃>∀y X y ε使得: M x x y ∈∀->-,1||||ε

定理:设X 就是赋范线性空间,f 就是X 上的线性泛函,则

1、*

X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=⇔ 2、()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ⇔

定理:()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ⇔≠θ

()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间，

可分B 空间:()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10，

不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理

设X 为线性空间,上的实值函数是定义在X p ,若:

(1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈∀+≤+

(2)()()()

为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈∀≥∀=,0,ααα (3) ()()()

为对称泛函，则称p X x x p x p ∈∀∈∀=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 就是实线性空间,()x p 就是定义在X 上的次可加正齐性泛函,0X 就是X 的线性子空间,0f 就是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈∀≤,则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ,且满足:

1.()()()X x x p x f ∈∀≤0

2、 ()()()00X x x f x f ∈∀=

复Hahn-Banach 泛函定理: 设X 就是复线性空间,()x p 就是定义在X 上的次可加对称泛

函,0X 就是X 的线性子空间,0f 就是定义在0X 上的线性泛函且满足()()()00||X x x p x f ∈∀≤,则必存在一个定义在X 上的线性泛函f ,且满足:

1.()()()X x x p x f ∈∀≤||0

2、 ()()()00X x x f x f ∈∀=

定理: 设X 就是线性空间, 若}{θ≠X , 则在X 上必存在非零线性泛函。

Hahn-Banach 延拓定理: 设X 就是赋范线性空间, 0X 就是X 的线性子空间,0f 就是定义在0X 上的有界线性泛函,则必存在一个定义在X 上的有界线性泛函f ,满足:

1.0||||||||0X f f =

2、 ()()()00X x x f x f ∈∀=

定理:设X 就是赋范线性空间,M 就是X 的线性子空间,(),0,,00>=∈d M x X x ρ则必有 *X f ∈,满足:

(1)()()1||||)3()2(,00==∈∀=f d x f M x x f ；；

定理:设X 就是赋范空间,()1||||||,||,},{00*0==∈∃-∈∀f x x f X f X x 使必θ

定理:设X 就是赋范空间,1}||||,|)(sup{|||||,*000=∈=∈∀f X f x f x X x ：必有

凸集分离定理

极大线性子空间:一个线性空间的子空间,真包含它的线性空间就是全空间

超平面:它就是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移,也称极大线性流形

承托超平面:的在点凸集0x E 承托超平面0x L L E L 有公共点的一侧，且与在是指

Minkowski 泛函:上作一个点的凸子集，在的含有是是线性空间，设X X M X θ

取值于],0[+∞的函数: ()()X x M x x p ∈∀∈>=},|

0inf{λλ

与M 对应,称函数p 为M 的Minkowski 泛函

定理:L 就是赋范空间X 的(闭)超平面⇔存在X 上的非零(连续)线性泛函f 及

()}|{,,r x f X x H H L R r r f r

f =∈==∈其中使

Hahn-Banach 定理的几何形式: 设X 就是赋范空间,E 就是X 的具有内点的真凸子集,又设00,x E E X x 与离则必存在一个超平面分-∈

定理:设X 就是赋范空间,；具有内点，且的两个非空凸集，是和φ=⋂F E E X F E 0

则 F E H X f s s

f 和分离使得超平面及},{R *θ-∈∈∃

Ascoli 定理:设X 就是赋范空间,E 就是X 的真闭凸子集,则R ,,*0∈∈∃-∈∀αX f E X x 适

合()()

()E x x f x f ∈∀<<，0α Mazur 定理:设X 就是赋范空间,E 就是X 的一个有内点的凸子集,F 就是X 的一个线性流形,又设的一侧在，使的闭超平面则存在一个包含L E L F F E ,0

φ=⋂

定理:设X 就是赋范空间,E 就是X 的一个含有内点的闭凸集,则通过E 的每个边界点都可以作出E 的一个承托超平面 基本定理

定理:()()()εθθε,1,,0,Banach ,O TB Y X B T Y X ⊃>∃∈使得是满射，则空间，是设 开映射定理:()是开映射是满射，则空间，是设T Y X B T Y X ,Banach ,∈

Banach 逆算子定理:()()Y X B T Y X B T Y X ,,Banach ,1∈∈-是双射，则空间，是设 等价范数定理:设X 就是线性空间,1||||•与2||||•就是X 上的两个范数,若X 关于这两个范数都成为Banach 空间,而且2||||•强于1||||•,则1||||•也强于2||||•,从而1||||•与2||||•等价

闭算子:是赋范空间，设Y X ,()的映射，到是Y X T D T ⊂若T 的图像()()}|,{T D x Tx x ∈就

是赋范线性空间Y X ⨯中的闭集,则称T 就是闭映射或闭算子

闭算子判别定理:设Y X ,就是赋范空间,()⇔⊂是闭映射的映射，则到是T Y X T D T (),}{T D x n ⊂∀若()00000,,Tx y T D x Y y Tx X x x n n =∈∈→∈→，且则

闭图像定理:空间，

是设Banach ,Y X ()的线性映射到是Y X T D T ⊂,而且就是闭算子,若 ()T D 就是X 的闭线性子空间,则T 就是连续的

定理:空间，

是设Banach ,Y X 的线性算子到是Y X T ,则T 连续⇔T 就是闭算子 共鸣定理:空间，是设Banach X Y 就是赋范空间,().,,Λ∈∈λλY X B T 如果X x ∈∀,都有