高中数学竞赛数列问题

高中数学竞赛数列问题

一、 高考数列知识及方法应用（见考纲） 二、 二阶高次递推关系

1．因式分解降次。例：正项数列{a n }，满足12+=n n a S ，求a n （化异为同后高次）

2．两边取对数降次。例：正项数列{a n }，a 1=1，且a n ·a n+12 = 36，求a n 三、 线性递推数列的特征方程法 定理1：若数列{a n }的递推关系为a n+2=λ1a n+1+λ2a n ，则设特征方程x 2=λ1x+λ2，

且此方程有相异两根x 1，x 2（x 1≠x 2），则必有

a n =c 1x 1n +c 2x 2n

，其中c 1，c 2由此数列已知前2项解得，即

⎩⎨⎧+=+=2

2

221122

2111x c x c a x c x c a 或由⎩⎨⎧+=+=2

21112

10x c x c a c c a 得到。（见训练及考试题）

定理2：若方程x 2=λ1x+λ2有相等重根x 0，则有

a n =（c 1+c 2n ）x 0n ，其中c 1，c 2仍由定理1方程组解得。

例如.：1，已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的

通项公式

2，.数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(32

1

1≥+=

--+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式

3，.数列}{n a 满足：.,2

36

457,12

10N n a a a a n n n ∈-+=

=+

证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)求数列}{n a 的通项公式。 4，已知.数列{}n a 满足121,2,a a n N +==∈都有2144n n n a a a ++=-，求数列

{}n a 的通项公式

四、 特殊递推的不动点法 （ f （x ）= x 的解称为f （x ）的不动点 ）

定理1：若数列{a n }满足递推：a n+1=a ·a n +b （a ，b ∈R ）， 则设x=ax+b ，得不动点1

0--=

a b

x 且数列递推化为：a n+1-x 0=a （a n -x 0）， 进而用构造法解得。

定理2：若数列{a n }满足递推：）（01≠-+⋅+⋅=

+bc ad d

a c b

a a a n n n ，

则设d

cx b

ax x ++=

，得不动点x 1，x 2， 若x 1≠x 2，则原递推化为：

）（2

1

212111x a x a c x a c x a x a x a n n n n ----=--++，再由构造

法解得。

若x1=x2=x0，即有唯一不动点x0时，原递推可化为：

d

a c

x a x a n n ++-=-+211001，再由构造法解得。

例如：1，在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),求该数列的通项a n

2，已知.数列{}n a 满足：1138

1,23

n n n a a a a ++==+，求该数列的通项a n 3，已知.数列{}n a 满足：112

1,23

n n n a a a a +--==

+，求该数列的通项a n

五、 递推构造法

1．若数列递推满足a n+1=k 1a n +k 2·2n ，注意构造变形为（a n+1+A ·2n+1）= k 1（a n +A ·2n ），展开后与原递推相同，求出A 得值，再化为等比数列解决。 2．若数列递推满足a n+1=k 1a n +k 2n 2+k 3n ，注意构造变形为 （a n+1+A(n+1)2+B(n+1)+c ）= k 1（a n +An 2+Bn+c ），

展开后与原递推相同而求出A ，B ，C 的值，再化为等比数列解决。 3．若数列为a n+1=-3a n +2n - n 呢？

例如：1，求所有a 0∈R ，使得由a n+1=2n -3a n （n ∈N ）所确定得数列a 0，a 1，a 2，…

是递增的。 2，某运动会开了n 天(1)n >，共发出m 枚奖牌：第一天发出1枚加上余

下的

17，第二天发出2枚加上余下的1

7

；如此持续了(1)n -天，第n 天发出n 枚. 该运动会开了________天，共发了____________枚奖牌.

后注：以上方法相辅相成，不可孤立理解，当条件不符合时不可随意应用。 例：若不知a 1，a 2的确定值，a n+2=2a n+1+3a n 都不可以用特征方程法。

望大家结合数列其他讲义及考题认真领会。

数列训练题

1．（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之

上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .

2. ( 2006年重庆卷)在数列｛a n ｝中，若 a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数

列的通项 a n =_____.

3．（2006年全国卷II ）函数f (x )＝∑i ＝1

19

|x －n |的最小值为 ( )

（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 4．（2006年全国卷I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，

12380a a a =，则111213a a a ++=

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75 5．（2006年江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）

A ．100 B. 101 C.200 D.201 6．（2006年辽宁卷）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也

是等比数列,则n S 等于

(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 7．(2006年山东卷）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…

（1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；

（3） 记b n =211++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +132

-n T =1.

8．（2006年上海卷）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设

该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1．

（1）求证：数列{n a }是等比数列；

（2）若a ＝2

1

22-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1

212n a a a n

⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），

求数列{n b }的通项公式；

（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －2

3

|

＋|k b 2－2

3

|≤4，求k 的值．

9．（2006年全国卷II ）设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0

有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…． （Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．（只须写出即可）

10. （2006年上海春卷）已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.