第一章 离散时间信号与离散时间系统(2)-数字信号处理

ryx(m) = y(n)x(n m) = x(n)y(n m) =rxy(-m)
n
n
1.7 确定性信号的相关函数
自相关函数反映了信号x(n)和其自身作了一段 延迟之后的 x(n+m)的相似程度。 2 x ( n ) rxx(0)= =Ex，即rxx(0)等于信号x(n)自身的 n 能量。 如果 x(n) 不是能量信号，那么 rxx(0) 将趋于无穷 大，对于功率信号，其相关函数定义为： N 1 rxy(m)= lim x(n)y(n m)
) b(1 ) b(0 )
∑
y(n)
1.5 离散时间系统的基本概念
若令输入信号 x(n)=δ(n) ，那么，这时的输出 y(n)是由单位抽样信号δ(n)激励该系统所产生的 响应。因此，我们称这时的y (n) 为系统的单位 抽样响应，并记为h(n)，h(n)反映了系统的固有 特性，它是离散系统的一个重要参数。 如若将上例中的x(n)换成δ(n)，有: h(n) =b(n)δ(n)+ b(1)δ(n-1)+b(2)δ(n-2) 所以， h(0)=b(0)，h(1)=b(1)，h(2)=b(2) 且当n＜2和n＞2时h(n)≡0
1.5 离散时间系统的基本概念
移不变性：
设一个离散系统对x(n)的响应是y (n)，如果 将x(n)延迟了k个抽样周期，输出y(n)也相应的 延迟了k个抽样周期，那么我们说该系统具有 移不变性，即 y (n) =T[x(n)] y (n-k)=T[x(n-k)] 该性质的含义还可以直观地解释为：对给 定的输入，系统的输出和输入的施加时间无关， 即不论何时加上输入，只要输入信号一样，输 出信号的形态就保持不变。
k
k

y(2)= x (k )h (2 k )=2+3=5 y(3)= x (k )h (3 k ) =7 y(4)= x (k )h (4 k ) =4
k
当n>5时,y(n)ຫໍສະໝຸດ Baidu0 ， 共有L+M-1个值。
1.6
LSI系统的输入输出关系
简单方法： x(n)={1, 2, 3, 4 } h(n)={ 1, 1, 0, 0 } L=4 2L-1=7 ，把每个向量补齐7个值。 x(n)={ 1, 2, 3, 4 , 0, 0, 0 } h(n)={ 1, 1, 0, 0 , 0, 0 ,0 } x(n)逆时针排列，h(n)顺时针排列如下图1。对 应位置两数相乘，然后相加，即可求出y(0)=1。
1 a (k )z k
k 1
r 0 N
r b ( r ) z
M
1.8
LSI系统的转移函数
H(z)称为系统的转移函数，它既可定义为系统 单位抽样响应h(n)的z变换 ，也可定义为系统输 出、输入z变换之比。 若令a(k)=0，k=1，2，… N，并令b(0)=1，则
H ( z ) 1 b( r ) z r
m
lim rxy (m) 0
1.7.4 相关函数的应用
相关函数的应用很广，例如噪声中的信号检 测，信号中隐含周期性的检测，信号相关性的 检测，信号时延长度的检测等等，相关函数还 是描述随机信号的重要特征量。 设观察到的信号x(n)由真正的信号s(n)和白噪声 u(n)所组成，即x(n) = s(n) +u(n)，假定s(n)是周 期的，周期为M，x(n)的长度为N，且N>>M， 那么x(n)的自相关函数
1.5 离散时间系统的基本概念
δ(n)
n δ(n-3) 3 n h(n-3) n
h(n)
n
3
由前述单位抽样响应的定义， h(n)=T[δ(n)] ， 对移不变系统，则必有 h(n-k)=T[δ(n-k)] 。因此， 从 h(n) 的行为即可判断所研究的系统是否具有 移不变性。
1.5 离散时间系统的基本概念
1 N1 [s(n) u(n)][s(n m) u(n m)] N n 0
信噪比 –3dB
白噪信号
rxx(m)自相关
1．8 LSI系统的转移函数
1. 转移函数定义 对于一个线性移不变离散时间系统，他的描述 方法有四种
x（n） h（n）
h (n )e j n （1）频率响应 H(e ) = n 0
图1
1
0
0
图2
1.7 确定性信号的相关函数
1.7.1 相关函数的定义
rxy(m)=为信号 x(n) 和y(n) 的互相关函数，该式 表示 rxy(m) 在时刻 m 时的值，等于将 x(n) 保持不 动而y(n)左移m个抽样周期后两个序列对应相乘 再相加的结果。 上式中的 rxy(m)=不能写成 ryx(m)，这是因为
1.5 离散时间系统的基本概念
一个离散系统，可以抽象为一种变换，或是 一种映射，即把输入序列 x(n) 变换为输出序列 y(n)： y(n) =T[x(n)] 式中T代表变换，这样，一个离散时间系统， 既可以是一个硬件装置，也可以是一个数学表 达式。
x(n)
T[x(n)]
y(n)
1.5 离散时间系统的基本概念
1．7．3 相关函数的性质 自相关函数有如下性质:
1.若x(n)是实信号，则rx(m)为实偶函数，即 rx(m)=rx(-m) 若x(n)是复信号，则rx(m)满足 rx(m)=rx*(-m) 2.rx(m)在m=0时取得最大值，即 rx(0)≥ rx(m) 3.若x(n)是能量信号，则当m趋于无穷时，有 lim rxx (m) 0
n h ( n ) z （2）转移函数 H (z) = n 0
y（n）
j

（3）插分方程 y(n)= a(k) y(n k) b(r)x(n r)
k 1 r 0
N
M
1.8
LSI系统的转移函数

（4）卷积关系 y(n)= x(k)h(n k) =x(n)*h(n) k 两边取z变换: N M
h(k) h(-k) x(k 4 ) 2 1 -1 0 1 2 k -1 0 1 2 k 3
-1 0 1 2 3
k
1.6
k
LSI系统的输入输出关系

y(n)= x(k)h(n k) y(0)= x (k )h (k ) =1
k
k
y(1)= x(k)h(1 k)=2+1=3
x (n ) x (n m) N
n 0
以上讨论的为实信号。
1.7.2 相关函数和线性卷积的关系
线性卷积g(n)= x(n m) y(m)


g(m)= x(m n) y(n) =x(m)*y(m)
n
m
x(n)和y(n)的互相关函数为 rxy(m)= x(n) y(n m) = x(n m) y(n)
m
此式说明：将x(n)相对自身移至无穷远处，而 者以无相关性。
1.7.3 相关函数的性质 互相关函数有如下性质：
1. rxy(m)不是实偶函数，有 rxy(m)= ryx(-m) 2. rxy(m)满足|rxy(m) |≤ rx (0)ry (0) E x E y 3.若x(n)，y(n)都是能量信号，则当m趋于无穷 时，有
1.5 离散时间系统的基本概念
稳定性：
一个信号x(n) ，如果存在一个实数 R，使的 对所有的n都满足∣x(n)∣≤R，那么我们称x(n) 是有界的，对一个LSI系统，若输入x(n)是有界 的，输出y(n)也有界，那么该系统是稳定的。
1.6
LSI系统的输入输出关系

线性卷积 y(n)= x(k)h(n k) k y(n)=x (n)*h(n)= x(k)h(n k) = h(k)x(n k) k 例：令h(n)={h(0)，h(1)}={1 ，1}， k x(n)={x(0)，x(1)，x(2)，x(3)}={1，2，3，4} 试求x(n)和h(n)的线性卷积。
*同时具有线性和移不变性的离散时间系统称
为线性移不变（linear shift invariant, LSI）离 散时间系统，简称LSI系统。
因果性：
一个 LSI 系统，如果它在任意时刻的输出只 决定与现在时刻和过去的输入，x(n)，x(n-1)， x(n-2)… 而和将来的输入无关，那么我们说系 统是因果（cousal）系统。
rxx(m)= = rs(m)+rus(m)+rsu(m)+ru(m) 式中，rus(m)和rsu(m)是s(n)和u(n)的互相关函数， 一般噪声是随机的，和信号s(n)应无相关性，这 两项应该很小，式中 ru(m) 是噪声 u(n) 的自相关 函数， ru(m) 主要集中在 m=0 处有值，当 |m| ＞ 0 时 ， 衰 减 很 快 ， 若 s(n) 是 周 期 性 的 函 数 ， 则 rs(m)还是周期性的，且在 m=0，M， 2M…处呈 现峰值，从而揭示出隐含在x(n)中的周期性。
b( k ) x ( n k ) 例：已知系统y(n)= ，式中b(0)， k 0 b(1)，b(2)为常数，这是一个三点加权平均器， 若 b(0)=b(1)=b(2)=1/3 ，那么该系统是一个三点 平均器，它的信号流图为：
2
x(n)
单位 x(n-1) 单位 延迟 延迟
x(n-2)
b(2
2N 1 n N N 1 lim x (n ) x (n m) rxx(m)= n 2 N 1 n N
n

1.7 确定性信号的相关函数
如果x(n)是周期信号，且周期为N ，其自相关函数 N 1 N 1 1 lim x(n )x(n N m) rxx(m)= lim 1 x(n)x(n m)= N N n N n 0 n 0 =rxx(m+N) 即周期函数的自相关函数也是周期的，且和 原信号同周期。所以，无限多个周期的求和平 均可以用一个周期的求和平均来代替，即 rxx(m)= 1 N1
Y(z)= Y(z) a (k )z k X(z) b(r )z r
N
k 1
r 0
Y(z)[1 a (k )z k ] X(z)[b(0) b(r )z r ]
M
由z变换的卷积性质 Y(z)=X(z)H(z) 则
k 1
r 1
H(z)=
Y(z) X(z)
1.6
0
LSI系统的输入输出关系
0 3 0 外环数据逆 时 针旋转一格 0 4 3 1
0
4
2 1 1
2 1 1
0
0
0 0
0
0
0 0
0
然后，将外环数据逆时针旋转一格，得图 2 ， 求出y(1)=1*1+2*1=3。 依 次 将 7 结 果 都 求 出 ， 得 y(2)=5 ， y(3)=7 ， y(4)=4，y(5)=0， y(6)=0，y(7)=0
1.5 离散时间系统的基本概念
由以上两例可以看出，三点平均器的单位抽 样响应仅在n=0，1，2时有值，即为有限长。这 一类系统称为“有限冲激响应”系统，简称为 FIR系统。 对于这样一个系统，y(n)=ay(n-1)+x(n)，由于 包含了有输出到输入的反馈，因此其抽样响应 为无限长，我们称这一类系统为“无限冲击响 应”（infinite impulse response,IIR）系统，简称 为IIR系统。
1.5 离散时间系统的基本概念
下面是有关离散系统的几个定义：
线性：
设一个离散系统对x1(n)的响应是y1(n)，对 x2(n)的响应是y2(n)即 y1(n)=T[x1(n)] y2(n)=T[x2(n)] 若 该 系 统 对 αx1(n)+βx2(n) 的 响 应 是 αy1(n)+βy2(n)，那么我们说该系统是线性的。
n

n


x[(m n)]y(n) =
n
则相关和卷积的时域关系为: rxy(m)= x(-m)*y(m)
1.7.2 相关函数和线性卷积的关系
*尽管相关和卷积在计算形式上有相似之处，但二 者所表示的物理意义是截然不同的，线性卷积 表示了LSI系统输入、输出和单位抽样响应之间 的一个基本关系，而相关只是反映了两个信号 之间的相关性，与系统无关。