直线与圆的三种位置关系

文通中学九年级数学教案
淮安市文通中学姜海勇
课题：直线与圆的位置关系(1）
一、教学重点：
理解直线与圆的三种位置关系；直线与圆的位置关系的性质与判定 .
二、教学难点：
经历探索直线与圆的位置关系的过程，总结出直线与圆的三种位置关系．
三、教学过程：
【预习检查】
1.每位同学在自己的练习本上画一个圆，再用笔在圆所在的平面上任意的点上若干个点，观察、探索点和圆在相互位置上有着什么样的关系？（用投影展示点和圆的位置关系，以此作为铺垫，从而引入直线与圆的位置关系）
2.在圆所在的平面上，将直尺的一个边缘当作一条直线，移动直尺，观察直线和圆在位置上有哪些不同的情况？（（提示：主要从它们交点个数的不同去分类，可分为三种情况）
3.（引导学生联系自己的日常生活，看有没有和上述情景类似的现象）欣赏《海上日出》图片，感受生活中反映直线与圆的位置关系的现象,请指出直线与圆的交点个数．
(1)___________ (2)___________ (3)___________
【目标展示】
1.经历探索直线与圆的位置关系的过程，体会分类、归纳的数学思想和方法；
2.通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置
关系”，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．
3.通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
4.理解直线与圆的三种位置关系．直线与圆的位置关系的性质与判定 .
经历探索直线与圆的位置关系的过程，总结出直线与圆的三种位置关系．
【新知研习】
研习1：
本节课我将与同学一起学习直线和圆的位置关系，下面来探索直线与圆的三种位置关系.
结论：（1）根据直线与圆交点个数的不同，可将它们分为三种位置关系；（老师在此介绍直线与圆相交、相切、相离的概念）
（2）直线与圆的公共点的个数有变化.
试一试：看图判断直线l与⊙O的位置关系
研习2：
同学们，你们能否根据点和圆的位置关系中点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢？
分析：如图，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，
（1）当直线与圆相交时，d＜r；（2）当直线与圆相切时，d＝r；（3）当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系.
老师引导学生归纳：判断一条直线与已知圆的位置关系有两种方法：
（1）是从直线与圆的公共点的个数来断定，直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．（2）是用d与r的大小关系来断定，①d＜r时，直线与圆相交；②d＝r时，直线与圆相切；③d＞r时，直线与圆相离.
现学现用：
1．已知⊙O的半径为5, 圆心O与直线AB的距离为d , 根据条件填写d 的范围:
（1）若AB和⊙O相离, 则 ;
（2）若AB和⊙O相切, 则 ;（3）若AB和⊙O相交, 则________ .
2.已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：
（1）若d=4.5cm ,则直线与圆, 直线与圆有____个公共点.
（2）若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
（3）若d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
【典型例题】
例1.在Rt△ABC中∠C= 90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心, r为半径的圆与AB有怎样的关系？为什么？
(1) r=2cm (2) r=2.4cm (3) r=3cm
分析：判定⊙C与直线AB的位置关系，只要求出圆心C到AB的距离CD的长，然后再CD 与r比较大小即可.
变式：Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm,动点O在直线CA上移动, 且⊙O 半径为2 cm，当OC等于多少时, ⊙O 与直线AB相切.
当堂检测：
1.判断：
①与圆有公共点的直线是圆的切线（）
②过圆外一点画一条直线,则这条直线与圆相离（）
③过圆内一点画一条直线,则这条直线与圆相交（）
④过圆上一点画一条直线,则这条直线与圆相切（）
⑤一条直线与圆最多有两个公共点（）
2. 设⊙O的半径为3，直线a上一点到圆心的距离为3，则直线a与⊙O的位置关系是（）（A）相交（B）相切（C）相离（D）相切或相交
3.直线l上的一点到圆心O的距离大于⊙O的半径，则直线l与⊙O（）.
A.相离；
B.相切；
C.相交；
D.相切或相交或相离。

4.若⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为R，且d、R是方程x2-9x+20=0的根，则直线l与⊙O的位置关系是。

6.已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则X轴
与⊙A的位置关系是_______, Y轴与⊙A的位置关系是_________.
【归纳总结】
本节课我们将与同学一起学习直线和圆的位置关系．通过本节课的
学习，你有何收获？同时你还有哪些困惑？判断一条直线与已知圆
的位置关系有两种方法：
（1）是从直线与圆的公共点的个数来断定；直线与圆有
两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．
（2）是用d与r的大小关系来断定
d＜r时，直线与圆相交；d＝r时，直线与圆相切；d＞r时，直线与圆相离.
【巩固拓展】
1.已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
2.如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，5），⊙A的半径为2，过A作直线l平行于x 轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动。

（1）当点P在⊙A上时，请你直接写出它的坐
（2）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由。

3.如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2 垂直AB于P点， O1O2 =8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现______次。

4.（2013•十堰）如图，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．
求证：⊙O与CB相切于点E；
【预习指导】
四、板书设计：
五、教学反思：
《直线与圆的位置关系(1）》教学反思
淮安市文通中学姜海勇
圆的教学在平面几何中有着很重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用。

新课标指出：学生是学习的主体，是发展的主体。

在课堂教学中，教师要将课堂的主动权让给学生，作为教师应以“探究过程，探究方法，探究结果，运用结果”为主线安排教学进程，应高度重视学生的主动参与、亲自研究、动手操作，让学生从中去体验学习知识的过程，引导学生在发展问题、分析问题、解决问题的同时，培养学生的自主学习能力和创新意识。

在《直线与圆的位置关系》这节课中，我首先由学过的点与圆的位置关系，引入直线与圆的位置关系。

然后让学生探究发现直线和圆的三种位置关系，给出定义，联系实际，由学生发现日常生活中存在的直线和圆相交、相切、相离的现象，紧接着回顾之前讲点与圆位置关系时用数量关系来判断的方法，引导学生探究直线与圆的位置关系中是否也可以用数量关系来判断直线与圆的位置关系。

由平面几何知，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．通过例题的学习，我们可以发现：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种方法是，直接看图，由直线和圆的公共点的个数去判断．另一种方法是，由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．
在探究直线与圆的位置关系所对应的数量关系时，我先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，学生很轻松的就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化。

本节课存在许多不足之处：1：学生观察得到直线与圆的三种位置关系之后，是由我讲解的三个概念：相交、相切、相离。

学生被动的接受，对概念的理解不是很深刻，可以改为让学生下定义，师生共同讨论的形式给学生思维想象的空间，充分调动学生的积极性，是学生实现自主探究。

2：虽然我在设计本节课时是体现让学生自主操作探究的原则，但
在让学生探索直线和圆三种位置关系所对应的数量关系时，没有给予学生足够的探究、交流的时间，限制了学生的思维。

总之，新课程的课堂教学要让学生作为课堂教学的主体参与到课堂教学过程中来，充分发展自已的个性，施展自己的才华，使学生在参与和体验的过程中正真成为学习的主人，养成勇于探究、敢于实践的个性品质。

与此同时，教师还要为学生的学习创造探究的环境，营造探究的氛围，促进探究的开展，把握探究的深度，评价探究的效果。

对《直线与圆的位置关系(1）》的教学评价
淮安市文通中学苏意高
1.本节课教学目标明确，紧紧围绕直线与圆的三种位置展开，并利用拓展说明圆
与直角三角形的斜边何时有一个公共点、二个公共点、无公共点，对本节课的难点进一步突破、拓展，提高学生的认知能力。

2.在教学过程中，能以“思维课堂教学模式”，提高了课堂学习效率，体现了“以
老师为主导，以学生为主体，训练为主线”的课堂理念。

通过教学情境，把学生的思想引入本节课的教学知识，让学生去想、去说、去写直线与圆的三种位置关系，启发学生说明可用交点的个数来判断直线与圆的三种位置关系，并运用知识的迁移，用数量关系判定两直线平行的关系，那么通过圆心到直线的距离与半径的大小比较的判定方法。

再通过课堂检测，把本节课的教学推向了高潮，教学层次清晰、教学思路明确。

3.这节课的教学效果好，学生不仅学到了知识，而且更得到了很好的学习方法，
对学生的后继的学习提供了帮助，则方法的教学是一种较好的教学方法。

《直线与圆的位置关系(1）》课堂实录
淮安市文通中学姜海勇
一、预习检查
师：昨天，老师和同学们一起学习了点和圆的位置关系，现在我请一位同学在黑板上点出几个点，给我们展示出点和圆的几种位置。

生：一位同学上黑板板演，其他同学在练习本上画出点和圆的几种位置关系。

师：大家看，这位同学给我们标出了几个点？
生：三个。

师：实际上，这给我们说明了点和圆有几种位置关系？
生：有三种位置关系。

师：（对照图形）是哪三种位置关系呢？
生1：点在圆上、点在圆外、点在圆内。

师：在平时的学习中我们除了通过图形了解点与圆的位置关系外，还有其它的方法知道点与圆的关系吗？
生2：通过圆的半径长度与点到圆的距离进行比较，点在圆外距离大于半径，点在圆上距离等于半径，点在圆内距离小于半径。

师：由点与圆的关系得到点在圆内d＜R, 点在圆上d＝R，点在圆外d＞R。

（投影展示）
师：由以上分析点与圆的位置关系有几种？
生3：两种，一种由图形直观看，另一种是比较d和R的大小。

二、新知研习
师：我们知道点与圆的位置关系后类比一下直线与圆的位置关系。

要求学生准备好课前画好的圆、直尺，移动直尺观察在移动过程中直尺与圆的位置关系有哪几种？直尺与圆的公共点的个数发生了什么变化？
生：带着要求与问题操作。

师：（巡视学生操作过程，并找学生代表把直线与圆的位置关系几种情况在
黑板上展示出来。

）这位同学画出了几种情况？
生4：三种
师：除了这三种情况外还有其他情况吗？
生：没有。

师：我们从那个方面去了解直线与圆的位置关系的？
生5：公共点的个数。

师：在我们的日常生活中有类似与直线与圆的位置关系的自然现象吗？
生6：日出时太阳与海平面之间的关系。

师：由日出时的自然想象再对照黑板上直线与圆的位置关系图形引出相离，相切，相交。

我们怎样区分直线与圆的位置关系？
师生总结直线与圆的位置关系：直线与圆有两个公共交点--相交，直线与圆有一个公共交点--相切，直线与圆没有公共交点--相离，期中相切时的直线叫切线，唯一的公共交点叫切点，
师：有没有其他方法判断直线与圆的位置关系？
生7：圆心到直线的距离与圆的半径长度比较。

师生总结直线与圆的位置关系：
直线与圆相交d＜R，
直线与圆相切d＝R，
直线与圆相离d＞R.
师指出左边到右边是直线与圆的位置关系的性质，右边到左边是直线与圆的位置关系的判定方法。

课堂练习
第一题，生8：根据新知回答问题的答案。

师：问题答案的根据是什么？
生：由直线与圆的位置得到数量关系。

第二题，生9：填写问题的答案，
师：你是怎么想这题问题答案的？你的方法是什么？
生10：我是通过直线与圆的数量关系得到直线与圆的位置关系，再根据直线与圆的位置关系得到直线与圆的交点个数的。

师：直线与圆的关系有几种？
师生总结：两种。

一种是根据定义来判断，一种是根据性质来判定。

平时我们用的比较多的是根据性质来判定圆与圆的位置关系。

三、典型例题
（一位同学板演，其他同学在学案上自主练习。

）
师：这一题实际上是知道什么、求什么的呢？
生11：是已知圆的半径和圆心到直线的距离，求直线和圆的位置关系，实际上就是已知数量关系求位置关系。

练习变式：
师：大家看，这一题条件发生了什么变化，求的又是什么？（提醒：什么变了，什么没变）
生：（学生同组探讨
师：知道的请举手。

生12：我们知道圆的半径为2厘米，就是说点0到直线AB的距离为2厘米，可通过三角形的相似求得线段OA的长度，即可知道线段OC的长度。

师：说得很好。

（老师通过动画演示圆与AB相切的过程）除了刚才这位同学给我们讲述的这种情况，还有其他情况吗？
生：（同桌间讨论了片刻）还有另外一种情况。

生13：还有一种是和线段BA的延长线相切。

师：很好，题目中明明告诉我们是和直线AB相切，就不能局限于与线段相切。

（动画演示与BA延长线相切的一种情况）
四、当堂检测
生14、15、16依次口头回答，老师再对重点和易错点作强调
五、归纳总结
师：今天我们就学到这里，回归一下，今天主要学习了什么内容？
生17：我们学习了直线和圆的三种位置关系及如何判定直线和圆的位置关系。

师：直线和圆的三种位置关系我们不仅可以直接看图，从直线和圆的公共点个数去辨别，还可以通过d和r的大小比较，通过数量关系去判定。

也就是说可以从数和形两个方面去判定。