三角函数的值域

如何求三角函数的值域 濮阳外国语学校 王艳敏 电话：

摘要：三角函数的最值是中学数学的一个重要内容，归纳这一内容，有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何的联系，培养学生的思维能力。 关键词：函数最值 三角函数

三角函数最值问题是高中数学的重点内容之一,也是高考命题的热点,由于三角函数和代数、几何等知识联系紧密,故求解这类问题的方法灵活多变,能力要求高,具有一定的综合性.本文介绍三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。

一． 基本型： 或 cos y a x b =+

解决策略：利用sinx 和cosx 的有界性,即sin 1x ≤和cos 1x ≤

解：x R ∈　2sin(3

y

x π

=+

）

[]sin()113

x π

∴+∈- ，∴函数的值域为分析：引入辅助角，再利用正弦函数的有界性

sin y a x b =+1≤分析：利用 sinx 的有界性

1sin 1x -≤≤解：　12sin 13x ∴-≤+≤　

[]

2sin 113y x ∴

=+-　函数的值域为，2sin 1y x =+例1.求　值域。

sin cos y a x b x c

=++),

tan b

x c a

ϕϕ=++=

y 其中二、形如 引入辅助角转化为基本型

解决策略：

例2、求函数

sin y x x

=+[]22-，

三、形如22

sin sin cos cos y a x b x x x =++ 型的函数

解决策略：通过降幂再转化为sin()y A x ωϕ=+ 来求解

例3.求 22

sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 的值域

解： 2

12sin cos 2cos y x x x =++

sin 2cos 22)24

x x x π=++=++

1sin(2)14

x π

-≤+≤

所以所求函数的值域为2⎡⎣ 四、反比例型：形如 sin sin a x b y c x d

+=+ 或cos cos a x b y c x d

+=+

解决策略：用反表示法，再利用有界性或数形结合。 例4、求函数1sin 2cos x

y x

-=

-的值域

方法一 解：由1sin 2cos x y x

-=

- 得 2cos 1sin y y x x -=-

sin cos 12x y x y ∴-=-

)12tan x y y ϕϕ-=-=其中

sin()x ϕ∴-=

sin()1x ϕ-≤

1≤

22(12)1y y ∴-≤+ 24340

03

y y y -≤∴≤≤

方法二 解：此函数看做过定点A （2，1）和动点B （cosx,sinx ）的直线的斜率。如图所示 因为点B 的轨迹是单位圆

当直线和圆相切时斜率取最值

设直线方程为1(2)y k x -=- 即1

kx y -+由于直线与圆相切 1= 解得

k=0或k=43

所以函数1sin 2cos x y x -=

-的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦

五、二次型，形如 2sin sin y a x b x c =++

解决策略：转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题

例

5、求函数22sin cos 1sin x x

y x

=+的值域

分析：切勿忽略了函数的定义域中，要求分母不为零

解：y 22sin (1sin )

1sin x x x -=+且 sin 1x ≠- 2112(sin )22

y x ∴=--+

1sin 1x -≤≤ 1

42y ∴-<≤ 所以函数的值域为14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦

六、形如sin sin a

y x x

=+

型的函数 解决策略：此类问题一般联想基本不等式，若不能用基本不等式，则可以利用函数的单调性加以解决 例

6、求函数22sin cos 1sin x x

y x

-=+ 的值域

分析：化同名三角函数式

解：2sin sin 1

1sin x x y x +-=+ 21sin 1sin x x

=+-+令1sin t

x =+

则 02t <≤ 2y t t =-由于2

y t t =-在02t <≤时是增函数

所以函数的值域为(],1-∞

七、解析式中同时出现了sin cos sin cos x x x x +和 解决策略：借助换元法，转化为二次型 例7.求函数sin cos sin cos y x x x x =++ 的值域 分析：借助换元法，转化为二次函数求值域

解：设sin cos t x x t ⎡=+∈⎣则21

sin cos 2

t x x -= 原函数转化为2221111

(1)12222

t y t t t t -=+=+-=+- 1

2,1

2t y ⎡∈-∴-≤≤

⎣所以函数的值域为11,2⎡-⎢⎣

总之三角函数求值域问题，体现了数学的转化思想

1.通过三角函数的等价变形，将给定的函数转化为

sin()y A x b ωϕ=++的形式

2.通过化简及换元将给定的函数转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题。